常用逻辑用语同步检测4

第一章1.2第2课时一、选择题1．设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则¬p为导学号96660091()A．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1>0 B．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1≤0C．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0[答案]B[解析]全称命题的否定是存在性命题，故选B.2．由下列各组命题构成的复合命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为真的一组为导学号96660092()A．p:eq\r(2)∈Q，q:∅AB．p:π<3，q:5>3C．p:a∈{a，b}，q:{a}{a，b}D．p:QR，q:N＝Z[答案]B[解析]若¬p为真，则p为假，又p∨q为真，p∧q为假，所以q真．故选B.3．已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若命题p:eq\r(2)∈(A∪B)，则命题“¬p”是导学号96660093()A.eq\r(2)∉A B.eq\r(2)∈∁SBC.eq\r(2)∉(A∪B) D.eq\r(2)∈(∁SA)∩(∁SB)[答案]D[解析]因为p:eq\r(2)∈(A∪B)，所以¬p:eq\r(2)∉(A∪B)，即eq\r(2)∈∁S(A∪B)，所以eq\r(2)∈(∁SA)∩(∁SB)．故选D.4．若命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题，则下列各结论中，正确的是导学号96660094()①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．A．①③ B．②④C．②③ D．①④[答案]A[解析](¬p)∨(¬q)为假，故(¬p)与(¬q)均为假，所以p、q均为真，所以①③正确．5．(2015·湖北文，3)命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是导学号96660095A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1[答案]A[解析]由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1，故应选A.6．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是导学号96660096()A．p∧q B．(¬p)∧qC．p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q)[答案]B[解析]当x＝0时，有2x＝3x，故命题p是假命题；∴¬p为真命题．如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，∴命题q是真命题，故选B.二、填空题7．“三个数a、b、c不全为0”的否定是________．导学号966600[答案]三个数a、b、c全都为0[解析]“不全为”的否定是“全都为”．8．已知p(x):x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．导学号96660098[答案][3,8)[解析]∵p(1)是假命题，p(2)是真命题，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－m≤0,8－m>0))，解得3≤m<8.三、解答题9．已知命题p：方程2x2－2eq\r(6)x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－2eq\r(6)x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并指出其真假．导学号96660099[解析]“p或q”的形式：方程2x2－2eq\r(6)x＋3＝0的两根都是实数或不相等．“p且q”的形式：方程2x2－2eq\r(6)x＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p”的形式：方程2x2－2eq\r(6)x＋3＝0无实根．∵Δ＝24－24＝0，∴方程有相等的实根，故p真，q假．∴“p或q”真，“p且q”假，“非p”假.一、选择题1．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f(π,2)；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称．则下列判断正确的是导学号966600100()A．p为真 B．¬q为假C．p∧q为假 D．p∨q为真[答案]C[解析]本题考查命题真假的判断．p为假命题，q为假命题．所以p∧q为假命题．对“p∧q”真假判定：全真为真，一假则假．2．(2014·重庆文)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是导学号966600101()A．p∧(¬q) B．(¬p)∧qC．(¬p)∧(¬q) D．p∧q[答案]A[解析]由题意知，命题p是真命题，命题q是假命题，故¬p是假命题，¬q是真命题，故p∧(¬q)是真命题，故选A.3．设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是导学号966600102()A．p∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)[答案]A[解析]取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，∴a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．∵a，b，c是非零向量，a∥b知，a＝xb，由b∥c知b＝yc，∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，(¬p)∧(¬q)，p∨(¬q)都是假命题．4．(2016·浙江理)命题“∀x∈R，∃n∈N*使得n≥x2”的否定形式是eq\x(导学号96660103)()A．∀x∈R，∃n∈N*使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*使得n<x2[答案]D[解析]根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D．二、填空题5．命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．导学号966600104[答案]“¬p”6．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式eq\f(x－2,x－1)≤0的解集为{x|1<x≤2}，则命题“p∨q”、“p∧q”、“¬p”、“¬q”中正确的命题是________．导学号966600105[答案]p∨q，¬p[解析]∵∀x∈R，x2＋x＋1>0，∴命题p为假，¬p为真．∵eq\f(x－2,x－1)≤0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x－1≤0,x－1≠0))，解得1<x≤2.∴命题q为真，p∨q为真，p∧q为假，¬q为假．三、解答题7．分别指出由下列各组命题构成的新命题“p∨q”、“p∧q”、“¬p”的真假导学号966600106(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.[解析](1)p真、q假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为假．(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为{x|x≠1}，∴p假；不等式x2－2x＋2≤1，即x2－2x＋1≤0的解集为{x|x＝1}，∴q假．故“p∨q”为假，“p∧q”为假，“¬p”为真．8．对于下述命题p，写出“¬p”形式的命题，并判断“p”与“¬p”的真假：导学号966600107(1)p:91∈(A∩B)(其中A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；(2)p:有一个素数是偶数；(3)p:任意正整数都是质数或合数；(4)p:三角形有且仅有一个外接圆．[解析](1)¬p:91∉A或91∉B；p真，¬p假．(2)¬p:每一个素数都不是偶数；p真，¬p假．(3)¬p:存在一个正整数不是质数也不是合数；p假，¬p真．(4)¬p:存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆；p真，¬p假．9．若“∃x∈[0，eq\f(π,2)]，sinx＋eq\r(3)cosx<m”为假命题，求实数m的取值范围．导学号966600108[解析]令f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2sin(x＋eq\f(π,3))，x∈[0，eq\f(π,2)]，可知f(x)在[0，eq\f(π,6)]上为增函数，在(eq\f(π,6)，eq\f(π,2)]上为减函数．∵f(0)＝eq\r(3)，f(eq\f(π,6))＝2，f(eq\f(π,2))＝1，∴1≤f(x)≤2.∵“∃x∈[0，eq\f(π,2)]，sinx＋eq\r(3)cosx<m”为假命题，则其否定“∀x∈[0，eq\f(π,2)]，sinx＋eq\r(3)cosx≥m”为真命题，∴m≤f(x)min＝1.故实数m的取值范围是(－∞，1]．沁园春·雪<毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。