机械工程控制基础第三章 线性系统的时域分析(第1讲)辅助用

建议：课前要预习课后要复习上课积极思考并答复以下问题线性系统的时域分析法动态性能指标一阶系统的时域分析第1讲

证明：上讲回忆

信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不管求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是，变化的只是其分子。式中

系统总增益〔总传递函数〕

前向通路数

第k条前向通路总增益：―所有不同回路增益乘积之和；―所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；―所有任意m个不接触回路增益乘积之和。为不与第k条前向通路相接触的那一局部信号流图的值，称为第k条前向通路特征式的余因子。上讲回忆

控制系统的分析方法

分析控制系统第一步建立模型第二步分析控制性能，

分析方法包括时域分析法频域分析法根轨迹法(自学)第三章线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法引言一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统的时域分析线性系统的稳态误差计算第三章线性系统的时域分析法

3.1引言分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。许多设计准那么就建立在这些信号的根底上，或者建立在系统对初始条件变化〔无任何试验信号〕的根底上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。时间响应分析在建立系统的数学模型〔包括微分方程与传递函数〕之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性。时间响应分析是重要的方法之一。本章内容1.概括地讨论系统的时间响应及其组成。因为这是正确进行时间响应分析的根底；所谓系统的时间响应及其组成就是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程；

2.典型的输入信号;及一阶、二阶系统的典型时间响应。

典型输入信号便于进行时间响应分析；任何高阶系统均可化为零阶、一阶、二阶系统等的组合；任何输入产生的时间响应均可由典型输入信号产生的典型时间响应而求得；3.1.1时间响应及其组成转ppt3.1.2典型试验(输入)信号Typicaltestsignals(1)实际系统的输入信号不可知性(2)典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系(3)电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。确定性信号和非确定性信号:确定性信号：变量和自变量之间的关系能够用一确定性函数描述。非确定性信号那么反之，变量与自变量之间的关系是随机的，只服从某些统计规律。分析和设计系统:采用典型输入信号，比较其时间响应。任意输入信号的时间响应:利用系统对典型输入信号的响应，由关系式或〔*表卷积〕，就能求出。〔单位〕阶跃函数〔Stepfunction〕室温调节系统和水位调节系统〔单位〕斜坡函数〔Rampfunction〕速度〔单位〕加速度函数〔Accelerationfunction〕抛物线〔单位〕脉冲函数〔Impulsefunction〕正弦函数〔Simusoidalfunction〕Asinut，当输入作用具有周期性变化时。通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的根底上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统对非周期信号〔Step、Ramp、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论〕

常用输入信号：正常工作输入信号；外加测试信号;单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、正弦函数和某些随机函数。突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，那么斜坡时间函数是比较适宜的。单位阶跃函数:其导数为零，对控制系统只给出了位置，故称位置输入信号；单位斜坡函数:其导数为常数，一般称为恒速输入信号或速度输入信号；单位抛物线函数:其二次导数为常数，称为加速度输入信号。

下面主要分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单位阶跃函数的时间响应3.1.3动态过程和稳态过程

瞬时响应和稳态响应TransientResponse&Steady_stateResponse在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。1瞬态响应指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。2稳态响应是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。3.1.3绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差AbsoluteStability,RelativeStability,Steady_stateError在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。系统不稳定产生的后果实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。非线性系统的稳定性在第七章。

稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。稳态特性：稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统到达稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在到达稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。——称动态过程。在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如到达新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。动态性能指标：在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零〔静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0〕，对〔单位〕阶跃输入信号的瞬态响应。实际控制系统的瞬态响应，在到达稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用以下一些性能指标。动态性能指标延迟时间：〔DelayTime〕响应曲线第一次到达稳态值的一半所需的时间。上升时间〔RiseTime〕响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快峰值时间〔PeakTime〕：响应曲线到达过调量的第一个峰值所需要的时间。动态性能指标调节时间：〔SettlingTime〕响应曲线到达并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数〔通常取5%或2%〕作，超调量〔MaximumOvershoot〕：指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即

或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。评价系统的阻尼程度。3.2一阶系统的时域分析

用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。图3-3〔a〕所示的RC电路，其微分方程为

其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。当初使条件为零时，其传递函数为

这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。

下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。一阶系统的单位脉冲响应

Unit-impulseresponseoffirst-ordersystems当输入信号为理想单位脉冲函数时，Xi(s)＝1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即

这时相同的输出称为脉冲响应记作w(t):

只有瞬态项，而B〔t〕为零。由式〔〕可得表

t

0T2T4T00一阶系统的单位脉冲响应函数是一个单调下降的指数曲线。过渡过程：将指数曲衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程，相应的时间为4T。称此时间为过渡过程时间或调整时间，记为。系统的时间常数T愈小,愈短,系统的惯性愈小，反响的快速性能愈好。脉冲响应形式类似与零输入响应。

