河北省衡水市故城县某中学2023届数学高一年级上册期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

请将正确答案涂在答题卡上.)

x

r-COS—

a,a,V3?

1.定义运算：=。避4一。2%，将函数/(幻=的图象向左平移皿〃2>0)的单位后，所得图象关于.V轴

a.a,1.x

对称，则比的最小值是。

2.直线区一〉一攵=0(丘R)与圆.d+y2=2交点的个数为

A.2个B.1个

C.0个D.不确定

3.若偶函数f(x)在定义域内满足/(x+2)=/(x),且当xe[0,l]时，/(x)=x2；则g(x)=/*)-lg|x|的零点的

个数为O

A.lB.2

C.9D.18

4.函数/(x)=x«2%一2d+i的零点个数为()

A.1B.2

C.3D.4

5.已知向量1=(2,3),B=(X，2),且则|2。+3冽=()

A.273B.V13

C.12D.13

6.将函数/(x)=2sin(2x+e)的图象沿x轴向右平移弓个单位后，得到的函数图象关于V轴对称，则。的值可以是

()

兀n

A.—B.-

36

c5n2n

63

7.已知m,n表示两条不同直线，。表示平面，下列说法正确的是

A.若加//。,"//。，则相〃〃B.若机_L。，〃ua,则机

C.若根_1_。，贝D.若m//a,根_L〃，则〃_La

8.“角A小于上”是“角A是第一象限角”的()

2

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

9.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间。+8)单调递增.若实数a满足于(咋2")+/(l°g[①<2/⑴，则

2

a的取值范围是

A.[1,2]B.(0,；

C.1,2D.(0,2]

10.若函数七;：=2X+3K+C<在区间(01内存在零点，则实数&的取值范围是()

A-(-OO,-5)

C*(0.5)D.(L+S)

11.已知扇形周长为40,当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为。

35

A.-B.-

22

C.3D.2

12.地震以里氏震级来度量地震的强度，若设/为地震时所散发出来的相对能量，则里氏震级/可定义为/=0.61g/.

在2021年3月下旬，A地区发生里氏3.1级地震，B地区发生里氏7.3级地震，则8地区地震所散发出来的相对能量

是A地区地震所散发出来的相对能量的()倍.

A.7B.106

C.107D.108

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

13.已知黑函数y=/(x)的图象过点(3,1,贝ij〃2)=.

41,厂L

14.若两个正实数K,满足耳+苏=1,且不等式6+42后-6m恒成立，则实数m的取值范围是

15.某校高中三个年级共有学生2000人，其中高一年级有学生750人，高二年级有学生650人.为了了解学生参加整

本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取

的人数为.

16.已知函数〃司=64112%+卜0524现有如下几个命题：

①该函数为偶函数；

7171

②是该函数的一个单调递增区间;

③该函数的最小正周期为万；

(7冗、

④该函数的图像关于点-仃,0对称

I12/

⑤该函数的值域为[-1,2].

其中正确命题的编号为

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.已知函数/(x)=Asin(cox+。)A>0,/>0,|。在一个周期内的图像经过点联71《和点IMT,且

12

TT

fM的图像有一条对称轴为%=—.

12

(1)求.f(x)的解析式及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间.

18.已知定义域为R的函数f(x)=J=是奇函数.

3+3”“

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)若/1og4X-log2[)+/(4-24)>0恒成立，求实数。的取值范围.

19.已知q和"均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,...»q-l},

集合A={x|x=Xi+&g+.・・+*nq"T,X/G/W,/=1,2,n]

(1)当q=2,"=3时，用列举法表示集合A

nl

(2)设s,5=01+029+…+。档。一1,t=bi+b2q+-+bnq~9其中S,biGM,/=1,2，m证明:若加<瓦,

则$<t.

