高中数学：3-2-1 单调性与最大（小）值-最值（第2课时）（分层作业）

3.2.1单调性与最大（小）值一最值（第2课时）（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022•安徽蚌埠•高一期末）若函数，（幻=-/+2彳在定义域［0,泪上的值域为［0,1］,则（）

A.1<AW<2B.m>\C.m=2D.l<tn<2

【答案】A

【分析】/（》）=-/+2*的对称轴为x=l,且〃1）=1,然后可得答案.

【详解】因为/。）=-/+2》的对称轴为x=l,且/（l）=lJ（O）=.f（2）=O

所以若函数/（x）=-x2+2x在定义域［0,加］上的值域为［0,1］,则14屋2

故选：A

Qzy

2.（2022・全国•高一专题练习）设a>0,若函数y=7当xe［a,2a］时，y的范围为-,2,则。的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

Q

【分析】根据y=2的单调性可直接构造方程组求得结果.

X

仁=2

【详解】y=号在（0,+8）上单调递减，,也，解得：a=4.

x8_a

,2a-4

故选：B.

3.（2022♦全国•高一课时练习）若函数〃x）=ax+l在区间［L2］上的最大值与最小值的差为2,则实数。的

值为（）

A.2B.2或-2C.3D.3或一3

【答案】B

【分析】注意讨论。=0的情况，然后利用一次函数的单调性分类讨论可求得.

【详解】依题意，当。=0时，/（x）=l,不符合题意；

当〃>0时，7（力=分+1在区间［1,2］上单调递增，所以42）—〃1）=2。+1-（。+1）=2,得4=2；

当〃<0时，/（同=公+1在区间［L2］上单调递减，所以/⑴—〃2）=a+l—（2〃+1）=2,得〃=一2.

综上，〃的值为±2

故选：B.

9r

4.（2022・全国•高一课时练习）设函数/*）=—^在区间［3,4］上的最大值和最小值分别为用，加则M+m=

x-2

（）

A.4B.6C.10D.24

【答案】c

【分析】将函数/（X）分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解.

【详解】因为危尸2（・2：+4=2+」」，

x-2x-2

所以.危）在［3,4］上是减函数.

所以加=贝4）=4,M=f（3）=6.

所以M+〃?=6+4=10.

故选：C.

5.（2022♦全国•高一课时练习）函数“x）=x+±在区间-；,2上的最大值为（）

A.—B.—C.3D.4

32

【答案】B

【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可.

【详解】设FX+1,则问题转化为求函数g（r）=r+?-l在区间--3上的最大值.根据对勾函数的性质，

t_z_

得函数g。）在区间；，2上单调递减，在区间［2,3］上单调递增，所以

故选：B

二、多选题

6.（2022・全国•高一课时练习）（多选）下列关于函数/（力=，--+2》+3的结论正确的是（）

A.单调递增区间是［-15B.单调递减区间是［1,+8）

C.最大值为2D.没有最小值

【答案】AC

【分析】先求/'(%)的定义域排除选项B,再利用一元二次函数的性质与复合函数的单调性求得/1(%)的单调

性，进而求其最值.

【详解】要使函数有意义，则-_?+2》+320,得—14x43,故B错误；

函数f(x)=J-f+2x+3由/(")=&与〃=+2X+3=-(X-1)2+4复合而成，

当代卜1,1］时-，“=—/+2%+3单调递增，当xe［l,3］时，〃=—/+2》+3单调递减，

又/(〃)=4在［0,+8)上单调递增，

所以f(x)=J-以+2x+3在卜1,1］上单调递增，在［1,3］上单调递减，

故/(xLx=Ml)=2,又/(—1)=〃3)=。，所以〃x)1nM=0,故A,C正确，D错误•

故选：AC.

