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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数(),若函数在上有唯一零点,则的值为()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或02.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门。该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题模块。某人在学习过程中,“阅读文章”不能放首位,四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有()A.60 B.192 C.240 D.4323.函数的部分图象如图中实线所示,图中圆与的图象交于两点,且在轴上,则下列说法中正确的是A.函数的最小正周期是B.函数的图象关于点成中心对称C.函数在单调递增D.函数的图象向右平移后关于原点成中心对称4.已知函数满足当时,,且当时,;当时,且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则的取值范围是()A. B. C. D.5.定义在上的奇函数满足,若,,则()A. B.0 C.1 D.26.已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于,则的最大值为A. B. C. D.7.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,则()A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α与β相交,且交线垂直于 D.α与β相交,且交线平行于8.已知数列满足,且成等比数列.若的前n项和为,则的最小值为()A. B. C. D.9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.C. D.10.函数的大致图像为()A. B.C. D.11.抛物线方程为,一直线与抛物线交于两点,其弦的中点坐标为,则直线的方程为()A. B. C. D.12.存在点在椭圆上,且点M在第一象限,使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点,则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数的最大值为______.14.一个村子里一共有个人,其中一个人是谣言制造者,他编造了一条谣言并告诉了另一个人,这个人又把谣言告诉了第三个人,如此等等.在每一次谣言传播时,谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的,当谣言传播次之后,还没有回到最初的造谣者的概率是_______.15.的展开式中的系数为________.16.已知是定义在上的偶函数,其导函数为.若时,,则不等式的解集是___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,三棱柱中,侧面为菱形,.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)在平面四边形中,已知,.(1)若,求的面积;(2)若求的长.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(m为参数),以坐标点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=1.(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;(2)已知点M(2,0),若直线l与曲线C相交于P、Q两点,求的值.20.(12分)如图1,四边形为直角梯形,,,,,,为线段上一点,满足,为的中点,现将梯形沿折叠(如图2),使平面平面.(1)求证:平面平面;(2)能否在线段上找到一点(端点除外)使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.21.(12分)已知数列中,(实数为常数),是其前项和,且数列是等比数列,恰为与的等比中项.(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列的通项公式;(3)若,当时,的前项和为,求证:对任意,都有.22.(10分)已知矩阵,,若矩阵,求矩阵的逆矩阵.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
求出函数的导函数,当时,只需,即,令,利用导数求其单调区间,即可求出参数的值,当时,根据函数的单调性及零点存在性定理可判断;【详解】解:∵(),∴,∴当时,由得,则在上单调递减,在上单调递增,所以是极小值,∴只需,即.令,则,∴函数在上单调递增.∵,∴;当时,,函数在上单调递减,∵,,函数在上有且只有一个零点,∴的值是1或0.故选:C【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题,零点存在性定理的应用,属于中档题.2、C【解析】
四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法.注意按“阅读文章”分类.【详解】四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法,由于“阅读文章”不能放首位,因此不同的方法数为.故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用,考查捆绑法和插入法求解排列问题.对相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法.3、B【解析】
根据函数的图象,求得函数,再根据正弦型函数的性质,即可求解,得到答案.【详解】根据给定函数的图象,可得点的横坐标为,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,当时,,即函数的一个对称中心为,即函数的图象关于点成中心对称.故选B.【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式,以及三角函数的图象与性质,其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式,再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及运算与求解能力,属于基础题.4、C【解析】
先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,分类利用图像列出有3个交点时满足的条件,解之即可.【详解】先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,如图所示,当时,对称后的图象不可能与在的图象有3个交点;当时,要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点,则,解得.故选:C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题,考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想,是一道中档题.5、C【解析】