实际脉冲信号:具有一定的脉冲宽度和有限的幅度的来代替理想的脉冲信号,脉冲宽度与系统的时间常数T相比足够小，一般为:输入信号为单位阶跃函数时，即响应函数的Laplace变换式为：

其时间响应函数[记为]为：由式〔〕和式〔〕可知，中是瞬态项，1是稳态项B〔t〕〔〕单位阶跃响应

Unit-StepResponseofFirst-orderSystem

注**：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。响应曲线在时的斜率为，如果系统输出响应的速度恒为，那么只要t＝T时，输出c(t)就能到达其终值。由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。

动态性能指标：t

00T0.6322T0.8654T0.98210由式〔〕可得表和图如以以下图，式〔〕表示的一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上升指数曲线，稳态值为。曲线有两个重要的特征点。A点：其对应的时间t=T时，系统的响应到达了稳态值的63.2%；零点：其对应的t=0时，的切线斜率〔响应速度〕等于1/T。指数曲线的斜率，即速率是随时间t的增大而单调减小的，当t为时，其响应速度为零；当时，响应已到达稳态值的98%以上，过渡过程时间时间常数T反映了固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。实验方法求一阶系统的传递函数：

1.输入单位阶跃信号，并测出它的响应曲线，及稳态值；2.从响应曲线上找出0.632〔即特征点A〕所对应的时间t,或t=0点的切线斜率3.参考式〔〕求出，或者，由单位阶跃响应，根据关系；求得；4．由求得。3.2.3一阶系统的单位斜坡响应

Unit-rampResponseoffirst-orderSystems

当对上式求拉氏反变换，得：因为所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为上式说明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同

②由于系统存在惯性，从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。

③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。

3.2.4一阶系统的单位加速度响应

上式说明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。表3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t微分

微分

等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。3.3二阶系统的时域分析

Transient-ResponseAnalysisandSteady-StateErrorAnalysisofSecond-orderSystems二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。3.3.1二阶系统的数学模型随动系统AServoSystem〔位置控制系统〕如图3-6所示。⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。输入电位计电刷臂的角位置，由控制输入信号确定，角位置就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置，由输出轴的位置确定。

电位差就是误差信号。

桥式电位器的传递函数该信号被增益常数为的放大器放大，〔应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗〕放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。电动机激磁绕组上加有固定电压。如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。

(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩〔电磁转距〕为：

〔3-10〕电动机的转矩系数为电枢电流对于电枢电路〔3-11〕电动机电枢绕组的电感和电阻。电动机的反电势常数，电动机的轴的角位移。电动机的力矩平衡方程为：〔3-12〕J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。

〔3-13〕开环传递函数〔即前向通路传递函数〕因为反响回路传递函数为1〔3-14〕如果略去电枢电感〔3-15〕增益阻尼系数，由于电动机反电势的存在，增大了系统的粘性摩擦。开环增益机电时间常数不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：〔3-16〕不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：〔3-16〕相应的闭环传递函数

〔3-17〕为了使研究的结果具有普遍意义，可将式〔3-17〕表示为如下标准形式〔3-18〕

－自然频率〔或无阻尼振荡频率〕－阻尼比〔相对阻尼系数〕二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示〔3-18〕－自然频率〔或无阻尼振荡频率〕－阻尼比〔相对阻尼系数〕二阶系统的动态特性，可以用和加以描述,二阶系统的特征方程：〔3-19〕〔3-20〕

由此得两个特征根为:由式〔3-20〕可见，随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根也不同。〔1〕当时，特征根为共轭复数一对位于复数[s]平面的左半平面内的共轭复数极点，系统为欠阻尼系统。〔2〕当时，两特征根为共轭纯虚根，即系统为无阻尼系统。〔3〕当时，特征方程有两个相等的负实根，即系统为临界阻尼系统。〔4〕当时，特征方程有两个不等的负实根系统为过阻尼系统。

过阻尼二阶系统:传递函数可分解为两个一阶惯性环节相加或相乘,因此可视为两个一阶环节的并联，也可视为两个一阶环节的串联。

临界阻尼的二阶系统：传递函数可分解为两个相同的一阶惯性环节相乘,但考虑负载效应,是不能等价为两个相同的一阶惯性环节串、并联。特殊情况下，有可能等价为两个不同的一阶惯性环节串联。一．二阶系统的单位脉冲响应输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统的输出称为单位脉冲响应函数，特别记为。对于二阶系统，因为而所以同样有：记，称为二阶系