2021年广东省广州市仲元中学届高三七校联合体考前冲刺交流考试数学理试题含解析

精选word文档下载可编辑精选word文档下载可编辑广东仲元中学2018届高三数学(理)模拟试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分?在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合A={x|x-1<0},B={x|x2-5x>0},则ACCrB=[0,1)B.(1,5]C.(-oo,0]D.[5,+oo)【答案】A【解析】【分析】先化简集合A,B,再求CrB和AnCrB.【详解】由题得A={x|x<l},B={x|x>5或xVO},所以CrB={x|0<x<5},所以APICrB二[0,1).故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平?(◎集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，冇限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.+i 厂若实数满足——=&(为虚数单位)，贝山=aiA.1B.±1C.—2 D.±2【答案】B【解析】【分析】先化简|—|=Q即得a的值.【详解】由题得—==±1.|ai||a|故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查复数的模和复数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平?(2)复数z=a+bi(a,bGR)的模|z|=+b&甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别3为-和-，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是42A.-B.-35D.12【答案】D【解析】3设甲、乙获一等奖的概率分别是P(A)=-P(B)=-,不获一等奖的概率是4_ 2 1 — 3 1P(A)=l--=-P(B)=l--=-,则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：3 3 44_ _ _ _ _ _ 1 3P(AB+A§)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=-x-+-x-=3 44.若sin(—a)=一，贝0cos(—+2a)的值为6 3 31A.—37D.-9【答案】【解析】【分析】2兀先化简cos( 2a),兀 1再代入sin(--a)=-即得解.6 32兀 兀 兀【详解】rfl题得cos(—+2a)二cos[兀?(7~2a)]=-cos?-2a)=°兀 1 7=-[l-2sinw(—a)l=-(1-2x=——.l、6 9 9故答案为：B2 1 5；:右应选答案D。7Ecos2(—a)【点睛】(1)本题主要考查诱导公式和二倍角的余弦公式，意在考查学牛对这些知识的掌握水平和计算能力?⑵cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a-5.上海浦东新区2008年生产总值约3151亿元人民币，如果从此浦东新区生产总值的年增长率为10.5%,求浦东新区最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，如图，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了,则此框图中因被污染而看不到的内容的数学运算式应是A.a=a+bB.a=axbC.a=(a+b)nD.a=axbn【答案】B【解析】考点：设计程序框图解决实际问题.分析：首先分析程序框图表示的意义，然后根据已知判断程序框图里面a,b,c的意义.即可判断执行框的内容.解：根据题意，本程序框图意义为计算生产总值.由题意,a=3151,b=1.105,n=2008本程序为“当型“循环结构当满足a>8000时，跳出循环，输出年份n当不满足a>8000时，执行语句n二n+1根据己知，a为2008年生产总值，b"l+为增长率"故执行的语句应为a=axb故答案为B.汽车的“燃油效率''是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图，描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述屮止确的是4燃油效率(kmL)消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多甲车以8()千米小吋的速度行驶1小吋，消耗1()升汽油某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】试题分析：对于A,消耗升1汽油，乙车行驶的距离比5千米小得多，故错；对于B,以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C,甲车以80千米小时的速度行驶1小时，消耗8升汽油，故错；对于D,车速低于80千米小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故选D.