【解析版】河南省南阳市唐河县2015届九年级上期末数学试卷

【解析版】河南省南阳市唐河县2015届九年级

上期末数学试卷

一、选择题：每小题3分，共24分.

1.下列运算错误的是（）

A.V2*V>V6B.C.近天后2D.

V（-4）x（-9）

2.下列讲法中，正确的是（）

A.如果亘也q,那么总小

_b_db_d

B.Vab^/a*Vb

C.方程x2+x—2=0的根是xl=-1,x2=2

D.7（x-1）2=x-1

3.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺

演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（）

A.1B.|C.|D,1

半部分轮廓制作成抛物线的形状（如

,AE〃x轴，AB=4cm,最低点C在

:廓线DFE所在抛物线的函数解析式

A.y=l（x+3）2B.y=（x-3）2C.y=（x+3）2D.

444

（x-3）2

4

5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=9,NBAD的平分线

交BC于E,交DC的延长线于F,BGLAE于G,BG=M，则AEFC的

周长为（）

A'D

A.11B.10C.9D.8

6.已知关于x的方程kx2+（l-k）x-l=0,下列讲法正确的是（）

A.当k=0时，方程无解

B.当k=l时，方程有一个实数解

C.当k=-l时，方程有两个相等的实数解

D.当kWO时，方程总有两个不相等的实数解

7.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-l,

且过点（-3,0）.下列讲法：

v

*

8②③c.①②④D.②③④

7

6

5

4,C,D的坐标分不是（1,7）,（1,1）,（4,1）,

z

(

\63为顶点的三角形与AABC相似，则点E的坐标不可

A匕

E

E匕

A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)

二、填空题：每小题3分，共21分.

9.AABC中，.若|sinA-包|+（近一cosB）2=0,则/C=

22

度.

10.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则里的值是

EC

11.如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏.距报道，“国

际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会竞赛项目.“剪刀石

头布”竞赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手，势中的一

种，刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方显现相同手势,

则*刚和小明两人只竞赛一局，那么两人打平的概率p=

12.是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在1时，拱顶(拱桥洞

如图建立平面直角坐标系，则抛物线

的横断面是梯形ABCD,BC〃AD,迎水坡AB

t为U,则河堤的高BE为米.

5

14.二次函数y=ax2+bx+c(aWO)中，自变量x与函数y的部分对应

值如表：则一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的两个根xl,x2的取值范畴

是

,NC=3O°,BC=12cm,把aABC

至ADEF的位置,DF交BC于点H.A

cm2.

E

三、解答题：每小题12分，共12分.

16.(1)运算：sin2图°+tp60°・cos30°一2|-1+^+()

加cos45+tan452-辰一\

0

解方程：(5x-1)(x+1)=2x+3.

17.有A、B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球,

小球上分不标有数字0,1,2,3,B布袋中有三个除标号外完全相同的小

球，小球上分不标有数字。，1,2.小明先从A布袋中随机取出一个小球,

用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n

表示取出的球上标有的数字.

（1）用（m,n）表示小明取球时m与n的对应值，画出树状图（或

列表），写出（m,n）的所有取值；

求关于x的一元二次方程x2-mx+^n=0没有实数根的概率.

18.如图，在9义10的正方形网格中，每个小正方形的边长差不多上1,

-彳—!—!—T*格点.ZXACB和4DCE的顶点都在格点上，ED

一T1

的舛U

I__!_

pADCE；

勺面积比.

I____I____I.1____I.

19.如图是已建设封顶的16层楼房和它的塔吊示意图，.吊臂AG与地

面EH平行，测得点A到楼顶D点的距离为5米，每层楼高3.5米，在吊

臂上有一点B,AB=16米，在C点测得A点的俯角（NMCA）为20°,B

点的俯角（NMCB）为40。，AE、CH都垂直于地面，求塔吊的高CH的

长（结果精确到0.1米）.（参考数据:sin20°"0.34,cos20°"0.94,tan2

0°七0.36,sin40°七0.64,cos40°^0.77,tan40°七0.84）

20.已知，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,点M为边BC的中点，

点P为边CD上的动点（点P异于C,D两点）.连接PM,过点P作PM

的豆州三"心~如于3苣E（如图），设CP=x,DE=y.