7.(2022・全国•高一课时练习)设函数/。)=『：一了<：、，/(x)存在最小值时，实数。的值可能是

［X—2.CIX+1,X

()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】ABC

【分析】根据函数解析式，分。>0、。=0、。<0•:种情况讨论，当〃<0时根据二次函数的性质只需函数在

断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；

/、\ax-\,x<a

【详解】解：因为“X=,

［x-2ax+\,x>a

若a>0,当*<。时/(力=双-1在(-00,。)上单调递增，当xf-co时/(x)->-oo,此时函数不存在最小值;

若a=0,则"x)=/go,此时/(x)而.=7,符合题意；

若々<0,当x时/(x)=or-l在(fo,a)上单调递减,

当x^a时/(x)=x2-2ax+\,

二次函数丁=/_2办+1对称轴为x=Q,开口向上，此时“X)在［〃,”)上单调递增，

要使函数/（x）存在最小值，只需+解得。4-1，

综上可得a«-«）,—1]{0}.

故选：ABC

8.（2022.全国•高一单元测试）设函数〃x）的定义域为£＞,若对任意的阳，x2eD,都有|〃占）-/优）|＜1,

则称/（x）满足“L条件”，则下列函数不满足乜条件”的是（）

2

A.f（x）=-x,xe（-l,l）B.f（x）=x+-,xe[l,2]

3「2-I

C.f（x）=x2--,X6--,1D./（x）=x3,xe（l,5）

【答案】ACD

【分析】根据乜条件”的定义对选项逐一分析，结合特殊值法、函数的单调性、最值等知识确定正确选项.

【详解】由定义知函数的最大值与最小值差的绝对值小于1.

选项A,f（x）=-x,xe（-l,l）,取玉=；,x2=~,

则|/（占）-“2）|=’（5-/1；）=1,不满足乜条件”；

2

选项B,f（x）=x-\—,xG[1,2],

任取14玉＜x,42,—/伍）=x+2_x「2=a—々）（x也一2）,

X]X2

其中西一工2＜。，玉工2＞0，

xx

当14%＜工2＜3时，}2_2＜0,

/斗）-，（々）＞0,/（5）＞〃々），“力递减;

当起4玉＜玉42时，王々-2＞0,

/（石）一f（%）＜o,/a）＜/（々）j（x）递增,

即/（x）在[1,忘]上单调递减，在[72,2]上单调递增，

所以f（x）的最小值为/（、反）=2应,最大值为/⑴="2）=3,

所以对任意的A,x2e[l,2],都有（七）归3-2夜＜1,

所以f（x）=x+：,xe[l,2]满足乜条件”；

4「214

选项C,=f在一了。上单调递减，在（0』上单调递增，/⑼=-；，

川）=1=」，d-斗pp=-"

'，22I3jI3J218

所以『a）的最大值为-;，最小值为-|,

3「2.

所以f（x）=x2xe--,1不满足“Z,条件”；

选项D,函数/（x）=d在（1,5）上单调递增，显然不满足乜条件”.

故选：ACD

三、填空题

9.（2021♦云南云天化中学教育管理有限公司高一开学考试）函数〃x）=x+2«二的最大值为.

【答案】2

【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最大值.

【详解】设f=（d0）,则x=l72,

所以原函数可化为：y=d+2r+l（d0）,

由二次函数性质，当f=l时，函数取最大值2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查换元法求函数最值，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时要注意

一定写出新变量数的取值范围，属于基础题型.

10.（2022•全国•高一）已知函数兀t）=4x+@（x>0,。>0）在x=3时取得最小值，则〃=.

X

【答案】36

【分析】利用对勾函数的单调性即可求解.

【详解】人穴）=4木+色U>0,〃>0）在（0,正|上单调递减，

x2

在（江，+8）上单调递增，故人X）在工=五时取得最小值，

22

由题意知1=3,.*.47=36.

2

故答案为：36

11.(2022・全国•高一专题练习)y=x-g在［1,2］上的最小值为.

【答案】0

【分析】先确定函数的单调性，再根据单调性求最小值即可.

【详解】解：根据题意，=》-｝在［1,2］上为增函数，

则丫=尢—:在［1,2］上的最小值为y=0.