3

20.已知二次函数/(x)满足/(())=〃1)=1,且〃x)的最小值是:

(1)求/(x)的解析式；

(2)若关于x的方程“X)=x+〃?在区间(-1,2)上有唯一实数根，求实数m的取值范围；

⑶函数g(x)=/(x)—(25l)x,对任意苞，9«4,5］都有|g(xj-g(x2)|<4恒成立，求实数t的取值范围

21.在①函数/(力=卜而3：+A0$闲2-2(0>0)；②函数〃x)=4cosssin"+V)-l®>0)；③函数

〃x)=2sin(2的+夕)(。>0,|同<的图象向右平移个单位长度得到g⑺的图象，g(x)的图象关于原点对

称；这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题

已知(只需填序号)，函数/(力的图象相邻两条对称轴之间的距离为

(I)求函数y=/(x)的解析式；

(2)求函数y=/(x)的单调递减区间及其在xw0,|上的最值

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

22.已知函数/(x)=2sin(s+>0,网<g)图象的一条对称轴方程为x=-］，且其图象上相邻两个零点的距

29

离为。

3

(1)求.f(x)的解析式；

(2)若对VXG0,1,不等式何(x)>2,〃+l恒成立，求实数，”的取值范围.

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.)

1、C

【解析】由题意可得/。)=6411；一以为；=2411(；-9)，再根据平移得到的函数为偶函数，利用对称轴即可解出.

2226

I-xXXTC

【详解】因为=4。4-42a3，所以/(-^)=v3sin——cos—=2sin(----),其图象向左平移〃?(m＞0)个单位,

2226

得到函数F(x+〃?)=2sin(生”一乡)的图象，而图象关于＞轴对称，所以其为偶函数，于是

26

04-47r4乃

匕n"i—2=72C+左肛攵eZ,即加=丝+2人肛ZeZ,又加＞0,所以，〃的最小值是把

26233

故选：C.

2、A

【解析】日一y-%=0化为点斜式：y=k(x-l),

显然直线过定点(1,0),且定点在圆f+y2=2内

.•.直线与圆相交，

故选A

3、D

【解析】由题，8*)=/(%)-恒1》1的零点的个数即丁=/0),丁=馆1》1的交点个数，再根据/(幻的对称性和周期

性画出图象，数形结合分析即可

【详解】由/(x+2)=/(x)可知偶函数/(x)周期为2,故先画出xe[0,l]时，/(无)=/的函数图象，再分别利用偶

函数关于了轴对称、周期为2画出f(x)的函数图象，则g(x)的零点个数即为/(x)=lg|x|的零点个数，即

y=/(x),y=lg|x|的交点个数，易得在(0,+。)上有9个交点，故在定义域内有18个交点.

4、B

【解析】函数"X)的定义域为R,

2

且/(-%)=(-%).2+M—2(—4+1=f.2第-+1=,

即函数/(x)为偶函数，

当X20时，/(x)=x2.(2^-2)+1,

设04王</，贝!I：

/⑺-/（切=［片.（2-1-2）+1卜凶（2F-2）+1］

=寻（2-再-2）-W.（2日-2）,

•,­0W司12，：.。《其佑0）2F_2,2』_2,

据此可得:片.（2/—2）>4（2F一2）,据此有:/（%）-/（%）>0,

即函数“X）是区间［0,+8）上的减函数，

由函数的解析式可知：/（0）=1>0,/（1）=-1<0,

则函数在区间［0,+8）上有一个零点，

结合函数的奇偶性可得函数在K上有2个零点.

本题选择8选项.

点睛：函数零点的求解与判断方法：

⑴直接求零点：令/（x）=（）,如果能求出解，则有几个解就有几个零点

⑵零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间团，M上是连续不断的曲线，且/m）ys）vo,还必须结合函数的图象

与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点

⑶利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有

几个不同的零点

5、D

【解析】由可得x=—3,由向量加法可得2"+3刃=（-5,12）,再结合向量模的运算即可得解.

【详解】解:由向量£=（2,3）,b=（x，2）,且oH，

则2x+2x3=0,即x=—3,即B=（—3,2）,

所以2l+3B=（—5,12）,

所以12G+3闸=7（-5）2+122=13,

故选:D.

【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了向量加法及模的运算，属基础题.

6、C

【解析】首先求平移后的解析式y=2sin2\x-^\+（p,再根据函数关于y轴对称，当x=0时，

TTTT

――+e=—+A»,ZeZ,求9的值.

32

【详解】函数/(x)=2sin(2x+0的图象沿x轴向右平移弓个单位后的解析式是y=2sin2^x-^+(p,

若函数图象关于>轴对称，当x=0时，

冗7U,j_

------+0=——Fk兀、%£Z,

32

5冗

解得：(P-.......Hkjv,keZ

6

5万

当左=0时，(P=—.

