高考数学复习-立体几何知识点梳理

高考数学专题复习

一立体几何知识点梳理

一、空间几何体

lo多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两

个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

2,棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所

围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面.

3,棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中

[72

心。正四面体的图（=§/正方体体对角线）

I

正四面体的体积为力/（/方体一4%、三棱锥=§乙方体）

正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为]23（=:/正方体体对角线:2/正方体体对角线）

62

外接球的半径为斗。（是正方体的外接球，则半径=;/正方体体对角线）

内切球的半径为，I。（是正四面体中心到四个面的距离，则半径=3/正方体体对角线）

正四面体:

4。棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得的棱台叫做

正棱台.

正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的

正多边形

5,旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，

6。圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋

转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。

圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角

形、等腰梯形。注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式/=&/?

7.球：以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体（简称球）

球的截面性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r,

有下面的关系：d2=/?2+r2

球面距离:

例题1：把地球看作半径为"的球，48是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60。，从6两点间的

球面距离为_____________

例题2：三棱锥0-ABC的三条棱0A,OB,OC两两垂直，OA=1,0B=0C=2,则内切球表面积为,外接

球体积为.

例题3：已知球。的半径为1,/、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为巴，则球心。到平面

2

4%的距离为（）

A1R有「2石

3333

例题4：已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=C4=2,则球面面

积是（）

内切球和外接球:

例题1：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则

该正三棱锥的体积是（）

A3百V3「右V3

A.--DB.—C.—Dn.—

43412

例题2：正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）

A.1：73B.1：3C.1：36D.1：9

例题3：（2012新课标理）已知三棱锥5-ABC的所有顶点都在球。的求面上，A4BC是边长为1的正三角

形，SC为球。的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为（）

A.互B.好C.巫D.显

6632

例题4：（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球0表面上的点,PA_L平面ABCD,四边形ABCD是边长为2代正

方形.若PA=2A/6,则AOAB的面积为.

8。简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。

一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图（正视图）。

和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，

投影到这个平面内的图形叫做左视图（侧视图）。三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的

正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。

（1）、三视图画法规则：

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

（2）、空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）;

侧视图(从左向右的正投影);

俯视图(从上向下正投影).

例题：某四棱锥底面为直角梯形，

一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示，

则其体积为.

(3)、空间几何体的直观图——斜二测画法特点：

①斜二测坐标系的y轴与x轴正方向成45°角；②原来与x轴平行的线段仍然与龙平行，长度不变;

③原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半.

常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为2行：1.

9、特殊几何体表面积公式(c为底面周长，为高，/为斜高，/为母线)：

S直棱柱侧面积=chS圆柱侧=2勿7?S正棱锥侧面积=万必S圆锥侧面积=7irl

$正极合例面积+c’2)"S圆台便］面积=(r+/?)加S圆柱表=2"(厂+/)S圆锥表=；7r(r+/)

5四台表=兀G+”+R/+R2)s球面=4万K

10、柱体、锥体、台体和球的体积公式：

峪=S/z/柱=5〃=乃广〃％=：助％锥=*%

%=g(S，\/s5+S)1/台=§(S+=(广+rR+R-)〃丫球=乎叱

例题1:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角

形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.

(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S

图5

例题2：右图是底面为正方形的四棱锥，

其中棱PA垂直于底面，它的三视图正确的是（

二、典型例题:

例1.（2007湖北文）在棱长为1的正方体ABCQ-A|8JCQI中，E、F分别为棱A4i、8丛的中点，G为棱

A,B|上的一点，且AiG=2(0W-WD,则点G到平面DtEF的距离为(

ACR五r后口后

A.D.C.---------U.

235

例2..（2003北京文、理）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个

圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）

c32百1

A.2不B.—71C.----71D.—71

232

例4。（2008海南、宁夏文、理）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在

同一个球面上，且该六棱柱的高为6，底面周长为3,那么这个球的体积为.