故答案为：0.

12.(2022•四川南充•高一期末)函数/。)=工(％＞0)在［4,5］上的最大值为1,则火的值为.

【答案】3

【分析】依题意可得/Xx)=47c＞0)在［4,5］上单调递减，即可得到/(X)3=〃4),从而求出左的值；

X—1

LLL

【详解】解：因为/(%)=」7(4＞。)是由＞=£(无＞0)向右平移1个单位得到,即/(此=一＞仅＞。)在(1,48)

x-1Xx-l

上单调递减,所以f(x)=占6＞0)在［4,5］上单调递减,所以“X)1a=〃4)=言=1,解得左=3；

故答案为：3

13.(2022.全国•高一课时练习)若不等式f+oc+iN。对一切xe［2,3］都成立，则a的取值范围是.

【答案】［-^,+00)

【分析】利用参变分离法将不等式炉+办+120转化为aZ-(x+3,令f(x)=-(x+1)，将不等式恒成立问

XX

题转化为a2/(幻皿成立，求解函数/(幻的最大值.

【详解】解：因为不等式d+奴+120对一切xe［2,司恒成立，所以“2—(x+3对•切xe［2,3］恒成立，

X

令/*)=-*+■!■),可知awf(x)1rax成立，当xe［2,3］,函数单调递减，

X

所以f(x)4f(2)=-1,所以aN-|.

故答案为：卜|,内).

14.(2022・全国•高一课时练习)已知函数/(x”/-©,g(x)=＜0),对依,Hr,e［-3,-l］,

使/&)=g(毛)成立，则实数。的取值范围是.

【答案】［-15,-12］

【分析】由题意可知/(X)的值域是g(x)值域的子集，所以分别求出两函数的值域，列不等式组可求得答案.

【详解】函数"X)=f—4x图象的对称轴为直线户2,

所以〃尤)在［-2,-1］上单调递减,

则〃x)在上的值域为［5,12］.

因为g(x)=<0)在［-3,-1］上单调递增，

所以g(x)在［―3,-1］上的值域为-孑-。.

由题意，可得［5,12仁,

［-£<5

即13-,解得一15VaV-12.

124-a

故答案为：［T5,T2］

15.(2022・全国・高一课时练习)已知函数/(力=2X-3,代［-1,2］,实数。"满足/(。)+/(6-1)=0,则4伍-1)

的最大值为.

【答案】94##214##2.25

29

【分析】依题意可得a+b=4,再根据函数的定义域求出。，，的取值范围，贝Ua(b-1)=+一,

4

ae［l,2］,根据二次函数的性质计算可得.

【详解】解：•••函数/(x)=2x-3,xe[-l,2],实数a,b满足〃")+库-1)=0,

2a—3+2(6—1)—3=0,可得a+b=4,ue[—1,21,be[0,31,又b=4—a,

a«L2],则a(Z?-1)=6/(3—d)=

49asQ

所以当a=”寸，［tz(Z7-l)］max=^,即〃=〃或时，—1)取得最大值

9

故答案为：­

4

X4-n

16.(2022•浙江・温州市第二十二中学高一开学考试)已知函数/。)=一，且/(2)=5,=则

函数y=/(x),x«2,3］的值域是.

【答案】［3,5］

x+34

【分析】根据题意，待定系数法求得偿）=百=1+-再证明函数的单调性，结合单调性求解即可.

