九年级数学上学期课时同步测试19

24.4__弧长和扇形面积__第1课时弧长和扇形面积1.若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是(B)A．3πB．4πC．5πD．6π2．按图24－4－1(1)的方法把圆锥的侧面展开，得到图24－4－1(2)所示的扇形，其半径OA＝3，圆心角∠AOB＝120°，则eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为(B)(1)(2)图24－4－1A．πB．2πC．3πD．4π3．如果一个扇形的半径是1，弧长是eq\f(π,3)，那么此扇形的圆心角的大小为(C)A．30°B．45°C．60°D．90°4．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为(C)A．πB．1C．2D.eq\f(2,3)π【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形的面积公式得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r2＝2.5．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是(A)A.eq\f(1,2)πB.eq\f(1,4)πC.eq\f(1,8)πD．π【解析】从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，则分针在钟面上扫过的面积是：eq\f(180π×12,360)＝eq\f(1,2)π.6．如图24－4－2，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为(B)A．πB．2πC．3πD．5π图24－4－2第6题答图【解析】如图，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°.∵∠ABC＝120°，∴∠OBC＝30°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的长为eq\f(nπr,180)＝eq\f(120π×3,180)＝2π.7．如图24－4－3，水平地面上有一面积为30πcm2的扇形OAB，半径OA＝6cm，且OA与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为(C)图24－4－3A．20cmB．24cmC．10πcmD．30πcm【解析】点O移动的距离就是扇形的弧长，设扇形弧长为l，根据题意可得eq\f(1,2)l×6＝30π，解得l＝10πcm.8．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对的弧长等于__2π__cm(结果保留π【解析】弧长为eq\f(60π×6,180)＝2π(cm)．9．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为__3π__(结果保留π)．【解析】由题意得n＝120°，R＝3，故S扇形＝eq\f(nπR2,360)＝eq\f(120π×32,360)＝3π.图24－4－410．如图24－4－4，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠OAB＝30°，弦BC∥OA，劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))的弧长为__eq\f(π,3)__.(结果保留π)11．如图24－4－5，在3×3的方格中(共有9个小格)，每个小方格都是边长为1的正方形，O，B，C是格点，则扇形OBC的面积等于__eq\f(5,4)π__(结果保留π)．图24－4－512.如图24－4－6，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°.(1)画出旋转后的△AB′C′；(2)求线段AC在旋转过程中所扫过的扇形的面积．图24－4－6解：(1)如图；(2)线段AC在旋转过程中所扫过的扇形的面积＝S扇形ACC′＝eq\f(90π·22,360)＝π.13．如图24－4－7，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是(D图24－4－7A.eq\f(17,12)πm2B.eq\f(17,6)πm2C.eq\f(25,4)πm2D.eq\f(77,12)πm214．如图24－4－8，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD，弧DE，弧EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是__4π__．图24－4－815．如图24－4－9，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2.(1)求线段EC的长；(2)求图中阴影部分的面积．图24－4－9解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝2DA，∴AE＝2AD，且∠ADE＝90°.又DA＝2，∴AE＝AB＝4，∴DE＝eq\r(AE2－AD2)＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3)，∴EC＝DC－DE＝4－2eq\r(3).(2)S阴影＝S扇形AEF－S△ADE＝eq\f(60°×π×42,360°)－eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝eq\f(8,3)π－2eq\r(3).16．如图24－4－10，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2.(1)求OE和CD的长；(2)求图中阴影部分的面积．图24－4－10【解析】∵∠CAD，∠DBE，∠ECF是等边三角形的外角，∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°，又∵AC＝1，∴BD＝2，CE＝3，∴弧CD的长＝eq\f(1,3)×2π×1，弧DE的长＝eq\f(1,3)×2π×2，弧EF的长＝eq\f(1,3)×2π×3，∴曲线CDEF的长＝eq\f(1,3)×2π×1＋eq\f(1,3)×2π×2＋eq\f(1,3)×2π×3＝4π.解：(1)在△OCE中，∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，∴∠OCE＝30°.∵OC＝2，∴OE＝eq\f(1,2)OC＝1，∴CE＝eq\r(OC2－OE2)＝eq\r(3).∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝2CE＝2eq\r(3).(2)∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CE＝eq\f(1,2)×4×eq\r(3)＝2eq\r(3)，∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝eq\f(1,2)π×22－2eq\r(3)＝2π－2eq\r(3).17．如图24－4－11，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE.(1)判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．图24－4－11解：(1)CD与圆O相切，理由为：∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD与圆O相切；(2)连接EB，由AB为直径，得到∠AEB＝90°，∴EB∥CD，F为EB的中点，∴OF为△ABE的中位线，∴OF＝eq\f(1,2)AE＝eq\f(1,2)，即CF＝DE＝eq\f(1,2)，在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF＝FB＝DC＝eq\f(\r(3),2)，则S阴影＝S△DEC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\