三、基础训练：

1.（2008广东文、理）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A,B,C分别是△GHI三边的中点）得到几何体按

2.（2008全国H卷文、理）已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的

公共弦长为2,则两圆的圆心距等于（）

A.1B.V2C.V3D.2

3.（2007陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的

三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）

（A）—（B）—（C）—（D）—

43412

4.（2007山东文、理）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）

①正方形②圆锥③三棱台④正四棱

A.①②B.①③C.①@D.②④

5.（2007海南、宁夏文）已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心。在A8上，SO_L

底面ABC,AC=及广，则球的体积与三棱锥体积之比是（）

A.nB.2nC.3nD.47t

6.（2008四川文）设M是球心。的半径OP的中点，分别过M,。作垂直于。尸的平面，截球面得两个圆，则

这两个圆的面积比值为：（）

7.（2007四川文、理）如图，在正三棱柱ABC—ABC］中，侧棱长为后，底面

三角形的边长为1.则BCi与侧面ACG4所成的角是

四、巩固练习:

1.（2008福建文、理）如图，在长方体ABCD-41BCB中，AB=8C=2,A4=1,则BG与平面所成角的

正弦值为（）DC

A至B,亚C.叵D.叵

3555J/丁夕

2.（2001全国文,广东）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为石，则这个

圆锥的全面积是（）

（A）3%（B）3邪）兀（C）6%（D）9兀

3、（2006全国I卷文、理）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是

（）

A.16万B.20万C.24乃D.327

4.（2002广东、河南、江苏，全国文、理）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的

体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（）

5.（2008四川理）设M,N是球心。的半径OP上的两点，且NP=MN=OM,分别过N,M,0作垂线于

OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：()

(A)3,5,6(B)3,6,8(C)5,7,9(D)5,8,9

6.(2008福建文、理)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是r

7.(2007辽宁文、理)若一个底面边长为逅，棱长为"的正六棱柱的

2

所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为

二空间直线和平面

立体几何点线面的位置关系

1,、线线平行的判断：

⑴平行于同一直线的两直线平行。

(2)如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

(3)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

(4)垂直于同一平面的两直线平行。

2.、线线垂直的判断：

若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

3、线面平行的判断：

(1)如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

练习1:如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAC,平面ABC,且aSAC是正三角形,

0是AC的中点，D是AB的中点.

(I)求证：0D〃平面SBC；

(II)求证:SOJ_AB.

练习2、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MGAC,NGFB,且AM=FN,求证：MN

〃平面BCE.

4、线面垂直的判断:

(1)如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

(3)一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

(4)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。

5、面面平行的判断：

(1)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

(2)垂直于同一条直线的两个平面平行。

6、面面垂直的判断：

一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

练习1、已知正方体ABC。—A耳G。，。是底ABCD对角线的交点.

求证：(1)CQ〃面(2)4。_1_面43］。］.

片---------------------B

2、已知矩形ABCD所在平面外一点P,PAJL平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.

(1)求证：EF〃平面PAD；(2)求证：EF±CD；

RC

3.如图，ABCD是正方形，0是正方形的中心，PO_L底面ABCD

P

E是PC的中点。PO=\［2,AB=2

/Ac

求证：(1)PA〃平面BDE

(2)平面PAC_L平面BDE

AB

线线、线面和面面的成角问题

1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线，叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点0

作直线优〃，我们把屋与所成的锐角（或直角）叫做异面直线。与°所成的角（或夹角）.如果两条异

面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.

2,直线和平面所成的角：一条直线PA和一个平面a相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的

斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线P0,过垂足O和斜足A的直

线A0叫做斜线在这个平面上的射影。

平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，

我们就说它们所成的角是直角。一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.

3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。在二面角a一/一,的棱/上任取一点

O,以点O为垂足，在半平面a和B内分别作垂直于棱/的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的NAOB

叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

常见角的取值范围：

①异面直线所成的角0,、直线与平面所成的角0,^二面角的取值范围依次［0,7］

②直线的倾斜角［0,万）、到4的角［0，乃）、）与『2的夹角的取值范围依次是

③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是乃］,（-］,］）.

例题1：如图，在Rt^AOB中，NQAB=巴，斜边45=4.RtZXAOC可以通过RtZ\AOB以直线A。为轴旋转

6

得到，且二面角8-AO-C的直二面角.。是的中点.