考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.平行四边形ABCD中，AB=2,AD=LAB-AD=-1,^M在边CD上，则卜Ia?IvIb的最大值为A.2B.徧-1 C.OD.Q-1【答案】A【解析】【分析】3先根据向量的数量积的运算，求HlA=120°,再建立坐标系，得到皿?卜花二x(x-2)+-=x24(X-1)2」，设f(x)=(x-1)2--,利用函数的单调性求出函数的最值，问题4 4 4得以解决.【详解】平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,血?Ab=-1,点M在边CD上，.e.|AB||AD|cosA=-hcosZA=-1,1cosA=-一，A=120°,2以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，J3建立如图所示的坐标系…'.A(0,0),B(2,0),D(—),2「?MA二「?MA二(-x,3则——WxW-,2込2MB=(2-x,9 3+-=x-2x+-=(x-9 3+-=x-2x+-=(x-1)4则f(X)在[?—，4 21 1-f<x)inin=f(1) f(x)max=f(--)4 2?e.MA-MB=x(x-2)设f(x)=(x-1)21)上单调递减，在[1,尹单调递增,=2,则nJa?血的最大值是2,【点睛】(1))本题主要考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示，考查了函数的最值问题，意在考查学生对这些知识的常握水平和分析推理能力?⑵木题解题的关键是建立坐标系.兀 兀兀函数f(x)=sin(ox+(p)?>0,|(p|<-)在区间内是增函数，贝!|TOC\o"1-5"\h\z7C 7C 3兀A.f(-)=-lB.f(x)的周期为- C?①的最大值为4 D.f(—)=04 2 4【答案】C【解析】2兀 冗冗 7C兀1 兀兀因该函数的最小止周期是T=-,故由题设可得区间的长度—<-T,即-<-^<4,所0) 42 242 4o)兀兀以答案C正确；又因为区l'n](--)的端点都取不到，所以答案A,D都是错误的，应选答案C。已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=BC=2,AC=2&,若三棱锥D-ABC体积的最大值为2,则球O的表面积为121兀25%A.8兀B?9兀 C.D.121兀25%9【答案】D【解析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积.详解：因为AB=BC=2,AC=272,所以AB丄BC,过AC的中点M作平面ABC的垂下MN,则球心0在MN上，设OM=h,球的半径为R,则棱锥的高的最大值为R+h,因为VD_ABC=lxlx2x2x(R+h)=2,所以R+h=3,3由勾股定理得R2=(3-R)?+2’解得R=：,6121 12171所以球的表面积为S=4tix——=——，故选D.36 9点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有(1)三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；(2)利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.22XV已知双曲线--^--=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),右顶点为A,过F作AF的垂线与双a~b_曲线交于B、C两点，过B,C分别作AC,AB的垂线，两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a+c,则双曲线的渐近线斜率的収值范围是A.(一8,-l)u(l,+oo) B.(-1,0)u(0,1)C. u(Q,+s)D.(-血0)u(0,Q)【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的性质以及题意可得rh双曲线的对称性知d在x轴上，设d(x,0),根据直线,4 14垂直可得c?x二——,再根据D到直线BC的距离小于a+c,可得|c?x|=|-——|<a+c,a2(a-c) a^(a-c)解得即可.1212【详解】由题意，A(a,0),B(c,-),C(c,?仝)，由双曲线的对称性知D在x轴上,a ab2b2设D(x,0),则由BD丄AB得；,=—]c-xc-ab4C-x=— 1a~(a-c)D到直线BC的距离小于a+c,|c-x|=|^^|<a+c,a2(a-c)「2「2a2=b2,宀,双曲线的渐近线斜率的取值范围是(-1,0)U(0,1).【点睛】(【点睛】(1)本题主要考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)确定D到直线BC的距离是本题解题的关键.如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1,则该儿何体的体积A.15B.165053C.