专题11 直线与平面的位置关系 解析版

Page1专题11直线与平面的位置关系知识归纳1．直线与平面的位置关系(1)直线在平面内一一有无数个公共点；(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行一一没有公共点．当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．直线a在平面α外可用a⊄α来表示．2．空间中直线与平面位置关系的符号表示和图形表示3．直线与平面位置关系的分类(1)按公共点个数分类：(2)按是否平行分类：(3)按直线是否在平面内分类：4.证明线面平行方法“一找二作三证明”1、“一找二作三证明”是证明线面平行的常用方法，此证明方法分为三步，具体的操作流程如下：第一步，就是“一找”：根据直线与平面平行的判定定理，要证明线面平行，只需要在这个平面内“找”出一条直线与已知直线平行即可.其次是“一找”的原则：一是要“找”的是线线平行，二是要在一个平面图形中“找”.第二步，就是“二作”：在分析题意之后，若不能直接“找”到所需要证明的线线平行的关系，则进入“二作”的程序.从三个方面去理解"二作"，第一方面"作"就是作辅助线或辅助平面，有简单的“作”或复杂的“作”；第二方面，每一次"作"的时候都要围绕证明所需去"作"，要证平行关系就去“作”线线平行；第三方面，要把线线平行的关系“作”在一个平面图形中.第三步，就是"三证明"：经过第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且规范地写出证明命题的整体过程.在"三证明"中要注意三点，第一，数学符号要标准，几何语言表述要规范；第二，书写要有层次性；第三，最后表述证明结果时要严格遵守判定定理的条件.注：线线平行的常见“找”法依据中位线的平行；平行四边形的对边平行；平行线的传递性；线面垂直的性质定理；（5）面面平行的性质定理.2、证明线面平行问题经常出现在立体几何试题中，此类问题主要考查线面平行的性质定理和判定定理的应用.而证明线面平行，关键在于作出合适的辅助线，构造出一组平行线或平行平面.（1）构造三角形的中位线证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找到一组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条直线在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平分线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找中位线。（2）构造平行四边形我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证明线面平行时，可根据图形的特点，找到一组对边平行且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平行四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直线，即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面平行.通过直观观察，若平面内的一条直线与平面外的一条直线长度相等，一般猜想构造平行四边形，这时利用平行四边形对边平行得出线线平行，进而得到线面平行。（3）构造平行平面面面平行的性质有很多，常见的有：（1）若两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只要证明直线所在的平面和平面平行，那么就可以根据面面平行的性质，证明直线和平面平行.当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构造平行平面.若要证明平面，只需构造一个平面//平面，且，那么根据平行平面的性质，即可证明平面.在构造平行平面时，可在平面内作一条直线，使其平行于.也可直接根据正方体、长方体、直棱柱的性质构造平行平面.5.线面垂直的证明直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒l⊥α图形语言6.直线与平面所成的角度问题1.线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]；2.垂线法求线面角：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面ɑ做垂线，确定垂足0；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面ɑ上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影B0与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。题型归纳【题型01直线与平面的位置关系】【题型02直线与平面平行】【题型03直线与平面垂直】【题型01线面平行的辨析】【典例1】1．在空间中，直线平面的一个充要条件是（

）A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过【答案】D【分析】根据线面平行的性质即可结合选项求解.【详解】对于A，B，C，直线都可能在内，故选:D．【题型02线面垂直的辨析】【典例1】2．已知表示直线，表示平面，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】ABD可举出反例，C选项，可利用平行和垂直定理得到.【详解】A选项，如图1，满足，但不满足，A错误；B选项，如图2所示，满足且，但，B错误；C选项，，可得，C正确；D选项，，此时或，D错误.故选：C【题型03直线与平面所成角】【典例1】平面的一条斜线和这个平面所成的角的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据线面角的概念及范围可得答案.【详解】直线和平面所成角的范围是，其中当直线与平面平行或在平面内时所成角为，当直线与平面垂直时所成角为，所以斜线和平面所成角的范围是.故选：D.【典例2】已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由长方体性质易知为与面所成的角，进而求其正弦值即可.【详解】根据长方体性质知：面，故为与面所成的角，，所以.故选：A同步练习一、单选题1．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．，，则 B．，，则C．，，则 D．，，则【答案】C【分析】根据线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.【详解】A选项：若，，则有与相交或或，故A错误；B选项：若，，则有或，故B错误；C选项：若，，由面面平行的性质可知，故C正确；D选项：若，，，则有或，故D错误.故选：C.2．若为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【分析】由线面平行定义可判断选项ACD正误，由线面垂直定义可判断选项B正误.【详解】选项A，m有可能在平面内，故A错误；选项B，因，则使得.因，则使得，即，故B正确；选项C，m有可能在平面内，故C错误；选项D，m有可能在平面内，故D错误.故选：B3．已知三条不同直线、、，两个不同平面、，有下列命题：①，，，，则②，，，，则③，，，，则④，，则其中正确的命题是（

