《正弦定理》教学设计、导学案、同步练习

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教学设计

第2课时正弦定理

【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向

量及其应用》，本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形。

《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关

系有密切的联系。在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已

足够。它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具。因

此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A理解并掌握正弦定理的证明；1.数学抽象：正弦定理的识记；

B.运用正弦定理解三角形：2.逻辑推理：正弦定理的证明；

C.探索正弦定理的证明过程，并能掌握多3.数学运算：用正弦定理解三角形；

种证明方法。

【教学重点】：正弦定理的内容，正弦定理的证明及应用；

【教学难点】:正弦定理的探索及证明，已知两边和一对角解三角形时三角形解的个数。

【教学过程】

教学过程教学设计意图

一、复习回顾，温故知新

1.余弦定理及其推论通过复习上节所学，引

【答案】入本节新课。建立知识

cr=h2+c2-2Z?ccosA,b1=a2+c2—2accosB间的联系，提高学生概

括、类比推理的能力。

c1=a2+h2-2abcosC

COS」』?-喙2

，cosC=

2bclac2ab

二、探索新知

探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接通过探究，由直角三角

解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形形得一结论，提高学生

的公式呢？在直角三角形中，能得到三边、三角之间的什么关系式？的解决问题、分析问题

【分析】在直角三角形ABC中，由锐角三角函数，再根据正弦函数的的能力。

定义，可得

sinA=—,sinB=—,所以

cc

—=b=c，因为

sinAsinB

sinC=l,所以

a_b_c

sinAsinBsinC

思考i：对于一般的三角形，二一=—2_=上仍然成立吗?

sinAsinBsinC

通过思考，分析在锐角

【解析】分锐角三角形、钝角三角形证明。

三角形、钝角三角形该

(1)在锐角三角形A4BC中。

式子成立，得正弦定理。

过点A作单位向量J垂直于元。

提高学生分析问题、概

由元+而=蔗，两边同乘以单位向量

括能力。

)得,j-(AC+CB)^JAB,则下而"+).而=J

所以

|)||AC|cos90o+|7||CB|COS(90°-C)=|；IIAB|COS(90°-A)

整理得aisnC=csinA/..

sinAsinC

—*-nc

同理'过点c作与CB垂直的单位向量/'可得而万=碇

所以‘一=b

sinAsinBsinC

(2)在钝角三角形ZVLBC中，不妨设A为钝角,

如图。

过点A作与AC垂直的单位向量］。

同理可得，ci_=bc。

sinAsinBsinC

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，

abc

即-----=-----=-----

sinAsinBsinC

变形：(1){2:Z?:c=sinA:sinB:sinC；

/c、asinAasinAbsinB

(2)=,=,=.

bsinBcsinCcsinC

思考2：利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？

通过思考，进一步理解

【分析】正弦定理可用于两类：

正弦定理的运用，提高

(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角；

学生分析问题的能力。

(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边.

例1.在A43C中，已知A=15",B=45°,c=3+6,解这个三角形。

【解析】由三角形内角和定理，得

C=180°-(A+8)=180°-(15°+45°)=120°通过例题让学生熟悉正

由正弦定理，得弦定理的运用，提高学

_csinA_(3+g)sinl5°_(3+g)sin(45°—30°)生运用所学知识解决问

sinCsinl20sin120题的能力。

_(3+V3)(sin45cos300-cos45°sin30")

sin120°

(3+6走x2一叵x=)

=________2_2_2_2_=^

6

T

方=3=(3+®in45。=◎++上遥+0

sinCsin1206

V

例2.在A48C中，已知8=3()"为=J5,C=2,解这个三角形。

,十口4^E/口.„csinB2sin300V2巾生

解：由正弦定理，得sinC=--------=-----尸一=——，因为

b422

c>b,B=3Q\所以30'<C<180°。

于是C=45°或C=135°。

(1)当C=45°时,A=105°

bsinAV2sin105V2sin(60+45)

sinBsin30sin30

_&(sin60cos45+cos60°sin45")

sin30°

\V2.