6

故选：c

【点睛】本题考查函数图象变换，以及根据函数性质求参数的取值，意在考查基本知识，属于基础题型.

7、B

【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.

考点：空间点线面位置关系

8,D

【解析】利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论.

TT7T

【详解】若角A小于生，取4=,此时，角A不是第一象限角，

24

7T

即“角A小于一”/“角A是第一象限角”；

2

JTTT

若角A是第一象限角，取4==+2乃，此时，A>-,

42

7T

即“角A小于一”牛“角A是第一象限角”.

2

TT

因此，“角A小于一”是“角A是第一象限角”的既不充分也不必要条件.

2

故选：D.

9、C

【解析】函数/(x)是定义在或上的偶函数，.•.f(log2a)+fgg23w2/Q),等价为

a

/(log2a)+/(-k>g2^=2/(log2a)<2/(])).即“logzGWf(I).,••函数/Q0是定义在火上的偶函数，且在区

间[0,+00)单调递增，...fQog2GWfQ))等价为f(卜坦2司)W/Q).即24区L，一1Wbg2aW1，解得」W442,

2

故选项为C

考点：(1)函数的奇偶性与单调性；(2)对数不等式.

【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应

用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：/(k>g2a)</(I),即

/0og2a|)<f(T),结合单调性得：随21区1将不等式进行等价转化TSbgzaWl即可得到结论.

10、B

【解析】利用零点存在性定理知晨0),/(1)<0,代入解不等式即可得解.

【详解】函数f、.：=2'+3*+艮在区间［0」内存在零点，且函数在定义域内单调递增，

由零点存在性定理知即(i+a)(5+a)<0，解得一5<a<—1

所以实数1的取值范围是-5,-1)

故选：B

11、D

【解析】设出扇形半径并表示出弧长后，由扇形面积公式求出取到面积最大时半径的长度，代入圆心角弧度公式即可

得解.

【详解】设扇形半径一,易得0<r<20,则由已知该扇形弧长为40-2r.

记扇形面积为S,则s=gr(40—2r)=r(20—r)W“+2：二)=100,

40-2r20

当且仅当厂=20—r,即r=10时取到最大值，此时记扇形圆心角为。，则。=-------=—=2

r10

故选：D

12、C

【解析】把两个震级代入/=o.6/g/后，两式作差即可解决此题

【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为乙，里氏7.3级地震所散发出来的能量为八，贝!|3.1=0.6依乙…①，

7.3=0.6她…②

②一①得：4.2=0.6/g，，解得：7=10?

故选：C

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

I

13、-##0.25

4

【解析】设f(x)=xa,代入点求解即可.

【详解】设幕函数y=/(x)=x*

因为y=/(x)的图象过点(3,5，

所以3。=，，

解得々=一2

所以/(x)=%-2,得

/⑵=2-2=；

4

故答案为：一

4

14.[-2,8]

【解析】根据题意，只要//一6m<(6+4j，“n即可，再根据基本不等式中的“1”的妙用，求得

(6+4后).=16,解不等式//一6〃2—16«0即可得解.

【详解】根据题意先求«+4八得最小值，

由x>0,y>0,

得\[x+4y[y=(Vx+4y/y)(—f=+—j=)

=4+4+¥+e8+2怦半=8+8=16,

yJxyjy\yjy

所以若要不等式五十心27,一6加恒成立，

只要162/??—6加，即〃/-6机一16V0,

解得一2WmW8,所以me[-2,8].

故答案为：[-2,8]

15、60

【解析】求出高三年级的学生人数，再根据分层抽样的方法计算即可.

【详解】高三年级有学生2000-750-650=60CA，

用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本,

应抽取高三年级学生的人数为

200X—=60

2000

故答案为：60

16、(2X3)

【解析】由于/(—x)=-^^sin2x+|cos2X为非奇非偶函数，①错误.xe,2xe-玲，此时

/(x)=Gsin2x+cos2x=2sin(2x+^),其在一;弓上为增函数，②正确.由于

/(x+7i)=V3sin2x+|cos2x|=/(x),所以函数最小正周期为兀，③正确.由于

/f—1=V3sin—+cos—=-75+且H0,故④正确.当2x=包

U2J6622

时，/=—6+等*—L732+0.707<—1,故⑤错误.综上所述,正确的编号为②③.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17、(1)/(x)=4sml3x+—I,—•(2)一丁"1——(攵^Z)・