）A．①③ B．②④ C．①②④ D．③【答案】D【分析】对于①：根据面面平行的判定定理分析判断；对于②：根据线面垂直的判定定理分析判断；对于③：根据面面垂直的性质定理分析判断；对于④：根据线面平行的判定定理分析判断.【详解】对于①：根据面面平行的判定定理可知：要求直线、相交，但本题没有提及，所以不能得出，故①错误；对于②：根据线面垂直的判定定理可知：要求直线、相交，但本题没有提及，所以不能得出，故②错误；对于③：根据面面垂直的性质定理可知：，故③正确；对于④：根据线面平行的判定定理可知：要求直线，但本题没有提及，所以不能得出，故④错误；故选：D.4．设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则C．若，则 D．若，∥，则【答案】B【分析】对于A，与相交或平行；对于B，由面面垂直的判定定理得；对于C，与平行或；对于D，与相交、平行或．【详解】设是直线，，是两个不同的平面，对于A，若，，则与相交或平行，故A错误；对于B，若，则内存在直线，因为，所以，由面面垂直的判定定理得，故B正确；对于C，若，，则与平行或，故C错误；对于D，若，，则与相交、平行或，故D错误．故选：B．5．设为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据线线、线面和面面的基本关系依次判断选项即可.【详解】A：若，则或a与b互为异面直线，故A错误；B：若，则或a与b互为异面直线，故B错误；C：若，则，故C正确；D：若，则或或a与b互为异面直线或a与b相交，故D错误.故选：C6．已知正方形的边长为平面，则与平面所成角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线面角的知识求得正确答案.【详解】由于平面，平面，所以，故是与平面所成角，由于正方形的边长为，所以，所以.故选：B7．在长方体中，，，点在棱上，若直线与平面所成的角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由长方体性质确定线面角且求，进而求出长度.【详解】根据长方体性质知面，故为直线与平面所成的角的平面角，所以，则，可得，如下图示，所以在中，符合题设.故选：B8．如图所示，在正方体中，直线与平面所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正方体的性质可得为与平面所成的角，从而可求得结果.【详解】因为在正方体中，平面，所以为与平面所成的角，因为为等腰直角三角形，所以，所以直线与平面所成的角为，故选：A9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则D1A与平面ABCD所成的角为（

）A．45° B．60° C．90° D．135°【答案】A【分析】根据正方体的性质可知即为直线与平面所成的角，从而求出结果．【详解】解：依题意，如图所示，根据正方体的性质可知，平面，∴即为直线与平面所成的角，又∵，，∴为等腰直角三角形，∴，故选：A．10．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（）A．20° B．70°C．90° D．110°【答案】B【分析】由直线与平面所成角的概念求解【详解】∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°故选：B11．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点，连接，易证平面，进一步得到线面角，再解三角形即可.【详解】如图，取的中点，连接，三棱柱为直三棱柱，则平面，又平面，所以，又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点，从而，而平面，平面，且，所以平面，则为与平面所成的角.在直角中，.故选：C12．若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意求出，利用线面角的定义求解即可．【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得，设该圆锥的母线与底面所成角，则，所以．故选：C13．如图，在棱长为2的正方体中，､分别为棱､的中点，则与平面所成角的正切值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用面，可得就是与平面所成的角，解三角形即可．【详解】解：连接，∵面，∴就是与平面所成的角..故选：D.14．已知空间中不过同一点的两条直线，及平面，则“，与平面所成的角相同”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据线面关系及其性质，直接判断即可得解.【详解】如图，当，与平面所成的角相同，，而此时不共平行，故不成立，反之，则，与平面所成的角相同成立，故选：B.15．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正三棱柱的性质和线面所成角的定义得到与平面所成的角为.根据棱柱的底面平行，即为与平面所成角，进而计算得到所求．【详解】平面，与平面所成的角为.又，，可得，而平面平面，与平面所成角的正弦值为.故应选：B.16．已知长方体中，，，长方体的体积是32，则直线和平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知，取的中点，连接，易证平面，则即为和平面所成角，在中即可求出结果.【详解】因为长方体的体积是32，所以；所以四边形为正方形，如下图所示：取的中点，连接，则又，所以平面所以即为和平面所成角；有勾股定理可知;；所以在中，.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面角的求法，属于基础题.17．以下说法正确的是（