J的关系式;

6

21.某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发觉，在一

段时刻内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具

体关系式为：w=-2x+240,且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于

90元/千克.设这种绿茶在这段时刻内的销售利润为y（元），解答下列咨询

题：

（1）求y与x的关系式；

当x取何值时，y的值最大？

（3）如果公司想要在这段时刻内获得2250元的销售利润，销售单价

应定为多少元？

22.【阅读明白得】

如图1,在AABC中，AD平分，求证：型空.

BDCD

小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发觉图中无相

似三角形，因此过点B作BE〃AC交AD的延长线于点E,构造AEBDs

△ACD,达到证明火星的目的.

BDCD

（1）请完成小明的证明过程.

【应用结论】

如图，在Rt^ABC中，NB=90°,AD平分NBAC,NBAD=a,sin

a=近，AB=12.

5

①求线段BD的长度.

河南省南阳市唐河县2015届九年级上学期期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题3分，共24分.

1.下列运算错误的是()

A.扬舟娓B.瓜X收3北C.VT讣行2D.

V(-4)x(-9)

考「点：二次根式的混合运算.

分析：按照二次根式的乘法对A进行判定；按照二次根式的加法对B、

C进行判定；按照二次根式的性质对D进行判定.

解答：解：A、V2-住企，因此A选项的运算正确；

B.因此B选项的运算正确；

C.S方仔2仔后3E，因此c选项的运算错误；

D.(_gx(_9)=7^=6，因此D选项的运算错误,

故选：C、D.

点评：本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算,

再把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算.

2.下列讲法中，正确的是()

A.如果亘也q,那么总)

_b_ab_d

B.Vab-Va,^/b

C.方程x2+x-2=0的根是xl=-1,x2=2

D-7(x-1)2=x-1

考点：解一元二次方程-因式分解法；二次根式的性质与化简；二次根

式的乘除法；比例的性质.

专题：运算题.

分析：A、等式两边利用同分母分数加法逆运算法则变形得到结果，

即可做出判定；

B、当a与b都小于。时，原式不成立；

C、利用因式分解法求出方程的解，即可做出判定,；

D、利用二次根式的化简公式运算得到结果，即可做出判定.

解答：解：A、空坛山变形得：中1=今1,即殳£,本选项正确；

bdbdbd

B、当a，0,bNO时，Vab=Va,瓜,本选项错误；

C、方程因式分解得：(x-1)(x+2)=0,解得：xl=l,x2--2,本选

项错误；

D、1(x-D2=|x-1],本选项错误，

故选A

点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，二次根式的性质与

化简，二次根式的乘除法，以及比例的性质，熟练把握运算法则是解本题

的关键.

3.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺

演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（）

A.9B.3C2D1

5555

考点：列表法与树状图法.

分析：列举出所有情形，看恰为一男一女的情形占总情形的多少即可.

解答：解：

男1男2男3女1女2

男1一一VV

男2一—VV

男3一—VV

女1JJJ一

女2JVV一

，共有20种等可能的结果，P（一男一女）=基/.

205

故选B.

点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中

事件A显现m种结果，那么事件A的概率P（A）=三

半部分轮廓制作成抛物线的形状（如

,AE〃x轴，AB=4cm,最低点C在

:廓线DFE所在抛物线的函数解析式

A.(x+3)2B.y=-l(x-3)2C.y=(x+3)2D.

444

(x-3)2

4

考点：二次函数的应用.

分析：利用B、D关于y轴对称，CH=lcm,BD=2cm可得到D点坐

标为（1,1）,由AB=4cm,最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称

可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（-3,0）,因此得到右边抛物线的顶

点C的坐标为（3,0）,然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式.

解答：解：•.•高CH=lcm,BD=2cm,

而B、D关于y轴对称，

二.D点坐标为（1,1）,

AB〃x轴，AB=4cm,最低点C在x轴上，

/.AB关于直线CH对称，

左边抛物线的顶点C的坐标为（-3,0J,

厂.右边抛物线的顶点F的坐标为（3,0）,

设右边抛物线的解析式为y=a（x-3）2,

把D（1,1）代入得l=aX（1-3）2,解得a=。，

4

故右边抛物线的解析式为y=［（X-3）2.

4

故选D.

点评：本题考查了二次函数的应用：利用实际咨询题中的数量关系与

直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法

确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决咨询题.

U获团六近L油形ARCD中.AB=6,AD=9,NBAD的平分线

交I/\G/B长线于F,BGLAE于G,BG=4M，则4EFC的

F

A.11B.10C.9D.8

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质.