—D.—33【答案】C【解析】【分析】先找到三视图对应的儿何体原图，再求儿何体的体积.【详解】由题得几何体原图是下图中的四棱锥A-BCDE,2250所以四棱锥的体积为；xl0x5=-.3故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查三视图还原儿何体原图，考查锥体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)通过三视图找原图常用的方法冇直接法和模型法，本题使用的是模型法.已知f(x),g(x)都是定义域为R的连续函数.已知：g(x)满足：①当x>0吋，g'(x)>0恒成立;②VxGR都有g(x)=g(-x).f(x)满足：①姝GR都有f(x+￡)=f(x-问；②当如W[-V珀5]时，3 3f(x)=x'-3x?若关丁的不等式g[f(x)]<g(a2-a+2)对xW[―-2-^3—2^3]*1.0成立，则的取值范圉A.RB.[——--+—14 2 4C.[0,1]D.(-oo,0]U[l,+oo)【答案】D【解析】【分析】根据条件可得函数g(x)的奇偶性和单调性，利用条件可得惭数f(x)的周期性，将不等式进行转化为求函数最值恒成立即可得到结论.【详解】T函数g(x)满足：当x>0时，g(x)>0恒成立且对任意XGR都有g(x)=g(-x),函数g(x)为R上的偶函数且在[0,+8)上为单调递增函数，且有g|(x|)=g(x),l3 ■>.*.g[f(x)]Wg(a2-a+2),x€[---2^3,--2^3]恒成立o|f(x)|W|a，-a+2|恒成立，只要使得定义域内If(X)Imax^la2-a+2|min,rhf(x+的)=f(x-命)，得f(x+2^5)=f(x),即函数f(x)的周期T二2筋，TxG[-筋，点I时,f(x)=x 3当XG3当XG[肓?2凤?2问时，函数f(X)的最大值为2,求导得：f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),该函数过点(■ 0),(0,0),(福,0),且函数在x=?1处取得极大值f(?1)=2,在x=l处取得极小值f(1)=-2,即函数f(x)在R上的最大值为2,Vx6[---2^3--2^3],函数的周期是2^3,厶 乙由2W|a2-a+21,即-a+2,则a2-a>0,解得：a$l或aWO.综合性较强，难度较大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分。TOC\o"1-5"\h\z(x+a)(2x-)5的展开式屮各项系数的和为2,则该展开式屮常数项为 .x【答案】-40【解析】试题分析：令x=l可得(1+。)(2—1)‘=2 ,即 ,则(x+-)(2x-)5=x(2x一丄)'+-(2x--)5,分別求出(2x-b‘的展开式屮的含*和x和的XX XX X X X项的系数分别为-40：80,所以展开式中的常数项为40.考点：二项式展开式的通项公式及待定系数法.9 2x~ -己知椭圆-+^-=l(a>b>0)的左右焦点是F］、尸2,设P是椭圆上一点，FR在F】P上的投a2b~影的大小恰好为|F；P|,且它们的夹角为”，贝I」椭圆的离心率为 .6【答案】a3-I【解析】【分析】先根据F』2在F；P上的投影的大小恰好为F；P|,判断两向量互相垂直得到直角三角形，进而7U根据直角三角形中内角为；，结合双曲线的定义建立等式求得"和C的关系式，最后根据离6心率公式求得离心率e.【详解】F$2在F；P上的投影的大小恰好为|F；P|,PFi丄PF2，7C又它们的夹角为6ZPF|F2=-,6在直角三角形PF]F2中,FiF2=2c,PF2=c,PF]二^5c,又根据椭圆的定义得：PF1+PF2=2a,筋c+c=2a,上=-^—=扫-1.a3+1e=^§-1.故答案为:丽-1?【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，同时考查了学生综合分析问题和运算的能力，解答关键是通过解三角形求得a,c的关系从而求出离心率.x+y—3>015?若平面区域2x-y-3<0夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短x-2y+3>0吋，它们的斜率是 ?【答案】2或-2【解析】【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离.【详解】作出平而区域如图所示：>4>42x->2x->?-3=0x+y-3>0x-2^+3=0x+y-3>0可行域是等腰三角形，平面区域2x-y-3<0,夹在两条平行直线Z间，则这两条平行直线lx-2y+3>0间的距离的最小值是B到AC的距离，它们的斜率是2.A(2,1),B(1,2),A到BC的值，平行线的斜率为二.值，平行线的斜率为二.故答案为：2或-2【点睛】本题主要考查平面区域的作法，考查点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.