A/2(-x——+—x——)

=2；22=Q+i

2

(2)当C=135°时,A=15\

...AsinAV2sin15V2sin(45-30,)

此时a=------二------左==-----------------

sinBsin30sin30

_V2(sin45°cos300-cos45°sin30)

sin30

^V2xV3_V2xl

=—2j22Qi。

2

三、达标检测

1.判断正误通过练习巩固本节所学

（D正弦定理不适用直角三角形.（）知识，通过学生解决问

（2）在△力861中，Z?sinA=asinB总成立.（）题的能力，感悟其中蕴

（3）在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值.（）含的数学思想，增强学

【答案】（1）X（2）V（3）V生的应用意识。

2.在比'中，若sin给sin8,则有（）

A.a〈b

B.

C.a>b

D.a,6的大小无法判定

【答案】c

【解析】因为一所以1-包4

sinAsmUbsinB

3.在△/8C中，三个内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知a=/,

b=46=60°,那么力等于（）

A.135°B.90°C.45°D.30°

【答案】c

_,abasinB木乂25

【解析】由.J—.J导sill/I—,—1——Q>

sinAsinBbU32

.\J=45°或135°.

又•：a〈b,・・・/=45°.

4.在△力■中，A—Q,a—y[3c9则—________.

3Yc

【答案】1

sin

【解析】由丘=京7得a飞2-2-

JI

,.sin—

nnnbsinBD6

又O〈CK《-,所以C=—B=TI-C4+0=—所以-=-_-=------=

3696csinC无

sm—

6

1.

5.已知在中，a=4§,b=y{2,8=45°,解这个三角形.

【解析】由正弦定理及已知条件有二^3=.兆。，得sin4=半.

sinAsin452

'：a>b,.•.给以45°..,.4=60°或120°.

当4=60°时，C=180°-45°-60°=75°,

teinC-\/2sin75°yf6+y!2,

c=sinB=sin45。=2；

当4=120°时，C=180°-45°-120°=15°,

_6sinC/sin15°_加—啦

c=sinB=sin45。=2'

综上，可知力=60°,C=75°,。=乖彳也或==120。,C=15°,c

2

四、小结通过总结，让学生进一

1.正弦定理；步巩固本节所学内容，

2.利用正弦定理可以解决的三角形。提高概括能力,提高学

五、作业生的数学运算能力和逻

习题6.47(1),10题辑推理能力。

【教学反思】

本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积

极主动参与一个个相关联的探究活动过程,通过“观察一一实验一一归纳一一猜想一一证明”

的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发

学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问

题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

《6.4.3余弦定理、正弦定理》导学案

第2课时正弦定理

【学习目标】

1.理解并掌握正弦定理的证明；

2.运用正弦定理解三角形；

3.探索正弦定理的证明过程，并能掌握多种证明方法。

【教学重点】：正弦定理的内容，正弦定理的证明及应用；

【教学难点】:正弦定理的探索及证明，已知两边和一对角解三角形时三角形解的个数。

【知识梳理】

1.正弦定理：，

语言叙述：______________________________

【学习过程】

一、探索新知

探究:余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。

如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三

边、三角之间的什么关系式？

思考1:对于一般的三角形，一L=—9—=—J仍然成立吗？

sinAsinBsinC

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，

abc

即un-----=-----=-----

sinAsinBsinC

变形：（1）a:Z?:c=sinA:sin3:sinC；

/c、asinAasinAbsinB

（2）—=----,—=--------------.

bsinBcsinCcsinC

思考2：利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？

例1.在AABC中，己知A=15°,3=45°,c=3+g,解这个三角形。

例2.在A48C中，已知3=30°1=后,。=2,解这个三角形。

【达标检测】

1.判断正误

（D正弦定理不适用直角三角形.（）

（2）在△/阿中，bsinA=asin8总成立.（）

⑶在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值.（）

2.在△4%中，若sin冷sinB,则有（）

A.水b

B.a^b

C.a>b

D.a,6的大小无法判定

3.在中，三个内角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知a=/,b=®B=

60°,那么/等于()

A.135°B.90°C.45°D.30°

2nb

4.在△4?。中，a=\[ic则一=____.

jfc

5.已知在△/欧中，a=©b=®6=45。，解这个三角形.

参考答案：

探究：在直角三角形ABC中，由锐角三角函数，再根据正弦函数的定义，可得

smA=-,smB=-,所以，一=’一=c,因为sinC=l,所以

ccsinAsin5

a_b_c

sinAsinBsinC

思考1.分锐角三角形、钝角三角形证明。

(1)在锐角三角形A4BC中.