分析：判定出4ADF是等腰三角形，AABE是等.腰三角形，DF的长

度，继而得到EC的长度，在Rt^BGE中求出GE,继而得到AE,求出△

ABE的周长，按照相似三角形的周长之比等于相似比，可得出AEFC的周

长.

解答：解：,在口ABCD中，AB=CD=6,AD=BC=9,NBAD的平分

线交BC于点E,

二.NBAF=NDAF,

VAB//DF,AD〃BC,

二.NBAF=NF=NDAF,/BAE=/AEB,

，AB=BE=6,AD=DF=9,

...△ADF是等腰三角形，AABE是等腰三角形，

VAD#BC,

「.△EFC是等腰三角形，且CF=CE,

二.EC=FC=DF-DC=9-6=3,2=工，

BE2_

在4ABG中，BG±AE,AB=6,BG=4&,

AG=7AB2-BG2=2,

，AE=2AG=4,

「.△ABE的周长等于16,

f八可A,相似比为1：2,

F

点评：本题要紧考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，

注意把握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大.

6.已知关于x的方程kx2+(l-k)x-l=0,下列讲法正确的是()

A.当k=0时，方程无解

B.当k=l时，方程有一个实数解

C.当k=-l时，方程有两个相等的实数解

D.当kWO时，方程总有两个不相等的实数解

考点：根的判不式；一元一次方程的解.

分析：利用k的值，分不代入求出方程的根的情形即可.

解答：解：关于X的方程kx2+（1-k）X-1=0,

A、当k=0时，x-1=0,贝1|x=l,故此选项错误；

B、当k=l时，x2-1=0方程有两个实数解，故此选项错误；

C、当k=-l时，-x2+2.x-l=0,贝I（X-1）2=0,现在方程有两个相

等的实数解，故此选项正确；

D、由C得此选项错误.

故选：C.

点评：此题要紧考查了一元二次方程的解，代入k的值判定方程根的

情形是解题关键.

7.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-l,

且过点（-3,0）.下列讲法：

考点：二次函数图象与系数的关系.

专题：压轴题.

分析：按照图象得出a>0,b=2a>0,c<0,即可判定①②；把x=2

代入抛物线的解析式即可判定③，求出点（-5,yl）关于对称轴的对称点

的坐标是（3,yl）,按照当x>-l时，y随x的增大而增大即可判定④.

解答：解：...二次函数的图象的开口向上，

/.a>0,

,二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，

/.c<0,

•••二次函数图象的对称轴是直线X=-1,

-至=-1,

2a

...b=2a>0,

/.abc<0,...①正确；

2a-b=2a-2a=0,.,.②正确；

二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-1,且过点（-

3,0）.

...与x轴的另一个交点的坐标是（1,0）,

二.把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c>0,.,.③错误；

,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=-1,

...点（-5,yl）关于对称轴的对称点的坐标是（3,yl）,

按照当x>-l时，y随x的增大而增大，

V5<3,

2

/.y2<yl,...④正确；

考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质.

分析：按照相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角

形相似即可判定.

解答：解：AABC中，NABC=90。，AB=6,BC=3,AB：BC=2.

A、当点E的坐标为（6,0）时，NCDE=90。，CD=2,DE=1,则A

B：BC=CD：DE,ACDE^AABC,故本选项不符合题意；

B、当点E的坐标为（6,3）时，NCDE=90。,CD=2,DE=2,贝UA

B：BCWCD：DE,ACDE与AABC不相似，故本选项符合题意；

C、当点E的坐标为（6,5）时，NCDE=90。,CD=2,DE=4,则A

B：BC=DE：CD,AEDC^AABC,故本选项不符合题意；

D、当点E.的坐标为（4,2）时，/ECD=90°,CD=2,CE=1,贝AB：

BC=CD：CE,ADCE^AABC,故本选项不符合题意；

故选:B.

点评：本题考查了相似三角形的判定，难度中等.牢记判定定理是解

题的关键.

二、填空题：每小题3分，共21分.

9.ZiABC中，若|sinA-返|+（亚-cosB）2=0,则NC=105度.

22

考点：专门角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质:

偶次方.

分析：按照非负数的性质可求出sinA和cosB的值，按照专门角的三

角函数值，求出NA和NB的值，再按照三角形的内角和是180度，求出N

C的值.

解答：解：由题意知sinA-乎=0,*-cosB=0,

sinA=2^,COSB=9,

22

二.NA=45°,NB=30°.