）A．空间异面直线的夹角取值范围是B．直线与平面的夹角的取值范围是C．二面角的取值范围是D．向量与向量夹角的取值范围是【答案】C【分析】空间异面直线的夹角取值范围是，所以选项错误；直线与平面的夹角的取值范围是，所以选项错误；二面角的取值范围是，所以选项正确；向量与向量夹角的取值范围是，所以选项错误.【详解】选项：空间异面直线的夹角取值范围是，所以选项错误；选项：直线与平面的夹角的取值范围是，所以选项错误；选项：二面角的取值范围是，所以选项正确；选项：向量与向量夹角的取值范围是，所以选项错误.故选：C【点睛】本题主要考查空间的角的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．正方体中，直线和平面所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，交于，连接，则可证得为直线和平面所成的角，然后在直角三角形求解即可【详解】解：如图，连接，交于，连接，因为平面，在平面内，所以，因为，，所以平面，所以为直线和平面所成的角，设正方体的棱长为1，则，所以，因为，所以，所以直线和平面所成的角为，故选：A

【点睛】此题考查线面角的求法，考查计算能力，属于基础题19．如图，四棱锥中，平面，则与平面所成的角为图中的（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据线面角的概念，直接得出结果.【详解】因为平面，所以，为垂足，所以与平面所成的角为.故选：B.【点睛】本题主要考查线面角的概念，属于基础题型.20．已知圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先理解圆锥体中母线与底面所成角的正切值为它的高与底面半径的比值，结合圆锥的体积公式及已知条件即可求出正切值【详解】设圆锥的高为，则由题意，有∴，即为母线与底面所成角的正切值故选：D【点睛】本题考查了圆锥体，理解母线与底面所成角即线面角的确定，由已知条件结合圆锥的体积公式求线面角的正弦值21．如图，空间四边形中，平面平面，，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【分析】过点作,垂足为,证明AD与平面BCD所成的角是,再求的大小即得解.【详解】如图，过点作,垂足为.因为平面平面，，平面平面,所以平面,所以AD与平面BCD所成的角是,因为，且AB＝AD，所以.所以AD与平面BCD所成的角是.故选：B.【点睛】本题主要考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.22．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（

）①平面PBC

②平面PCD

③平面PDA④平面PBAA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】证明，即可证明②③正确；平面，故①错误，平面，故④错误．【详解】对于①，平面，故①错误；对于②，由于为的中点，为的中点，则，平面，平面，则平面，故②正确；对于③，由于，平面，平面，则平面，故③正确；对于④，由于平面，故④错误．故选：B23．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【解析】根据正方形的特点，可得，，然后根据线面垂直的判定定理，可得结果.【详解】由题意：，，，平面所以平面正确，D不正确；.又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；同理平面不正确；故选：A【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，属基础题.二、填空题1．在正方体中，与平面所成角的大小为.【答案】【分析】找到即为与平面所成角，求出大小.【详解】由于⊥平面，故即为与平面所成角，因为，所以，故与平面所成角为.故答案为：2．二面角的平面角的取值范围是.【答案】【分析】利用二面角的取值范围可得结果.【详解】二面角的平面角的取值范围是.故答案为：.3．已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则.【答案】4【分析】根据线面垂直和等腰三角形三线合一的性质得到点为中点，然后根据直角三角形的性质求即可.【详解】因为平面，平面，所以，因为，所以点为中点，因为，，所以.故答案为：4.

4．直线与平面平行的性质定理：文字语言：一条直线和一个平面平行，如果过的平面和相交，那么这条直线与平行．图形语言：如图所示．

符号语言：若，且，则．【答案】该直线此平面交线【分析】由线面平行的性质定理可得.【详解】由线面平行的性质定理可得：一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面和此平面相交，那么这条直线与交线平行.符号语言表示为：若，且，则.故答案为：该直线；此平面；交线；.5．下列关于直三棱柱中点、线、面位置关系的说法正确的有.①直线与直线平行；