（I）求证：平面COO_L平面AOB；

（II）求异面直线A。与C。所成角的大小.

例题2：四棱锥S-48co中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC_L底面ABCQ.已知N48C=45,AB=2,

BC=2五,SA=SB=y/3.

（I）证明5AJ_BC；

（II）求直线SO与平面SAB所成角的大小.

点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当

然别忘了转化法与等体积法的应用.

例1如图，正三棱柱A8C-a4G的所有棱长都为2,。为cq中点.

（I）求证：A81_L平面480；

（II）求二面角A-AO-8的大小;

（III）求点C到平面A的距离.

二、典型例题：

例1.（2007湖南文）如图，在正四棱柱ABC。—44GR中，E、F分别

是做、B0的中点，则以下结论中不成立的是（）

A.瓦'与即垂直B,£7呜BE唾直

C.£广与CD异面D.防与A£异面

例2.（2005江西理）在直三棱柱ABC—A|B|G中，AB=BC=JI,BBI=2,NA8C=90°,E、F分别为AA「

GB|的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.

例3.（2004全国卷IV文、理）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8,AD=443,

侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.p

（I）求四棱锥P—ABCD的体积；（H）证明PA±BD.

XD\^

三、基础训练：/\/C

1.（2008安徽文'理）已知机，〃是两条不同直线，。,4,产是三个不同平A'---------------面，下

列命题中正确的是（）''

A.若加〃，则加〃"B.若£_17，月_1_/,则1〃尸

C.若mIIa,mH/3网aII/3D.若加_L©〃_Le,则〃

2.（2008海南、宁夏文）已知平面a，平面0,。06=/,点人6<1,Ag/,直线AB〃/,直线ACJ_/,直线

m〃a,m〃B,则下列四种位置关系中，不二牢成立的是（）

A.AB〃mB.AC±mC.AB〃BD.AC±P

3.（2007陕西文、理）已知P为平面a外一点，直线/U4点QW/,记点P到平面a的距离为”,点P到直线1

的距离为b,点P、Q之间的距离为c,则（）

（A）a<b<c（B）c<a<b（C）a<c<b（D）b<c<a

4.（2006全国H卷理）如图，平面a_L平面B,力£a,BQB,AB与

jiJI

两平面。、£所成的角分别为了和不，过从2?分别作两平面交线的垂

线，垂足为4、夕，则4?：/8,=（）

（月）2：1（6）3：1（C）3：2（。）4：3

5.（2004浙江理）已知平面a和平面p交于直线/,P是空间一点，PA±a,垂足为A,PB±p,垂足为B,

且PA=1,PB=2,若点A在。内的射影与点B在a内的射影重合，则点P至U的距离为。

6.（2005湖南文）已知平面a,6和直线，给出条件：

①〃?〃a；②加_La；③znua；®a±（3；®aII（3.

（i）当满足条件时，有〃?〃尸；

（ii）当满足条件时，有机，尸.（填所选条件的序号）

7.（2004全国卷ID理）三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

⑴求证AB_LBC；⑵如果AB=BC=2jL求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.

A

8.（2000全国文，江西、天津文，广东）如图，已知平行六面体ABCD-481G2的底面ABCD是菱形,

且NGCB==NGCD=N8CO。（I）证明：C,C±BD；

（II）当笔的值为多少时，能使AUL平面G3O?请给出证明。

LV_zl

四、巩固练习：

1.（2008江西文）设直线机与平面£相交但不垂直，则下列说法中正确的是（）

A.在平面a内有且只有一条直线与直线机垂直B.过直线加有且只有一个平面与平面a垂直

C.与直线机垂直的直线不可能与平面a平行D.与直线相平行的平面不可能与平面a垂直

2.（2007天津文、理）设。，匕为两条直线,a,4为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A.若a,万与a所成的角相等，则。〃bB.若。〃a,b///3,a//（3,则。〃人

C.若autz,bu0,a//b,则D.若a_La,b工（3,a工0,则a_L〃

3.（2006辽宁文、理）给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行.