X-］

【详解】解：因为"2）=5,/（-1）=-!,

2+〃_

----=5

2：”,即a-5b=8-,a=3

所以…,解得:

-1+。1h=-l

-----=—1

、-1十8

所以/(幻x=+3==1+'47,

x—\x-\

设西,马©［2,3］且占<三，

44444（々一为）

所以，/U,)-/(^)=l+--1+

玉一1X2-V王一1迎-1(Xl-1)(X2-1)

因为％,毛w[2,3]且为<&,所以々一%>0,^-1>0,%2-1>0,

所以科方4>°，即/（不）-/小）>0,

所以/⑷>f（x2）,即〃X）在［2,3］上单调递减,

所以fMnm=/（2）=5Jd=/（3）=3,

所以,函数丫=，3/《2,3］的值域是［3,5］

故答案为：［3,5］

四、解答题

17.（2022・湖南•高一课时练习）（1）在定义域以上单调递减的函数/（x）,最大值是多少？

（2）若/（X）在［”,〃］上单调递减而在［〃㈤上单调递增，最小值是多少？

【答案】⑴〃x）g=〃a）；（2）

【分析】（1）根据单调递减函数的性质进行求解即可；

（2）根据函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）因为“X）是定义域［“回上单调递减的函数，

所以/（'Lx=/（"）：

（2）因为在上单调递减而在［“同上单调递增,

所以=/(“)•

18.(2021•北京・清华附中高一期末)已知函数〃x)=or+§,beR,且该函数的图象经过点(TO),(2,1)

(I)求a,b的值；

(ID已知直线多=履+小仕#1)与x轴交于点交且与函数“X)的图像只有一个公共点.求|OT|的最大值.

(其中。为坐标原点)

【答案】(I)\"，=\；(IDI.

【分析】(I)根据已知点的坐标，利用函数的解析式，得到关于的方程组，求解即得；

(II)设T&0).则直线y=^+〃Qwl)方程可以写成y=与函数y=〃x)=x-g联立，消去),

利用判别式求得/利用二次函数的性质求得“取得最大值1,进而得到I。刀的最大值.

-a-b=O

a=\

【详解】(I)由己知得

b=-\

(II)设T&0),则直线，="+，〃(&")方程可以写成y=&(xT),与函数y=〃x)=x-g联立，消去九并

整壬电得—公x+l=O

由已知得判别式因一4("1)=0,*=46-表)，

当;=；时，产取得最大值1,所以|。刀侬="3=1.

K乙

19.(2022・全国•高一专题练习)已知函数/。)=g2_45+以”>())在［0,3］上的最大值为3,最小值为-1.

(1)求/(*)的解析式；

⑵若mxe(l,+oo),使得求实数机的取值范围.

【答案】(D/abf-dx+B

⑵m>2石-4

【分析】(1)根据/(x)的最值列方程组，解方程组求得。力，进而求得f(x).

(2)利用分离常数法，结合基本不等式求得加的取值范围.

(1)/(x)的开口向上，对称轴为x=2,

所以在区间［0,3］上有：1nhi=/(2)J(x)a=/(0),

4〃-8。+6=-1\a-\

即b=3^\h=3

所以f(x)=x2-4x+3.

(2)依题意Hre(l,+<»),使得f(x)<mx,

3

即x2-4x+3<tnx,m>X+--4

x9

由于x>l,x+--4>2A(x---4=273-4

xVx

当且仅当X=3=X=G时等号成立.

X

所以机＞2抬-4.

x2-2ax+a2-a,x<0

20.（2022・江西•高一期中）已知函数f（x）=＜4,、

x+——a,x>0

x

（1）用定义法证明/（x）在（0,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增;

（2）若〃x）的最小值是6求。的值.

【答案】（1）证明见解析

（2）a=-6

【分析】（1）由定义法,分别设。＜占＜%＜2和2＜玉＜乙两种不同情况时，计算/（与）-/5）的正负即可;

（2）分别计算/*）在x＞0和xWO时的最小值,更小的那个即为函数F（x）的最小值，再分不同情况时将

/（x）*n的函数解析式表示出，使得了（X）=6即可求解.

4(4（5一七）（七天一4）

(1)证明:对任意的百/(%)一/(九2)=%%+-a

玉工2

当0<々<为<2时，Xj-x2>0,0<XjX2<4,则^_乜秘.——<0,即/(5)</(/)；

当玉>七>2时，，%1-x2>0,XjX2>4,则G一一11>0,即/(芭)>/(马).

%工2

故/（X）在（0,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增.