②直线与平面垂直；③直线与平面平行；

④直线与平面垂直【答案】①②③【分析】对于①②，由三棱柱的定义可得；对于③，可用线面平行的性质得到；对于④，可举出反例.【详解】如图，由直三棱柱的性质可知：①直线与直线平行，①正确；②直线与平面垂直，②正确；③因为，平面，，故直线与平面平行，③正确；④不妨设为等边，则此时直线与平面不垂直，④错误.故答案为：①②③.6．若平面∥平面，，下列说法正确的是.（填序号）①a与β内任一直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内任一直线不垂直；④a与β无公共点.【答案】②④【分析】在正方体中，借助正方体中的点、线、面间的关系，逐个对选项进行分析判断，从而求出结果.【详解】如图，在正方体中，令线段B1C1所在的直线为a，面为平面，面为平面，在正方体中，易知，，即，所以①和③错误；又因为平面∥平面，，所以，所以根据线面平行的定义和性质知，与内的无数条直线平行且与无公共点，所以②和④正确.故答案为：②④.7．下列三个说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线a⊄α，b⊂α，则a∥α；③若a∥b，b⊂α，则a与α内任意直线平行．其中正确的有．【答案】②【分析】根据直线与平面之间的位置关系即可求解．【详解】对于①，若直线a在平面α外，可能与平面相交，不一定平行．故①不正确；对于②，由直线与平面平行的判定定理可知②正确；对于③，a与平面α内的直线可能平行，相交或异面，故③错误．故答案为：②．8．两个平面平行的判定定理∶"如果一个平面上的与另一个平面平行，那么这两个平面平行.【答案】两条相交直线【详解】略三、解答题1．如图，在三棱柱中，，，设O为与的交点，点P为的中点．求证：平面；

【答案】证明见解析【分析】利用线面平行的判定定理证明.【详解】如图，四边形为平行四边形，所以为的中点，且为的中点，所以在中，为中位线，所以,且面，面,所以平面.2．如图，四棱锥的底面为正方形，E为PB的中点.证明：平面.

【答案】证明见解析【分析】作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而得到线面平行.【详解】连接，交于，连接，因为底面为正方形，所以为的中点，

因为E为PB的中点，所以是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面.3．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

(1)求三棱柱的表面积；(2)求证：平面．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分别求三棱柱每个面的面积相加即可；（2）利用线面平行的判定定理证明即可.【详解】（1）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，所以侧面，，均为矩形．因为，所以底面，均为直角三角形．因为，，所以．所以三棱柱的表面积为．（2）连接交于点，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点．因为为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．

4．已知正方体，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】【分析】作出线面角，然后根据三角函数定义可得.【详解】设正方体棱长为，则，由正方体性质可知，平面，所以即为直线与平面所成角，所以,所以直线与平面所成角大小为.故答案为：.5．如图，在正方体中，，求：(1)异面直线与所成角的正切值；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）找到即为异面直线与所成角，求出各边长，得到答案；（2）作出辅助线，证明出面，求出点到平面的距离为.【详解】（1）因为，所以即为异面直线与所成角，因为，由勾股定理得，，故，所以；（2）连接交于，则，因为⊥平面，平面，所以，又因为，，平面，所以面，所以线段为所求距离，所以点到平面的距离为.6．如图，三棱锥中的三条棱两两互相垂直，，点满足．(1)证明：平面．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由直线和平面垂直的性质定理结合勾股定理，利用直线与平面垂直的判定定理即可证明.【详解】（1）证明：三棱锥中的三条棱两两互相垂直，，，，平面，平面，平面，，设，，中，，则，，点满足,，在中，由余弦定理得，，，，即，又，，平面，平面．

7．如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC.

【答案】证明见解析【分析】根据三垂线定理即可得证.【详解】因为PA⊥平面ABC，所以PC是平面ABC的斜线，所以AC是PC在平面ABC上的投影，因为BC⊂平面ABC且AC⊥BC，所以由三垂线定理得PC⊥BC.8．如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．

(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）由线面垂直的判定证明；（2）求出直角梯形的面积，以为四棱锥的高求体积.【详解】（1）∵底面，底面，∴．又，，平面，∴平面．（2）由题意易知四边形为直角梯形，∴．∴．9．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.

(1)证明：；(2)证明：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件证明平面，再通过线面垂直的性质得到线线垂直；（2）设，根据条件得到，再结合线面平行的判定定理证明即可.【详解】（1）在直三棱柱中，平面，因为平面，所以.因为，，，所以，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以（2）设，连接，

则是的中点，又因为是的中点，所以因为平面，平面，所以平面.10．如图，在正方体中，

(1)求证：平面；(2)求证：平面；【答案】(1)证明见解析