②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线4,《与同一平面所成的角相等，则6互相平行.

④若直线是异面直线，则与4,4都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（）

（A）l（B）2（C）3（D）4

4.（2005天津文、理）设a、B、y为平面，m、〃、/为直线，则/〃_L/7的一个充分条件是（）

（A）a工/3,ac。=l,m（B）aoy=m,a±±y

（C）aYy,/3Ly,mLa（D）nVa,nX./3,mVa

5.（2004重庆理）设P是60的二面角a-/-夕内一点，PA_L平面a,P8_L平面用,A,B为垂足,

PA=4,PB=2,则AB的长为：（）

A.2>/3B.2石C.23D.4V2

6.（2008江苏）在四面体ABCD中，CB=CD,AD_LBD,且E,F分别是AB,BD的中点，求证：

（I）直线EF〃面ACD；（II）面EFClffiBCD.

7.（2008山东文）如图，在四棱锥P—A5CO中，平面PAOJ_平面ABC。，AB//DC,△PAO是等边三

角形，已知3O=2AO=8,A3=2DC=4行.

（I）设M是尸C上的一点，证明：平面M3。，平面尸A。；

（1【）求四棱锥P-ABCO的体积./\V

三、空间向量与立体几何

基础知识归纳：

1.向量的数量积：已知非零向量a,E,则a・U=|a|一|6|cos<a,6>叫做a与B的数量积。

-*■*a•b

2.两向量夹角的求法：cos<a,b>=^~h,立体几何中有关夹角的问题，一般用此式解决。

|a|-|b|

3.aJ_Eoa.6=0

4.己知两点A(xi,yi,ZI),B(X2,y2,Z2),则向量AB=(x2-x"？—丫12-zj,

线段AB的中点M的坐标是('I+X2%+丫2红卫?|,

(222)

222

A,B两点间的距离是|AB|=^(x2-x,)+(y2-y))+(z2-z1)

4.若a=(X|,y"Z]),U=(X2，y2，Z2)，则a・1=X]X2+力丫2+Z]Z2.

5.用空间向量解决立体几何问题垂直、平行和成角问题：

(1)法向量：

平行的证明:

垂直的证明:

异面直线成角:

直线和平面成角:

二面角:

二、典型例题:

7T

例1.(2008安徽理)如图，在四棱锥0-ABC。中，底面ABC。是边长为1的菱形，ZABC=-,

4

04,底面ABC。，0A=2,M为。A的中点，N为BC的中点。

(I)证明：直线MN〃平面08；

(II)求异面直线AB与MD所成角的大小；

(III)求点B到平面0CD的距离。

例2.(2007福建理)如图，正三棱柱ABC—AiBiG的所有棱长都为2,D为CCI中点。

(1)求证：人81_1_面八出口；(2)求二面角A-AQ-B的大小；

(3)求点C到平面AiBD的距离。

RBi

1.(2008浙江文、理)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF,ZBCF^ZCEF=90°,AD=

g,EF=2。(I)求证：AE〃平面DCF；

(II)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°?

2.(2006广东)如图5所示，AF.DE分别世0、。的直径，AD与街曲所硒淘耀直，AO=8.BC

是。的直径，AB=AC=6,OE//AD.

⑴求二面角8—AD-尸的大小；(II)求直线3。与EF所成的角.一、

四、巩固练习：

1.(2008湖南文)如图所示，四棱锥尸―ABC。的底面ABCO是边长为1的菱形，ZBCD=60°,

E是CD的中点，PA1底面ABCD,PA=B

⑴证明：平面PBE1平面PAB；

(H)求二面角A—BE—P和的大小。

2.(2007山东理)如图，在直四棱柱ABC。-中，已知。C=£>〃=2AD=2AB,AO,OC,

AB//DC.(I)设E是£>C的中点，求证：口£〃平面48。；D

(11)求一面角4—BD—G的余弦值.

3.(2004福建理)在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形，“融©平面ABC,SA=SC=2

6M、N分别为AB、SB的中点。(I)证明：ACLSB；

(II)求二面角N—CM—B的大小；(III)求点B到平面CMN

的距离.