（2）由（1）可知〃x）在（0,+8）上的最小值是〃2）=4-。.

当X40时，f（x）=^-2ax+a2-a,其图象的对称轴方程是直线x=。.

①若420,〃x)在(7,0］上单调递减,则f(x)在(7,0］上的最小值是"0)=。2-4.

②若a<0,“X)在(9,。)上单调递减，在(4,0］上单调递增，则“X)在(9,0］上的最小值是〃a)=-a.

4-a,a>2,

2

综上，/Wmin='a-a,o<a<2,

-a,a<0,

Ia>2,\0<a<2,a<0,

因为“X)的最小值是6,所以4_q=6或层_°=6或(解得a=-6•

-a=6,

21.(2022♦全国,高一专题练习)一个两位数除以它的的两个数位上的数字和.

(1)若使商为最小值，求这个两位数；

(2)若使商为最大值，则这样的两位数有多少个？

【答案】⑴19

(2)9

］0+，10x+y9

【分析】(1)设这个两位数是lOx+y,则所求为黄分离常数可得不，根据x,y的

X

范围，分析即可得吐上取得最小值时的答案.

x+y

(2)分析得y=0,*取1到9的任一整数时"匕2最大，即可得答案.

%+y

(1)设这个两位数是10x+y,那么0vx49,04yK9,且％，y是整数,

10x+y।9x19

/.-------=l+--------=l+-------

x+yx+yl+Z>

X

a

____］Ox+v

当x=l,y=9时，］+，取到最小，即,x+最小,此时两位数是19.

X

9

(2)当y=0,x取I到9的任整数时，R取到最大值，即亍彳最大，

x

此时两位数可以是10,20,…,90共9个数.

22.(2022.全国•高一单元测试)设〃x)=，芯+nr+6,已知函数过点(1,3),且函数的对称轴为x=2.

(1)求函数的表达式；

(2)若xe［T,3］,函数的最大值为M,最小值为N,求M+N的值.

【答案】(1)“h=/一叙+6

(2)13

【分析】根据函数过点(1,3)及二次函数的对称轴，得到方程组，解得加、〃即可求出函数解析式;

(2)将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.

m+n+6=3(__^

(1)解：依题意|n、，解得n“二，所以/(x)=d—4x+6；

----=2\m=l

2mi

(2)解：由(1)可得f(x)=x2-4x+6=(x-2)2+2,

所以f(x)在H，2］上单调递减，在(2,3］上单调递增,

又〃一1)=11,43)=3,42)=2,

所以="7)=11，"XU="2)=2,

即M=ll、N=2,所以M+N=13.

23.(2022.全国•高一专题练习)求函数y=x+g,的最大值与最小值.

【答案】最大值1最7，最小值4

【分析】根据对勾函数的性质，得到函数的单调性，从而得出其最值.

44「11r1

【详解】函数y=x+q，根据对勾函数的性质可得：y=在2,2上单调递减，［2,4］上单调递增.

当x=2时取到最小值4.

I117

又当X=_时，y=-+8=—,当x=4时，>>=4+1=5

222

所以当x1时取到最大值=17,

22

所以函数y=x+42的最大值1?7，最小值4

x2

2

24.(2022•全国•高一专题练习)求函数在区间［1,2］上的最大值和最小值.

【答案】最大值2,最小值1

【分析】首先判断函数的单调性，根据单调性，求函数的最值.

【详解】函数“X)=在区间［1,2］上递减，则/⑵《〃力"⑴，

所以最大值/(XL=/(1)=2,最小值/(%,="2)=1.

【能力提升】

一、单选题

24

1.（2022•湖北•安陆第一高中高一阶段练习）已知函数/（%）=上7v上4-9+f1a.v,若对任意不/£[1，2],都有

xx

71

/（王）一/（々）（加2+立，则实数机的取值范围是（）

A.-I''B.（-8,-1]/'e）C.（-1，/）D.