过点A作单位向量)•垂直于元。

由元+通=的，两边同乘以单位向量J得，｝.(AC+CB)=7-^B,则

pAC+JCB^AB,

所以|力|元|cos900+1]||而|cos/。一CHJ||凝|cos0O“一A)

整理得aisnC=csinA「・—二—

sinAsinC

同理，过点C作与—C8>垂直的单h位向量jc,可得，_=_J

sinBsinC

g、iabc

sinAsinBsinC

(2)在钝角三角形A48C中，不妨设A为钝角，如图。

A

过点A作与AC垂直的单位向量j。

同理可得」一=—2—=」一。

sinAsinBsinC

思考2.正弦定理可用于两类：

(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角；

(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边.

例1.由三角形内角和定理，得

C=180°-(A+3)=180°-(15°+45°)=120°

由正弦定理，得

_csinA_(3+V3)sin15°_(3+V3)sin(45°-30°)

sinCsin120°sin120°

_(3+V3)(sin45°cos30°-cos45°sin30)

sinl20°

(3+同纥也一立」)

__________2222—5

~72

2

(3+V3)x—

b_csinB_(3+6)sin45"

-~1^=娓+叵

sinCsin120

，加cg士十口>…™,ZB.-csinB2sin30后

例2.解：由正弦TE理，得sinC='-----=---7=—=——.因为

h422

c>b,B=3O\所以30°<C<180°。

于是C=45°或C=135°。

(3)当C=45°时，A=105"

1bli>sinAV2sin105V2sin(60+45°)

sinBsin30sin30

_V2(sin60cos45+cos60°sin45)

sin30°

乙也五，1V2.

5/2(——X——+—X——)

2222=V3+1

1

2

(4)当C=135°时,4=15"

.Z?sinAV2sinl5V2sin(45°-30°)

此时a=------=--------=----------T----------------

sinBsin30sin30

_后(sin450cos30。-cos4

sin30

国叵百拒1、

721——x--------x—)

=2222一V3—1o

2

达标检测

1.【答案】⑴X(2)V⑶V

2.【答案】C

obasinA

【解析】因为一「=—^所以厂

sinAsinB

3.【答案】C

,,半r-

asmBv2^[2

力="^~=飞—=2'

."=45°或135°.

又：水6,：.A<B,，/=45°.

4.【答案】1

八csinA1镉1

【解析】由」1=二7^sin

C==~7='X0=T»

sinAsmCa522

,、•n0X11

又0<伙w，所以C=—f8=兀-{A-\-C)=—.所以_=*='7=-----=1.

366csinCn

sin-

6

5.【解析】由正弦定理及已知条件有色;=.,得sin)=坐.

sinAsin452

Va>b,.-45°....4=60°或120°.

当4=60°时，。=180°-45°-60°=75°,

teinC-\/2sin75°

c=sinB=sin45。=2；

当力=120°时，a180°-45°-120°=15°,

6sinC/sin15°加一也

0=sinB=sin45。=2'

综上，可知1=60°,C=75°,。=乖、*或==120。,7=15°,。=/；机

《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步练习

第2课时正弦定理

一、选择题

1.在A,8,C中，B=45°,C=60°,c=l,则最短边的边长是

A.理B.理C.1D.昱

*0%鬟

2.在△,&穹中，角A,B,C的对边为a,b,c,若@=、偏，b=3,B=60°,则A=

A.45°B.45°或135°C.135°D.60°或120°

3.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若sinA=：，b=6sinB，

则a=

A.3垂B,C,D.

4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,Ac,若

/-6=®c,sinC=2>5sinB，则角A为（）

A.30B.60°C.120°D.150°

5.（多选题）以下关于正弦定理或其变形正确的有（）

A.在△46。中，a：6：c=sinA'sinB\sinC

B.在中，若sin2J=sin2B,则a=8

C.在中，若sinJ>sinB,则力>B,若A>B,则sinA>sin8都成立

>_______.ab+c

D.在△ABC中，一;=—:।;T,

smAsmn/十sinC

6.（多选题）.在△/回中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）

A.b=7,c=3,仁30°B.6=5,c=4,8=45°

C.a=6,b=&M，8=60。D.a=20,6=30,71=30°

7.在△,施修中，若B=30°，AB=2虚，AC=2,则△,施修的周长为一

8.在三角形ABC中，若C=3B,则二的取值范围是

9.在△脑中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,B=2A,cos]=幸，则6

J

10.在△胸中，若6=宁，仁&,则人=,C=.