/.ZC=105°.

点评：本题考查了非负数的性质、专门角的三角函数值.、三角形内角

和定理.

初中时期有三种类型的非负数：①绝对值；②偶次方；③二次根式（算

术平方根）.当它们相加和为。时，必须满足其中的每个部分都等于0.

A

45。

力图所示叠放在一起,则髀值是

3

30。

CD

考点：相似三角形的判定与性质.

分析：由NBAC=NACD=90。，可得AB〃CD,即可证得AABEs4

DCE,然后由相似三角形的对应边成比例，可得：地要，然后利用三角函

ECCD

数，用AC表示出AB与CD,即可求得答案.

解答：解：VZBAC=ZACD=90°,

，AB〃CD,

/.AABE^ADCE,

•BEAB

••-二--9

ECCD

•.•在RtZXACB中NB=45°,

，AB=AC,

•.•在RtZXACD中，ND=3O°,

...CD=AC.=卧。

+Rn30J—

JAC二、”

"ECV3AC节

故答案为：亚.

3

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质.此题

难度不大，注意把握数形结合思想的应用.

11.如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏.距报道，“国

际剪刀石头布协.会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会竞赛项目.“剪刀石

头才|，州F方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一

种，/留卜刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方显现相同手势，

则*甯蜀］、刚和小明两人只竞赛一局，那么两人打平的概率p=A.

T窖3

考点：游戏公平性.

由树状图求得所有等可能的结

石头剪刀布石头剪刀布石头剪刀布

•••共有9种等可能的结果，两人打平的有3种情形,

...两人打平的概率P=L

故答案为：

3

点评：此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为：概率

=所求情形数与总情形数之比.

12.是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在1时，拱顶(拱桥洞

如图建立平面直角坐标系，则抛物线

0

考点：按照实际咨询题列二次函数关系式.

分析：设出抛物线方程丫=2*2(a#0)代入坐标求得a.

解答：.解：设出抛物线方程丫=2*2(aWO),

由图象可知该图象通过(-2,-2)点，

故-2=4a,

a=-1,

2

故丫二一黑.

点评：本题要紧考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际咨询题.

的横断面是梯形ABCD,BC//AD,迎水坡AB

长7--为.则河堤的高BE为24米.

考点：解直角三角形的应用：坡度坡角咨询题.

分析：由已知斜坡AB的坡度丝，可得到BE、AE的比例关系，进而

5

由勾股定理求得BE、AE的长，由此得解.

解答：解：由已知斜坡AB的坡度丝，得：

5

BE：AE=12：5,

设AE=5x,贝ijBE=12x,

在直角三角形AEB中，按照勾股定理得：

262=5x2+(12x)2,

即169x2=676,

解得：x=2或x=-2(.舍去),

5x=10,12x=24

即河堤高BE等于24米.

故答案为:24.

点评：本题要紧考查的是坡度的定义和勾股定理的应用，解题的关键

是从图中抽象出直角三角形，难度不大.

14.二次函数y=ax2+bx+c(aWO)中，自变量x与函数y的部分对应

值如表：则一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的两个根xl,x2的取值范畴

是-l<xl<0,2<x2<5.

211O12

X---

22122至3

122

y2--14

42I1-1-2

44

考点：图象法求一元二次方程的近似根.

分析：按照表格中的自变量与函数值，可得答案.

解答：解：当x=-工时y=-x=0时y=l,得一』<x<0；

242

当x=2时，y=l,*=也时y=-1,得2<x<2

242

故答案为：<xl<0,2<X2<5.

22

点评：本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小

于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间.

F

A

中，NA=90°,NC=30°,BC=12cm,^AABC

绕清时针旋转90°至ADEF的位置,DF交BC于点H.A

ABI的面积为9cm2.

E

考点：旋转的性质.

专题：运算题.

分析：如图，由点P为斜边BC的中点得到PC=1BC=6,再按照旋转

2

的性质得PF=PC=6,ZFPC=90°,NF=NC=30°,按照含30度的直角三

角形三边的关系，在RtAPFH中运算出PH=4PF=2J5；在RtACPM中运

算出PM=®C=2V5,且NPMC=60°,则/FMN=/PMC=60。，因此有N

FNM=90°,FM=PF-PM=6-2如,则在RtAFMN中可运算出MN=1FM=

___2

3-M，FN=V5MN=3V5-3,然后按照三角形面积公式和利用AABC与△口

EF重叠部分的面积=S△FPH-S4FMN进行运算即可.