【答案】B

【分析】将已知函数整理得/（幻=1+£|-+21+£|-2,令f=x+/,由二次函数的性质求得

/（"=6,小）2寸37，将不等式等价于1-任71H,求解即可.

【详解】解：由己知得f（x）=^^+二=2x+2+-V+x2=[x+』[+2fx+L1-2,

xx~XX~VX）\X）

令f=x+L因为XG[1,2],所以te2,1,所以y=/+2f-2,

xLZ.

所以，当，=2时，％.=2?+2x2_2=6,当f=|时，%*j+2x|-2=乎即=6J（x）3=予

FIQ

所以对任意斗,々力，2],/（^）-/（^）</（^-/^=^-6=7，

1

7i7>

13一

所以对任意用，々eU，2],都有/（占）一/（々）4/一^m+万，等价于1-），〃+2--4

即4'7—7m—1120,解得帆4—1或机所以实数，"的取值范围是（v,-l]UV'+0CV

4L4）

故选：B.

2.（2022.全国•高一专题练习）己知函数/（*）=*2-3%应"）=箕；,对任意西e[l,2],存在&e[l,3],

使得“琰（xjN机2g"J,则实数机的取值范围为（）

81（9'

A.——,A0B.—co,

L5JI2j

「9一

C.[<0]D.--,0

【答案】C

【分析】对任意玉e[l,2],存在三[口,3],使得时（玉）..苏g（w）,g（x）的值域是“幻值域的子集,求出/（x）

在区间口,2]上的值域和g（的在区间[1,3]上的值域,再讨论加取值即可.

【详解】解：因为f（x）=x2-3x=（x-1）Y在区间1I，21上满足：=/（|）=41

/«™(tt=/(l)=/(2)=-2;

g(x)=型?=2-2，所以g(x)在［1,3］上单调递增，

所以g(x)而“=g6=3,

又因为何1&)..病g(电),

所以机"(芭')-mg(x2)］＞0,

当机=0时显然成立；

所以当机＞0时，/(耳)-，咫(刍)..0,即/(瓦)..,”8区)，

因为/(为)＜0，3(々)＞0,

所以不成立，舍去；

当机＜0时，机"⑷-叫5)］图)o/(X1)冲@)对X/%e［l,2］成立，

只需满足/a「,,gGL,

即-2vg机，解得力2-4,

综上所述加的范围为［-4,0］.

故选：C.

3.(2022・全国•高一)已知函数/(x)="-二，g(x)=e，+e,则以下结论正确的是

A.任意的王，马€/?且不片七，都有"")一"%)＜。

西一马

B.任意的X”々亡/?且看#々，都有8(芭)-屋当)＜0

±-%

C./(x)有最小值，无最大值

D.g(x)有最小值，无最大值

【答案】D

【分析】A：根据函数解析式直接判断f(x)的单调性，可判断对错；

B：利用奇偶性判断g(x)的单调性，即可判断对错；

C：利用奇偶性和单调性判断最值情况；

D：利用奇偶性和单调性判断最值情况.

【详解】A：<(x)=e，"(x)=-6一，在R上均是增函数，所以/'(x)是R上增函数，故错误；

B：因为g(—x)=eT+e'=g(x)(xeR),所以g(x)是偶函数，所以g(x)在R上不可能是减函数，故错误；

C：因为/(-X)=-(，-"")=-"x)(xeR),所以〃x)是奇函数，又“X)在R上是增函数，所以无

最值，故错误；

D：任意的为，々e[0,+oo)且不<£,所以

(ex'e'2-\](ex,-e112]

g(")—g(^2)=e"+e~*-(e*2+^)=(^=~---------------L，

因为eW?-l>0,-eX1<0.所以g(^)-81)<0,所以g(xj<g(x2),所以g(x)在[0,+°o)上单调递增,

因为g(x)是偶函数，所以g(x)在(9,0)上单调递减，所以〃x*n=/(O),无最大值，故正确.

故选D.

【点睛】本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用，难度般.奇函数在对称区间上的单调性是相

同的，并且在对称区间上如果有最值，则最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，并且在对

称区间上如果有最值，则最值相等.