【解析】(1)由函数图象经过点(=，4］且f(x)的图象有一条对称轴为直线x=2，

U2J12

可得最大值4且能得周期并求得"，由五点法作图求出9的值，可得函数的解析式

(2)利用正弦函数的单调性求得/•<>)的单调递增区间

【详解】⑴函数f(x)=4sin(3广。)(Q0,3>0,冏<微)在一个周期内的图象经过点

n

且F(x)的图象有一条对称轴为直线x=一,

故最大值Q4,且「冷？f，

T=—,

3

〃，

...3=2=3

T

所以/(x)=4sin(3x+。).

因为/(X)的图象经过点所以4=4sin(3x*+c

TT

所以夕=—+2攵兀，keZ.

4

ITTT

因为lel<7,所以。=:，

24

所以f(x)=4sin[3x+?).

I71\7TTT7T

(2)因为/(%)=4sin3xH,所以----F<3xH—<—F2k兀,女£Z,

k4)242

~,、t712k7l,,712k7l,r

所以----1---Wx<--1---9kGZ,

43123

即f(x)的单调递增区间为一?+等，展+等(ZeZ).

【点睛】本题主要考查由函数尸/sin(3升。)的性质求解析式，通常由函数的最大值求出4由周期求出3,由

五点法作图求出夕的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题

1-3V41

18、(1)/(x)=-----；(2)a>—.

J3+3'+,r16

【解析】

(1)由/(幻是奇函数可得/(—)=一/(幻=(〃-1乂3'+1)=0,从而可求得〃值，即可求得了(x)的解析式；

(2)由复合函数的单调性判断/(x)在R上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为

llog2x.(3-log2x)<2«-4>令「=1唯》，利用二次函数的性质求得g⑶-产)的最大值，即可求得。的取值范围

【详解】(D因为函数f(x)=±W为奇函数，

3+3*”

x

所以/(—x)=—/(x),即3n-^T=一n-3*

3+3-x+i3+3*M

如“〃3—1_n-V

13向+3--3+3川

所以〃—1=—〃+3'—1乂3*+1)=0,

1_3'

可得〃=1,函数/"(幻=工^

3+3.|

c,、i-3Aiy-ii2

(2)由(D知八幻=短二=一]对=一§+逆可

所以/(X)在(YO,E)上单调递减.

由,/^log4x-log21^+/(4-2a)>0,得/「og4X-log2'|)>-/(4-2a),

因为函数/(x)是奇函数，

所以/[logilogzg)〉/(2。-4),

所以log4x(3-log2x)<2。-4,整理得(log?x(3-log2x)<2a—4,

设，=log2X,twR,

则g(3r—产)<2a—4,

q1o

当时，y=](3f-产)有最大值，最大值为耳.

941

所以2。-4>—,即—.

816

【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：(1)奇函数由/(X)十/x)=o恒成立

求解，(2)偶函数由/(%)-/(-%)=0恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由/(0)=0求解，偶函数一

般由/(1)一/(一1)=0求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.

19、(1)A={0,1,2,3,4,5,6,7)；(2)见解析.

【解析】(I)当q=2,n=3时，M={0,1},A={x|x=xi+x2*2+x3*22,xgM,i=L2,3}・即可得到集合A；

(II)由于a”bi^M,i=L2,n.an<bn,可得an・bn£l.由题意可得

n2nln2nl

s-t=(ai-bi)+(ai-b2)q+...+(an-i-bn-i)q'+(an-bn)q<-[l+q+...+q'+q],再利用等比数列的前n项和公式即可得出

试题解析：

2

⑴当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=xi+xr2+x3-2,x.GM,i=L2,3},可得

A={0,1,2,3,4,5,6,7}

n-1

(2)证明：由s,t£A,s=ai+azq+…+即qnT,t=bi+b2q+...+bnq,a”bi@M,i=L2,n及an<bn,可得

n2111

s-t=(ai-bi)+(a2-b2)q+...+(an_i-bn-i)q-+(an-bnjq-

<(q—l)+(q-l)q+...+(q—l)qn—2—qn-1

_(q-1)(1—『1)_cn-l

1一q

=—1<0,

所以S<t.

