高三文科数学知识点综合提能练习题6

小题分类练(六)创新迁移类(建议用时：50分钟)1．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝[x[x]]在(－1，1)上()A．是奇函数 B．是偶函数C．既奇又偶函数 D．是增函数2．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是()A．f(x)＝eq\r(x) B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanx D．f(x)＝cos(x＋1)3．在平面直角坐标系xOy中，点A与B关于y轴对称，若向量a＝(1，k)，则满足不等式eq\o(OA,\s\up6(→))2＋a·eq\o(AB,\s\up6(→))≤0的点A(x，y)的集合为()A．{(x，y)|(x＋1)2＋y2≤1}B．{(x，y)|x2＋y2≤k2}C．{(x，y)|(x－1)2＋y2≤1}D．{(x，y)|(x＋1)2＋y2≤k2}4．设x∈R，定义符号函数sgnx＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))则()A．|x|＝x|sgnx| B．|x|＝xsgn|x|C．|x|＝|x|sgnx D．|x|＝xsgnx5．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))·mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的()A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数：(1)对任意的x∈[0，1]，恒有f(x)≥0；(2)当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．则下列3个函数中不是M函数的个数是()①f(x)＝x2；②f(x)＝x2＋1；③f(x)＝2x－1.A．0 B．1C．2 D．37．已知函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如：函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．则下列命题错误的是()A．指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数B．若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)C．在定义域上具有单调性的函数一定是单函数D．在定义域上是单函数的函数一定具有单调性8．在平面直角坐标系中，定义d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|为两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M(－1，0)，N(1，0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x＝0；④到M(－1，0)，N(1，0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中真命题有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个9．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．10．已知圆面C：(x－a)2＋y2≤a2－1的面积为S，平面区域D：2x＋y≤4与圆面C的公共区域的面积大于eq\f(1,2)S，则实数a的取值范围是________．11．函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使得f(x)在[a，b]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，则称函数f(x)为“成功函数”．若函数f(x)＝logc(cx＋t)(c＞0，c≠1)是“成功函数”，则t的取值范围为________．12．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集．给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)．13．有对称中心的曲线叫做有心曲线，过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径．定理：如果圆x2＋y2＝r2(r＞0)上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值－1.写出该定理在有心曲线eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)中的推广：________________________________________________________________________.14．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝k(k为常数)，则称数列{an}为等差比数列，k称为公差比．现给出下列命题：①等差比数列的公差比一定不为零；②等差数列一定是等差比数列；③若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列；④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确命题的序号为________．15．设f(x)和g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围是________．1．解析：选C.当－1＜x＜0时，[x]＝－1，所以x[x]∈(0，1)，故f(x)＝[x[x]]＝0；当0≤x＜1时，[x]＝0，故f(x)＝[x[x]]＝0，所以当x∈(－1，1)时，函数f(x)恒等于0，故f(x)在(－1，1)上既是奇函数又是偶函数．2．解析：选D.由f(x)＝f(2a－x)知f(x)的图象关于x＝a对称，且a≠0，A，C中两函数图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中当a＝kπ－1(k∈Z)时，x＝a都是y＝cos(x＋1)的图象的对称轴．故选D.3．解析：选C.由条件得B(－x，y)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－x，y)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2x，0)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))2＋a·eq\o(AB,\s\up6(→))＝x2＋y2－2x≤0，即(x－1)2＋y2≤1，故选C.4．解析：选D.当x<0时，|x|＝－x，x|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.5．解析：选A.当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，所以l＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))·mineq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))＝1×1＝1.所以“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．因为a≤b≤c，所以maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝eq\f(c,a).又因为l＝1，所以mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝eq\f(a,c)，即eq\f(a,b)＝eq\f(a,c)或eq\f(b,c)＝eq\f(a,c)，解得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．所以“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．6．解析：选B.(1)在[0，1]上，3个函数都满足．(2)x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，对于①，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＝2x1x2≥0，满足；对于②，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[(x1＋x2)2＋1]－[(xeq\o\al(2,1)＋1)＋(xeq\o\al(2,2)＋1)]＝2x1x2－1<0，不满足；对于③，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)＝2x12x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)≥0，满足．故选B.7．解析：选D.对于A，由于x1，x2∈R，且f(x1)＝f(x2)时总有2x1＝2x2，即x1＝x2，满足单函数的定义，故A正确；对于B，由于f(x)为单函数，可知x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)，故B正确；对于C，在定义域上具有单调性的函数，不妨设f(x)在其定义域A上是增函数，显然x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，满足单函数的定义，故C正确；对于D，例如函数f(x)＝eq\f(1,x)是单函数，但不具有单调性，故D错误．8．解析：选C.设到原点的“折线距离”为1的点为(x，y)，则|x|＋|y|＝1，这是以点(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)为顶点的正方形，故命题①为真命题．命题②为假命题．设到M，N两点的“折线距离”相等的点为(x，y)，则|x＋1|＋|y|＝|x－1|＋|y|，即|x＋1|＝|x－1|，两边平方即得x＝0，命题③为真命题．设到M，N两点的“折线距离”差的绝对值为1的点为(x，y)，则||x＋1|＋|y|－|x－1|－|y||＝1，即||x＋1|－|x－1||＝1，当x≥1时，不成立，当x≤－1时也不成立，当－1＜x＜1时，||x＋1|－|x－1||＝1，即|2x|＝1，即x＝±eq\f(1,2)，所以命题④为真命题．9．解析：列举得集合B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，共含有10个元素．答案：1010．解析：依题意并结合图形(图略)分析可知，圆面C：(x－a)2＋y2≤a2－1的圆心(a，0)应在不等式2x＋y≤4表示的平面区域内，且(a，0)不在直线2x＋y＝4上，即有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1＞0,2a＋0＜4))，由此解得a＜－1或1＜a＜2.因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，2)．答案：(－∞，－1)∪(1，2)11．解析：选D.无论c＞1还是0＜c＜1，f(x)＝logc(cx＋t)都是R上的单调增函数，故应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（a）＝\f(a,2)，,f（b）＝\f(b,2)，))则问题可转化为求f(x)＝eq\f(x,2)，即logc(cx＋t)＝eq\f(x,2)，即求cx＋t＝ceq\s\up6(\f(x,2))在R上有两个不相等的实数根的问题，令ceq\s\up6(\f(x,2))＝m(m＞0)，则cx＋t＝ceq\s\up6(\f(x,2))可化为t＝m－m2，问题进一步可转化为求函数y＝t与y＝m－m2(m＞0)的图象有两个交点的问题，结合图形可得t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).12．解析：图①中连接左顶点和右上顶点的线段不在区域内，故不是凸集，图④中两圆的外公切线不在区域内，也不是凸集，②③符合凸集的定义．答案：②③13．解析：设直径两端点分别为A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，C(x0，y0)为曲线上异于A，B的任意一点，则kACkBC＝eq\f(y0－y1,x0－x1)·eq\f(y0＋y1,x0＋x1)，由于点A、C在曲线上，所以eq\f(xeq\o\al(2,0),m)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),n)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,1),m)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),n)＝1，两式相减得eq\f(y0－y1,x0－x1)·eq\f(y0＋y1,x0＋x1)＝－eq\f(n,m).答案：如果曲线eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点的连线斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值－eq\f(n,m)14．解析：若k＝0，{an}为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，②错误；eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝3，满足定义，③正确；设an＝a1qn－1(q≠0)，则eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝eq\f(a1qn＋1－a1qn,a