解答：解：如图，

•.•点P为斜边BC的中点，

.,.PB=PC=1BC=6,

2

「△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至4DEF的位置，

，PF=PC=6,ZFPC=90°,NF=NC=30°,

在RtaPFH中，VZF=30°,

/.PH=£PF=2^X6=2如,

在RtACPM中,"JNC=30°,

/.PM^PC=^X6=273，NPMC=60。,

：.ZFMN=ZPMC=60°,

二.NFNM=90°,

而FM=PF-PM=6-2A/3，

在RtAFMN中,"：ZF=30°,

.•.MN=1FM=3-%

FN=«MN=3«-3,

'重叠部分的面积=S△FPH-S△FMN

'_(3«-3)

点评:本题考查了旋转的性质'对应点到旋转中心的距离相等；对应

点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考

查了含30度的直角三角形三边的关系.

三、解答题：每小题12分，共12分.

16.＜］）运算：si-四。+t乎60°七。金30°一|^-2|~1+3^+（1）

V2cos45+tan452-的述一1

0

解方程：(5x-1)(x+1)=2x+3.

考点：二次根式的混合运算；零指数属；解一元二次方程-公式法；专

门角的三角函数值.

分析：（1）按照专门角的三角函数值，绝对值，分母有理化，立方

根，零指数累分不求出每一部分的值，再代入合并即可；

整理后求出b2-4ac的\加、2代出即可.

（万）+V3

解答：解：（1）原式=―Z——广一-+2+1

q2

=1-2+E一2-仔3后、下+1

(5x-1)(x+1)=2x+3,

方程整理得:5x2+4x-1=2x+3,

即5x2+2x-4=0,

那个地点a=5,b=2,c=-4,

•.•△=4+80=84>0,

.•.x=-2士痫,

ovr

xl=-5,x2=-l-圾

55

点评：本题考查了专门角的三角函数值，绝对值，分母有理化，立方

根，零指数黑，解一元二次方程的应用，要紧考查学生运用所学的知识点

进行运算的能力，难度适中.

17.有A、B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球,

小球上分不标有数字0,1,2,3,B布袋中有三个除标号外完全相同的小

球，小球上分不标有数字0,1,2.小明先从A布袋中随机取出一个小球,

用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n

表示取出的球上标有的数字.

(1)用(m,n)表示小明取球时m与n的对应值，画出树状图(或

列表)，写出(m,n)的所有取值；

求关于x的一元二次方程x2-mx+,n=0没有实数根的概率.

考点：列表法与树状图法；根的判不式.

分析：(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的显

现结果，

利用m,n的值确定AVO时的个数，按照概率公式求出该事件的概率.

解答：解：(1)列表为

A

B0123

0(0,0)(1,0)(3,0)

1(0,1)(1,1)(3,1)

2(0,2)(1,2)(3,2)

由列表知，(m,n)有12种可能；

由方程得△=m2-2n,

当(m,n)的对应值是(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)时，

A<0,原方程没有实数根，故且二，

答：关于X的一元二次方程x2-mx+2n=0没有实数根的概率为工

23

点评：此题要紧考查了列表法求概率，解题时要注意此题是放回实验

依旧不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情形数与总情形数之比.

18.如图，在9X10的正方形网格中，每个小正方形的边长差不多上1,

每m格点.ZXACB和4DCE的顶点都在格点上，ED

I---11

的舛

!_!I

PADCE；

：--一勺面积比.

I____I__________________I____I.

考点：相似三角形的判定与性质.

专题：网格型.

分析：(1)从图中得到AC=3,CD=2.,BC=6,CE=4,ZACB=ZD

CE=90°,故有空事，按照两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得

DCCE

到△ACBs^DCE；

先由相似三角形的对应角相等得出NABC=NDEC,又NBDF=NEDC,

得出△DFBs^DCE,再按照相似三角形的面积比等于相似比的平方即可

求解.

解答：(1)证明：：AC=3,CD=2,BC=6,CE=4,

•••A-C,3BC63

T)C~7CE-4-2

AC_BC

"DC^CE9

又,.•NACB=NDCE=90°,

/.△ACB^ADCE；

解：在RtZSDCE中，DE2=DC2+CE2=22+42=20.

,/△ACB^ADCE,

...NABC=NDEC,

又,.•NBDF=NEDC,

/.△DFB^ADCE.