513

20、(1)/(X)=X2-X+1(2){0}U［l,4)(3)

【解析】(1)因/(0)=/。)，故对称轴为x=；,故可设=+-,再由/⑴=1得a=l.(2)

2\2)4

〃x)=x+〃2有唯一实数根可以转化为y=m与y=/(x)7有唯一的交点去考虑.⑶g(x)=%2-2rx+l,任意

不马目4句都有不等式原5卜且色卜孤立等价于/㈤侬二八比0〃，分区4、4</4|、■|<fW5和

/>5四种情形讨论即可.

解析：(1)因/(o)=/⑴，对称轴为元=不设〃x)=aX--+士，由/(o)=l得a=l,所以.f(x)=x2—X+1.

2k2；4

(2)由方程/(x)=x+/〃得加=f—2x+l，即直线>=加与函数.丫=%2-21+1.«-1,2)的图象有且只有一个交

点，作出函数》=%2一2工+1在%«-1,2)的图象易得当〃2=0或〃?目1,4)时函数图象与直线丁=加只有一个交点，

所以加的取值范围是{0}U［l,4).

(3)由题意知g(x)=f-2及+1.

假设存在实数/满足条件，对任意埠马日4,5］都有|g(xj-g(x2)|<4成立，即［|g(xj-g(xJL<4,故有

［g(x)L—［g(x)L<4,由g(x)=(x—f)2T2+i,xe［4,5］.

当Y4时,8(%)在［4,5］上为增函数加(力］旧一幅(切沛11=8(5)-8(4)<4,r>|,所以|<f/4；

当4<f4|时，［g(x)］皿一［g(x)L,=g(5)-g")<4,25-10/+1-/+2/一1<4.即/_10/+21<0,解得

9

3<r<7,所以4<，4一.

2

当TQ5时，［g(x)］_一［g(切*=g(4)-g⑴<4

9

即产一8/+12<0解得2<，<6.所以一</45.

2

当/>5时，[g(x)L—[g(x)Ln=g⑸—g(4)<4,即「<£,所以5<k当，综上所述，|<z<y>

所以当〈当时，使得对任意方,七44,5]都有|g(%)-g(/)|<4成立.

点睛：(1)求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式(如双根

式、顶点式、一般式)；

(2)不等式|/(内)一〃％2)归”对任意的》引。，国恒成立可以等价转化为了(初皿一/(工焉<加恒成立.

21、(1)条件选择见解析，/(x)=2sin(2x+£)

兀24]

(2)单调递减区间为k7r+—,k7r+—(AGZ),最小值为-1,最大值为2

_63

【解析】(D选条件①：利用同角三角函数的关系式以及两角和的正弦公式和倍角公式，将/(x)化为只含一个三角

函数形式，根据最小正周期求得。=1,即可得答案；

选条件②：利用两角和的正弦公式以及倍角公式，将/(x)化为只含一个三角函数形式，根据最小正周期求得。=1,

即可得答案；

7T

选条件③，先求得。=1,利用三角函数图象的平移变换规律，可得到g(X)的表达式，根据其性质求得。=W，即得答

6

案；

冗冗477T

(2)根据正弦函数的单调性即可求得答案，再由0,-,确定2x+二w,根据三角函数性质即可求得

_2JoL66

答案.

【小问1详解】

选条件①：

法一：/(x)=(sinCDX+43COSCOX)2-2

=sin2cox+3cos2cox+2>/3sincoxcoscox-2

=2cos2GX-1+6sin2cox

=>/3sin2cox+cos2cox

=2sinf269X+

又由函数/(X)的图象相邻两条对称轴之间的距离为探,

可知函数最小正周期T=2巴=)，，。=1,

2co

/(x)=2sin(2x+?)

选条件②：

f(x)=4cosd?xsinGX+--1

k6J

4(•71.i

=4COSGXsin<yxcos—+coscoxsm--1

I66)

-2百sincoxcoscox+2cos2cox-1

=>/3sin2cox+cos2cox

又最小正周期T=-----71,69=1,

2co

/./(x)=2sin|2x+—I

选条件③:

由题意可知，最小正周期T=----=7T/.<y=l,

2G9

/.f(x)=2sin(2x+。),