4.(2022•江苏・高一)若函数f(x)=x2+ur+匕在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-机的值

A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关

【答案】B

2

【详解】因为最值在〃0)=1)=1+。+"/(')=。-幺中取，所以最值之差一定与6无关，选B.

24

【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，

结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在

区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区

间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值.

5.(2022.全国•高一单元测试)己知函数/("=/+依+3,若Vxe[l,2],恒有〃x)20,则实数u的取值

范围为()

A.[―2,+co)B.[-2*^,+30)C.+a>jD.(2,+co)

【答案】B

【分析】函数恒成立问题，宜接求最值利用二次函数的性质可得；或利用参变分离法，利用基本不等式求

最值即得.

【详解】解法-:若Vxe[l,2],恒有〃小0,只需f(x)1nhi20,

设函数/(力=3+奴+3在[1,2]上的最小值为g(a),则

(1)当-£<1，即。>一2时，g(a)=/(l)=l+a+3=4+a20,即aWY,所以。>—2；

(2)当一]>2,即〃<-4时，g(a)=〃2)=4+2+3=7+2〃20,即“N-g,所以止匕时不满足题意；

⑶当14—建2,即-44a4—2时，g(“)=d-R=g-!+3=--+3,所以-《+320,即合.2,

2V274244

得-2限。426则-2>64。4-2.

综上，实数〃的取值范围为卜,2-26).

故选：B.

解法二：若VXG[1,2],恒有/⑺对,即对任意x41,2]恒成立,

所以“2-X-3对任意的》叩,刃恒成立，而-x-3=-1x+3)4-2石，当且仅当x=3,

XXyXJX

即x=G时取等号，所以“2-26.因此，实数。的取值范围是[-26,+8).

故选：B.

6.(2022・全国•高一课时练习)已知函数“同=炉-2%在区间上的最大值为3,则实数，的取值范围

是()

A.(1,3]B.[1,3]C.[-1,3]D.(-1,3]

【答案】D

【分析】分-1041和f>l,分析函数y=〃x)在区间[Tf]上的单调性，得出函数y=/(x)的最大值，并

结合得出实数1的取值范围.

【详解】二次函数〃力=*-2》的图象开口向上，对称轴为直线x=L

①当-1<Y1时,函数〃x)=x2-2x在区间卜1用上单调递增，则〃耳网=〃-1)=3：

②当人1时,函数”x)=x2-2x在区间上单调递减，在区间[1刁上单调递增，

此时,函数y=〃x)在x=—l或x=f处取得最大值，由于f(x)1rax=3=/(-1),

所以，f(t)=t2-2t<3,即/_2-340,解得一1qV3,此时l<fW3.

综上所述，实数f的取值范围是［-1,3］,故选D.

【点睛】本题考查二次函数的最值问题，属于定轴动区间型，解题时要分析二次函数在区间上的单调性，

借助单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、多选题

7.(2022.全国•高一课时练习)已知函数“X)和g(x)的零点所构成的集合分别为M,N,若存在tzeM,

0wN,使得则称/(x)与g(x)互为“零点伴侣”.若函数/(同=产+"2与g(x)=f—以一。+3互

为“零点伴侣”，则实数“的取值不能是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】AD

【分析】首先确定函数f(x)的零点，然后结合新定义的知识得到关于〃的等式，分离参数，结合函数的单

调性确定实数。的取值范围即可.

【详解】因为函数"x)=ei+x-2是R上的增函数，且/。)=0,所以a=l,结合“零点伴侣”的定义得

又函数g(x)=x2—ar-a+3在区间［0,2］上存在零点，即方程x?-ar-a+3=0在区间［0,2］上存在实数根，

,做工小组%2+3x2+2x+1—2x—2+4(.x4

整理得a=-----=-------------------=(x+l)+——--2,

X+lX+lX+1

令g)=(x+l)++-2,xe［0,2］,所以人(力在区间［0,1］上单调递减,在［1,2］上单调递增,

又刀(0)=3,/7(2)=1,〃⑴=2,所以函数妆外的值域为［2,3］,

所以实数〃的取值范围是［2,3］.