在AABC屮，A=-且21血=心无，BC边上的中线长为0,贝IJAABC的面积是 .622【答案】也【解析】【分析】TOC\o"1-5"\h\z] C 5根据题意，将-sinB=cos2—变形可得sinB=l+cosC,乂由B+Orr,则sinB=l+cosC可以变形2 6为cos(C+-)=-1,分析可得C的值，进而可得B的值，分析可得，AABC为等腰三角形,3设D为BC中点，AD二设AC=x,苍4ACD屮，由余弦定理可得cosC==--,x22xX—2计算可得X的值，由三角形而积公式计算可得答案., 1 9C 1 1+cosC【详解】根据题意，Z\ABC中，-sinB=cos^—,则冇-sinB=,变形可得sinB=l+cosC,则有cocC=sinB-1<0,则C为钝角，B为锐角;TOC\o"1-5"\h\zI兀 , 5又由A=-,则B+C=-7r,665 兀则sinB=l+cosCnsin（孑?C）=l+cosC=>cos（C+j）=-1,5 兀C为钝角，贝|JC=-7l,B=-jt-C=-,6 6则AABC中，A=B=-,则有AC=BC,AABC为等腰三角形,6设D为BC中点，AD二前，设AC=x,2x2X2+（3）-7贝g有cosc=解可得x=2,贝0Saabc=^XACXBCXsinC=^X2X2Xsin”5故答案为:丽【点睛】故答案为:丽【点睛】（1）本题主要考查余眩定理解三角形和三角形面积计算，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题解题的关键是求出B、C,由此分析三角形ABC的形状.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在数列｛知｝屮，a】=l,当心2时，其前n项和Sn满足押=知（％冷）.Sn⑴求気的表达式； ⑵设b,=—求何啲前n项和几n2n+l【答案】（1）—（2）—^―2n-1 2n+1【解析】【分析】（1）利用项和公式化简Sn2=an（Sn?1）,再构造数列等差数列倚求HQ』勺表达式.⑵利用裂项相消法求｛0｝的前n项和几.【详解】（1）S=e（s”一￡）,g“=S”一S”_g2）,S=（S”一S“_］（S”一￡）,—1Sn—S”_1—Sn9由题意得SiS#O,①式两边同除以S,iS“,得亠=2,??-1数列｛曲是首项为討+=1，公差为2的等差数列?*=1+2(n—1)=2?—1,「?几=伤+?2+...+久=*[(1⑵*：b,i=2^+\=(2n-\)(2n+\)「?几=伤+?2+...+久=*[(1【点睛】(1)本题主要考查项和公式和等差数列的通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似(其屮｛%｝是各项不为零的等差数列，为常数)的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.如图，MBC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2,ZABC=ZDBC=\2Q°,E,F分别为4C,DC的中点.求证：EF丄BC；求二面角E-BF-C的正眩值.【解析】【分析】(1)先证明BC丄平而EFO,即证EF丄BC.(2)利用向量法求二面角E~BF~C的正弦值.【详解】⑴证明：如图，过E作EOLBC,垂足为0,连接0F,由题意得厶ABC竺ADBC,可证出△EOC竺'F0C,所以ZEOC=ZFOC=^f即FO丄BC,又E0丄BC,EOCiFO=O,因此BC丄平面EFO.又EFu平面EFO,所以EF丄BC.（2）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为），轴，在平面ABC内过B作垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,易得5（0,0,0）,A（0,-1,筋）,D（书,-1,0）,C（0,2,0）,因而E（0, 爭）,F粤,0）,市题得平而BFC的一个法向量为加=（0,0,1）.设平ffiBEF的法向量为"2=%y，Z）,乂前=（乂前=（爭'0）,匪=（0, 爭）,?前=0,由］"2?就=0,得其中一个"2=（1，一点1）?设二面角E-BF-C的大小为乩IL由题意知&为锐角,COS〃=|COS〈兀1，712)|=因此sin3==华，即二面角E-BF-C的正弦值为半.J J【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力.（2）求二面角的方法一：（几何法）找-＞作（定义法、三垂线法、垂面法）T证（定义）-＞指-＞求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量贾再代入公式沁"器（其中乔分别是两个平面的法向量，a是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“土”号）一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表：温度x°C21232527293235产卵个数y个711212466115325（I）根据散点图判断，y=c+dx与y=aJx哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II） 根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III） 