首先判断出是周期为的周期函数,由此求得所求表达式的值.【详解】由已知为奇函数,得,而,所以,所以,即的周期为.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性,属于基础题.6、A【解析】
求出抛物线的焦点坐标,利用抛物线的定义,转化求出比值,,求出等式左边式子的范围,将等式右边代入,从而求解.【详解】解:由题意可得,焦点F(1,0),准线方程为x=−1,
过点P作PM垂直于准线,M为垂足,
由抛物线的定义可得|PF|=|PM|=x+1,
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得,,当时,,当时,,,综上:.故选:A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用,直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键.考查学生的计算能力,属于中档题.7、D【解析】
试题分析:由平面,直线满足,且,所以,又平面,,所以,由直线为异面直线,且平面平面,则与相交,否则,若则推出,与异面矛盾,所以相交,且交线平行于,故选D.考点:平面与平面的位置关系,平面的基本性质及其推论.8、D【解析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项,进而求得,再利用二次函数的性质,可得当或时,取到最小值.【详解】根据题意,可知为等差数列,公差,由成等比数列,可得,∴,解得.∴.根据单调性,可知当或时,取到最小值,最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意当或时同时取到最值.9、A【解析】
根据题意,可得几何体,利用体积计算即可.【详解】由题意,该几何体如图所示:该几何体的体积.故选:A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算,属于基础题.10、D【解析】
通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【详解】函数的定义域为,当时,,排除B和C;当时,,排除A.故选:D.【点睛】本题考查图象的判断,取特殊值排除选项是基本手段,属中档题.11、A【解析】
设,,利用点差法得到,所以直线的斜率为2,又过点,再利用点斜式即可得到直线的方程.【详解】解:设,∴,又,两式相减得:,∴,∴,∴直线的斜率为2,又∴过点,∴直线的方程为:,即,故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题,解题方法是“点差法”,即设出弦的两端点坐标,代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系.12、D【解析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,由,解得,即,所以,所以.故选:D【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由三角函数图象相位变换后表达函数解析式,再利用三角恒等变换与辅助角公式整理的表达式,进而由三角函数值域求得最大值.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则所以,当函数最大,最大值为故答案为:【点睛】本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式,还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值,属于简单题.14、【解析】
利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.【详解】第1次传播,谣言一定不会回到最初的人;从第2次传播开始,每1次谣言传播,第一个制造谣言的人被选中的概率都是,没有被选中的概率是.次传播是相互独立的,故为故答案为:【点睛】本题考查了相互独立事件概率的乘法公式,考查了考生的分析能力,属于基础题.15、80.【解析】
只需找到展开式中的项的系数即可.【详解】展开式的通项为,令,则,故的展开式中的系数为80.故答案为:80.【点睛】本题考查二项式定理的应用,涉及到展开式中的特殊项系数,考查学生的计算能力,是一道容易题.16、【解析】
构造,先利用定义判断的奇偶性,再利用导数判断其单调性,转化为,结合奇偶性,单调性求解不等式即可.【详解】令,则是上的偶函数,,则在上递减,于是在上递增.由得,即,于是,则,解得.故答案为:【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】
(1)根据菱形性质可知,结合可得,进而可证明,即,即可由线面垂直的判定定理证明平面;(2)结合(1)可证明两两互相垂直.即以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得平面和平面的法向量,即可求得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:设,连接,如下图所示:∵侧面为菱形,∴,且为及的中点,又,则为直角三角形,,又,,即,而为平面内的两条相交直线,平面.(2)平面,平面,,即,从而两两互相垂直.以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图的空间直角坐标系,为等边三角形,,,,设平面的法向量为,则,即,∴可取,设平面的法向量为,则.同理可取,由图示可知二面角为锐二面角,∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定方法,利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值,注意建系时先证明三条两两垂直的直线,属于中档题.18、(1);(2).【解析】
(1)在三角形中,利用余弦定理列方程,解方程求得的长,进而由三角形的面积公式求得三角形的面积.(2)利用诱导公式求得,进而求得,利用两角差的正弦公式,求得,在三角形中利用正弦定理求得,在三角形中利用余弦定理求得的长.【详解】(1)在中,,解得,.(2)在中,,..【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,属于中档题.19、(1)l:,C方程为;(2)=【解析】
(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.【详解】(1)曲线C的参数方程为(m为参数),两式相加得到,进一步转换为.直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=1,则转换为直角坐标方程为.(2)将直线的方程转换为参数方程为(t为参数),代入得到(t1和t2为P、Q对应的参数),所以,,所以=.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.20、(1)证明见解析;(2)存在点是线段的中点,使得直线与平面所成角的正弦值为.【解析】
(1)在直角梯形中,根据,,得为等边三角形,再由余弦定理求得,满足,得到,再根据平面平面,利用面面垂直的性质定理证明.(2)建立空间直角坐标系:假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为,且,,求得平面的一个法向量,再利用线面角公式求解.【详解】(1)证明:在直角梯形中,,,因此为等边三角形
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