B

M

A

空间几何体（参考答案）

二、典型例题：

例5.【解析】（1）画出直观图并就该图作必要的说明..........3分

（2）V=64...................7分⑶S=40+240.............12分

三、基础训练：

1.A2.C.3.C4.D.5.D6.D7.30^

8.解：,..PD，底面ABCD

...PDJLAB,

VBD是圆的直径，

AADIAB,又PDCAD=D

；.AB_L平面ADP又ABq平面ABP

，平面ABPJ_平面ADP,且平面ABPC1平面ADP=PA.

在平面ADP内作DH1PA,垂足为H,则DH_L平面ABP,

连结BH,则/DBH就是BD与平面ABP所成角，即NDBH=。.

在RtZXABD中，BD=2R,所以AD=J^R.

在RtZ\ADP中，DH1PA,PD=2A/2R,AD=V3R,则AP=JRH

AD-DP14b

DM--------------------—_-=rtx.,

APVH

2J7___________

在R1.△BHD中，BD=2R,DH=W2R,所以m=-jBD2-DH2

vn

.」DH向

..tan，=------=-------.

BH5

(2)ffi^:VEG/7BC,

.PEPG…PEDF

乂已知——=

'~EB~GCEB~FC

.PGDF

"GC~~FC

；.GF〃PD又由PD_L底面ABCD,可知PD_LBC,

EG±GF

.-.△EFG是直角三角形.

⑶当管时，由平行线截割定理可知，黑=黑二，黑=尊=普=',

EB2BCPB3PDCPBP3

在4BCD中，ZBDC=45°BD=2R,所以BC=正R,又PD=2MR,

V24V2

AEG-——R,GF=-------R.

33

所以的面积为SA”G=LEG-GF='X』IRX逑R=SR2.

AEFG22339

解法2：以A为原点，分别以AB、AD所在的直线为x、y轴，建立空间直角坐标系.(略)

四、巩固练习：

1»D.2.A3、C.4.C.5.D.6.9兀.7.附兀

8.解：设OOi为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位：m)^32-(x-1)2=^+2x-x2

22

于是底面正六边形的面积为(单位：m)S底=6.品J8+2X—X2,=^(8+2x-x)o

aFir1-]/a

帐篷的体积为(单位：m3)V(x)=*(8+2x—f)-(%-1)+1^^-(16+12%-x3)

求导数，得9。)=走(12—3/)

2

令V，(x)=O解得x=-2(不合题意，舍去)，x=2.

当Kx<2时，V'(x)>0,V(x)为增函数；

当2<x<4时，V'(x)<O,V(x)为减函数。

所以当x=2时,V(x)最大。

答当OOi为2m时，帐篷的体积最大。

第二讲空间直线和平面(参考答案)

二、典型例题:

例邛

例1.D.例2.2P

例4.解：(I)取AD的中点E,连结PE,则PE_LAD.作PO_L平面在ABCD,

垂足为0,连结0E.根据三垂线定理的逆定理得OE_LAD,•D尸

所以NPEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，C

由已知条件可知NPEO=60°,PE=6,

B

所以P0=3后，四棱锥P—ABCD的体积A

图2

Vp-ABCD=­X8x46x36=96.

3

(II)解：如图2,连结A0,延长A0交BD于点F.通过计算可得E0=3,AE=2jL

又知AD=45AB=8,得JAD

AEAB

所以RtAAEO^RtABAD.得NEAO=/ABD.所以/EAO+NADF=90°,所以AF±BD.

因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的射影，所以PAJ_BD.

三、基础训练:

1.D.2.D.3.A4.A5.石

6.(i)(ii)

7.(I)证明：如图1,取AC中点D,连结PD、BD.

因为PA=PC,所以PD_LAC,又已知面PACJ_面ABC,

所以PD_LjF[ABC,D为垂足.因为PA=PB=PC,所以DA=DB=DC,

P

•If

可知AC为aABC的外接圆宜径，因此ABLBC.

(II)解：如图2,作CF_LPB于F,连结AF、DF.