故选：AD.

8.(2022・全国•高一课时练习)关于函数y=,4-(x+l)2,下列说法正确的是()

A.在区间［-1,0］上单调递减B.单调递增区间为卜3,-1］

C.最大值为2D.没有最小值

【答案】ABC

【分析】先求出函数定义域，令t=4-(x+l)2,根据二次函数的性质，由已知解析式，逐项判断，即可得出

结果

【详解】由4—(x+iy2O得—34x41,即函数y=j4-(x+iy的定义域为［-3,1］,

令f=4-(x+iy,则f=4-(x+iy的图象是开口向下，对称轴为尸-1的抛物线，

所以函数t=4-(x+炉在［-3,-1］上单调递增，在上单调递减，

乂y=W单调递增，所以y=14-(x+l)2在匕单调递增，在［-1,1］上单调递减，故A,B正确；

2

加=也-(-1+1)2=2,当*=-3时，丫="_(_3+1)2=0,当x=l时，y=^4-(1+1)=0,则)1=°，

故C正确，D错误.

故选：ABC.

9.(2022・全国•高一课时练习)已知函数“X)的定义域为A,若对任意xwA,存在正数M,使得［〃x)归M

成立，则称函数“X)是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是()

A./(x)=^~B.〃x)="一二2

4—X

c."*=2丁_好+3D./(x)=x+J4r

【答案】BC

【分析】根据题意计算每个函数的值域，再分析是否有界即可.

【详解】对于A,“刈=出二1)+77+工,由于」_二0,所以“力羊一1

\>4-x4-x4-JC4-x

所以|/(x)目0,+8),故不存在正数M,使得成立.

对于B,令“=4一4则“NO,/(")=4,当x=0时，“取得最大值4,所以“e［0,4］,所以〃x)«0,2］,

故存在正数2,使得|f(x)归2成立.

对于C,令"=2x2—4x+3=2(x-iy+l,则〃〃)=』，易得”对，所以0</(x)4：=5,UP/(x)e(O,5］,

故存在正数5,使得|/(x)归5成立.

对于D,令贝卜20,x=4—产，则〃。=一/+人4=一］-3)+?(d0),易得所

IU|/(x)|e［0,+oo)?故不存在正数M,使得成立.

故选：BC

10.(2022.广东.广州六中高一期中)以A表示值域为R的函数组成的集合，8表示具有如下性质的函数9(x)

组成的集合：对于函数9(M，存在一个正数〃，使得函数夕(x)的值域包含于区间例如，当

3

(px(x)=x,/(x)=sinx时，t(x)eA,<p.x)wB.则下列命题中正确的是：

A.设函数的定义域为。，则的充要条件是“皿€尺，BaeD,/(“)=)”

B.函数〃x)e8的充要条件是/(X)有最大值和最小值

C.若函数〃x),g(x)的定义域相同,且〃x)eA,g(x)eB,则〃x)+g(x)任8

D.若函数f(x)=aln(x+2)+£^(x>-2,aeR)有最大值,则〃x)eB

【答案】ACD

【分析】A选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；

3选项中举反例保证函数的值域为集合的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；C

选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现F(x)+g(x)eR，从而发现命题正确；0选项中从极限的角

度证明a>0,。<0均不成立，所以”=0,再求出函数“X)的值域为,从而得到命题。正确.

【详解】对A,"/(x)eA”即函数/*)值域为R,"3a^D,/(。)="’表示的是函数可以在我中

任意取值，故有：设函数〃x)的定义域为£>,则"/(x)eA”的充要条件是7bwR,3aeD,f@=b"，

命题A是真命题；

对8,若函数/(x)e5,即存在一个正数使得函数/*)的值域包含于区间

••--WW".例如：函数/⑶满足-2</(