/.SADFB：SADCE=DB2：DE2=16：20=4：5.

点评：本题要紧考查了相似三角形的判定与性质，难度适中.用到的

知识点:

两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似;

相似三角形的对应角相等;

相似三角形的面积比等于相似比的平方.

楼房和它的塔吊示意图，吊臂AG与地

内距离为5米，每层楼高3.5米，在吊

K得A点的俯角（NMCA）为20。，B

CH都垂直于地面，求塔吊的高CH的

：sin20°^0.34,cos20°^0.94,tan2

=0.77,tan40°^0.84）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角咨询题.

分析：由题意，判定出AB=BC,求出CG的长，按照楼高求出GH的

长，CG+HG即为CH的长.

解答：解：按照题意得，DE=3.5X16=56米，AB=EF=16米，

NACB=NCBG-NCAB=20°,

二.NACB=NCAB,

，CB=AB=16米，

在RtZXGBC中，CG=BC・sin40°=16X0.64=10.24米，

二.CH=CG+HG=CG+DE+AD=10.24+56+5=71.24=71.2米，

...塔吊的高CH的长是71.2米.

点评：本题考查了仰角和俯角咨询题，将CG的长转化为解直角三角

形的咨询题是解题的关键.

20.已知，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,点M为边BC的中点，

点P为边CD上的动点（点P异于C,D两点）.连接PM,过点P作PM

的器：上"心~如于3苣E（如图），设CP=x,DE=y.

J的关系式;

6

考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质.

分析：（1）证明△CMPs^DEP,得出y与x的关系式；按照y的

值，解方程求出x在值.

解答：解：（1）...四边形ABCD是矩形，

二.NC=ND=90°,AB=DC=4,

二.NCMP+NCPM=90°,

VPEXPM,

二.NDPE+NCPM=90°,

二.NCMP=NDPE,

/.△CMP^ADEP,

CP_CM

…丽丽

又CP=x,DE=y,

.•.DP=4-X,

又M为BC的中点，BC=2,

，CM=1,

•••x一=-1-9

y4一x

「・y=-x2+4x；

当E与A重合时，DE=AD=BC=2,

y-2,即x2-4x+2=O,

解得:x=2土&,

经检验适合题意，

Jx的值为2+正或2-近.

点评：本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质以及二次函

数的运用，证明三角形相似是解决咨询题的关键.

21.某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发觉，在一

段时刻内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具

体关系式为：w=-2x+240,且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于

90元/千克.设这种绿茶在这段时刻内的销售利润为y(元)，解答下列咨询

题：

(1)求y与x的关系式；

当x取何值时，y的值最大？

(3)如果公司想要在这段时刻内获得2250元的销售利润，销售单价

应定为多少元？

考点：二次函数的应用.

分析：(1)利用每千克销售利润义销售量=总销售利润列出函数关系

式，整理即可解答；

利用配方法可求最值；

(3)把函数值代入，解一元二次方程解决咨询题.

解答：解：(1)y=(x-50)・w=(x-50)・(-2x+240)=-2x2+340

x-12000,

因此y与x的关系式为：y=-2x2+340x-12000.

y=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450,

二.当x=85时，在50<x<90内,y的值最大为2450.

(3)当y=2250时，可得方程-2(x-85)2+2450=2250,

解那个方程,得xl=75,x2=95；

按照题意，x2=95不合题意应舍去.

答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元.

点评：此题考查利用差不多数量关系列出函数、二次函数的最值以及

二次函数与一元二次方程的关系.

22.【阅读明白得】

如图1,在AABC中，AD平分，求证：型空.

BDCD

小.明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发觉图中无相

似三角形，因此过点B作BE〃AC交AD的延长线于点E,构造AEBDs

△ACD,达到证明胆迫的目的.

BDCD

(1)请完成小明的证明过程.

【应用结论】

如图，在RtA^ABC中，ZB=90°,AD平分NBAC,NBAD=a,sin

a=运AB=12.

5

考点：相似形综合题.

分析：(1)如图，过点B作BE/7AC交AD延长线于点E,按照平

行线的性质得到NDBE=NC,NDAC=NE,由于NBDE=NCDA,推出AB

DE^ACDA,得到些士坦，由于AD平分NBAC,因此得到NBAD=NDAC

CD-AC

=NE,等量代换得到结论；

①在RtZXABD中，NB=90°NBAD=a,sina=近，AB=12,因此求得

5

sina