因为aPBC出4PBA,所以AF_LPB,AF=CF.

因此，PB_L平面AFC,

所以面AFC_L面PBC,交线是CF,

因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF,

ZACF为AC与平面PBC所成的角.

在Rt^ABC中，AB=BC=2G所以BD=V^.

PDDB

在RtZiPDC中，DC=粕,P£)=在RtaPDB中，DF==^72.

PB3

在RtaFDC中，tanZACF=—=^5=—,所以NACF=30°.

PC763

即AC与平面PBC所成角为30°.

8.(I)证明：连结aG、4c和8。交于0,连结GO。

•.•四边形ABCD是菱形，

AAC1BD,BC=CD.

又VZBCC|=ZDCC[,C,C=C,C,

:.AC,BC=NCXDC,：.CIB=C1D,

DO=OB

：.Cp±BD,

但AC_LACDGO=O,

平面。又CQu平面AC』

，QClBD,

(II)当JCD=1时，能使AC_L平面QB。。

CCj

CD

证明：V-^=l,：,BC=CD=C,C,

CC}'

又/BCD=NGCB=ZC.CD,由此可推得BD=C[B=C、D

...三棱锥C—GBO是正三棱锥。

设A。与C0相交于G。VA.CJ/AC,且AG：OC=2：1,

:.GG：GO=2：1。

又G。是正三角形GB。的8。边上的高和中线，

...点G是正三角形G3O的中心，

CG_L平面G8。，即AC,平面G8Z).

证明：由(I)知，3。，平面4£,

•.•A|Cu平面AG，.•.B。_LA|C.

当C上D=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

CC,

同80,AC的正法可得8GJ.AC。又

，平面G30。

四、巩固练习：

1.B.2.D.3.D4.Do5.C.

6.【解析】(I)：E,F分别是AB,BD的中点,

AEF是4ABD的中位线，，EF〃AD,

VEFcZffiACD,ADu面ACD,直线EF〃面ACD.

(II)AD1BD,EF〃AD,二EF1BD.

：CB=CD,F是BD的中点，ACF1BD.

又EFCF=F,ABDlffiEFC.：BDu面BCD,AffiEFClffiBCD

7.(I)证明：在△A3。中，由于AD=4,BD=S,AB=4加,

所以AZ52+Br>2=4^2故AOLBD.

又平面PAO_L平面A8CO,平面PA。平面ABC。=A。，

BDu平面ABCD,

所以30,平血尸4。，又BOu平面MB。，

故平面MBDJ.平面PAD.

(II)解：过P作POLA。交A。于。，

由于平面尸AOJ■平面ABC。，所以尸OJ_平面ABCO.

因此P0为四棱锥P-ABCD的高，

又△PAD是边长为4的等边三角形.因此P0=旦4=2技

2

在底面四边形A3CO中，AB//DC,AB=2DC,

4x88百

所以四边形ABC。是梯形，在中，斜边A3边上的高为一一

4V55

此即为梯形A8CO的高,

2。+4行&5

所以四边形ABCO的面积为Sx---=24.

25

故Vf8co=gx24x2百=16石.

第三讲空间向量与立体几何(参考答案)

二、典型例题：

例1.方法一(综合法)

(1)取OB中点E,连接ME,NE

ME//AB,ABIICD,MEHCD

又NE4OC,；.平面MNE〃平面OCD

.•.MN〃平面OC。

(2)CD//AB,

...NMDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)

作AP_LCD于P,连接MP

,.,OA_L平面ABCD,ACDIMP

,：ZADP=-,：.DP=—

42

MD=YIMA2+AD2=V2,

，cosZMDP=-=-,ZMDC=ZMDP=-

MD23

7T

所以AB与MO所成角的大小为々

3

(3),?ABII平面生•.点A和点B到平面OCD的距离相等,连接0P,过点A作

AQ1.OP于点Q,•.•4>_1。。,。4,8,...。。_1_平面。42,，4。_18

又,/AQ±OP,，AQ±平面OCE>,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

:OP=^OD2-DP2=VOA2+AD2-DP2=J4+I--=-,AP=DP=—

V222