三、解答题

11.在△/6C中，J=30°,<7=45°,c=p求a,6及cosB.

12.如图所示，ABA.BC,09=33,N〃B=30°,/以苏=75°,NBDC=45°,求4?的

《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步练习答案解析

第2课时正弦定理

1.在A,8,C中，B=45°,C=60°,c=l,则最短边的边长是

D,避

【答案】A

【解析】

.••B角最小，.•.最短边是b,由，一="_,得b=避理=弧哟=理.故选A.

sinAsinS礴^修痴豳妒，当

2.在△,施修中，角A,B,C的对边为a,b,c,若a=拆,b=3,B=60°,则A=

A.45°B.45°或135°C.135°D.60°或120°

【答案】A

【解析】

•••a=5,b=3,B=60°,.♦.由正弦定理可得.、屉=>,.*.sinA=

蝴网,就蝴Ml硼产

扉潟与_席•又a<b,；.A=45°•故选A.

~$r

3.ZiABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=-，b=sinB,则a

埠称

A.3出B.6C.不D•辛

【答案】D

【解析】

由二=4,得_蛔阮,_有碗吟_国故选D.

磷嫩,就鼬成.鹭：幽--~—----T-----=W*

4.在A46C中，内角A,民C的对边分别为a/,c,若

$-修=也be,sinC=2指sinB，则角A为（）

A.30°B.60C.120°D.150,

【答案】A

【解析】因为sinC=2gsinBc=2屉，那么结合/—/=屉，=。2=，

所以COSAJ+NY①，所以A=3O°,故答案为A

2cb2

5.（多选题）以下关于正弦定理或其变形正确的有（）

A.在中，a：b：c=sinA：sinB：sinC

B.在△45。中，若sin2J=sin2B,则a=6

C.在△/玄中，若sin4>sinB,则/>B,若4>6,则sinR>sin6都成立

.„.a6+c

D.在中，---7—~-

sinAsin〃十sinC

【答案】A,C,D

【解析】由正弦定理易知A,C,D正确.对于B,由sin24=sin26,可得力=6,或

24+26=n,B|JA—B,或4+8=y,；.a=6,a+l）-c,故B错误.

6.（多选题）.在△/1欧中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）

A.b=7,c=3,C=30°B.6=5,c=4,6=45°

C.a=6,b=3M,8=60°D.a=20,6=30,J=30°

【解析】B,C

【解析】对于4.."=7,c=3,C=30°,

由正弦定理可得：sinQbsinC='X2=工>1,无解；

c36

对于86=5,c=4f4=45°,

,4X返

.•.由正弦定理可得55。=也阻=——红=2返VI,且C<6,有一解；

b55

对于C,Va=6,b=3®6=60°,

,6X近

二由正弦定理可得：sin4=asinB=——*_=1,4=90°,此时，=30°,有一解；

b3V3

对于〃，Va=20,6=30,4=30°,

,•△30X^-

二由正弦定理可得：sin6=bsmA=-------2=色<1,且6>a,

a204

•••5有两个可能值，本选项符合题意.故选B,C

二、填空题

7.在△,腐窗中，若B=30°,AB=26,AC=2,则△,施耀的周长为.

【答案】6+26或4+2道

【解析】

由正弦定理，得sinC=2^=正.VAB>AC,AOB,C=60°或120°.

AC2

①当C=60°时，A=90°,BC=4,"BC的周长为6+2；

②当C=120°时，A=30°,A=B,BC=AC=2,△ABC的周长为4+2.

综上，"BC的周长为6+2或4+2

8.在三角形ABC中，若C=3B,则导的取值范围是

b

【答案】（1,3）

b

【解析】根据正弦定理,

sinBsinC

得十sinCsin3Bsin2BcosB+cos2BsinB

sinBsinBsinB

sinBcosBcosB+cos2