红铃虫是棉区危害较重的害虫，可从农业、物理和化学三个方面进行防治，其中农业方面防治有3种方法，物理方面防治有1种方法，化学方面防治3种方法，现从7种方法中选3种方法进行综合防治（即3种方法不能全部来自同一方面，至少来自两个方面），X表示在综合防治中农业方面的防治方法的种数，求X的分布列及数学期望E（X）.7 7 7附：可能用到的公式及数据表中（表中wi=lnYi,W弓，严，X气》吉，y弓》片）i=l i=l i=lXyw7^(x,-x)2i=l7^(wrw)2i=l7丫辭厂7xyi=l7-7xwi=l27.4303.61281.290147.7002763.764705.59240.180对于一组数据（upV1）,（u2,v2）,......,（%%,其回归线V=a+pu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:a=v_0u产卵数))cK(KcKc50505053322II^Uj-Vj-nuv计分别为:a=v_0u产卵数))cK(KcKc50505053322II^Uj-Vj-nuvi=l度温63323【答案】（1）y=aebx⑵y=e~3849e0272x（3）见解析【解析】【分析】（I）由散点图可以判断，y=aebx适宜作为作为产卵数y关于温度x的回归方程类型.（II）令w=lny,先建立w关于x的线性回归方程式,再建立y关于x的冋归方程.（III）依题意得随机变量X=0,1,2,再分别求它们对应的概率，即得X的分布列和期望.【详解】（I）由散点图可以判断，y=aJx适宜作为作为产卵数y关于温度x的冋归方程类型。(ID令w=lny,先建立w关于x的线性回归方程式，由数据得7 77x)2=^Xj2-7x=147.700i=l工(XjWj?7x)2=^Xj2-7x=147.700i=ly(XjWi?7xw)i=l740.180 _ -而矿0.272—g-3.849,所以w关于x的线性回归方程为w=-3.849+0.272x,因此y因此y关于x的回归方程为y=e-3.849,0.272x=e.3.849e0.272x(III)依题意得随机变量X=0,1,2,基本事件总数为C=C；?C；=333当X=0时，选用物理方法1种、化学方法3选2,共有C；C；=3,KX=0)=-=-当X=1时,C；(C；C；+C；)当X=1时,p(x=6 414数学期望E(X)=0x—+1x—+2x—=—6 414数学期望E(X)=0x—+1x—+2x—=—11 1111【点睛】(1)本题主要考查回归分析，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力?⑵建立非线性回归模型的基木步骤：①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(是否存在非线性关系)；③由经验确定非线性回归方程的类型(如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等)；④通过换元,将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；⑤按照公式计算线性回归方程中的参数当X=2时P(X=2)=C：(C；+C当X=2时P(X=2)=33 33_11所以X的分布列X012P111611411（如最小二乘法），得到线性回归方程；⑥消去新元，得到非线性回归方程；⑦得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.已知动点M到定点F（l,0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1.（I）求点M的轨迹C的方程；（II）过点F任意作互相垂直的两条直线1］」2,分别交曲线C于点A,E和M,N.设线段AB,MN的屮点分别为P,Q,求证：直线PQ恒过一个定点；【答案】（1）y2=4x（2）直线PQ恒过定点E（3,0）.【解析】试题分析：（I）先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数p=2,进而求出标准方程；（II）先依据（I）的结论分别建立两条互相垂直的直线1』2的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为P,Q的坐标，最后借助斜率的变化确定直线PQ经过定点；（III）在（II）前提条件下，先求出|EF|=2,然后建立AFPQ面积关于变量k的函数］2|S=#FE|（j^+2|k|）=2^+|k|）,再运用基本不等式求其最小值：解：（I）由题意可知：动点M到定点F（l,0）的距离等于M到定直线x=-1的距离.根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线.Tp=2,?°?抛物线方程为：y2=4xX］+x9y1+y，（II）设A,B两点坐标分别为（xpy1）,（x2,y2）,贝I］点P的坐标为（一厂,一厂由题意可设直线11的方程为y=k(x-l)(k#0).由｛y齐)，得k；-(2k2+4)x+k2=0.△=(2k2+4)-4k4=16k2+16>0.4+y2=k(X]+x24+y2=k(X]+x2?2)=-因为直线1］与曲线C于AB两点,所以Xj+x2=2+活y1所以点P所以点P的坐标为1+由题知，直线】2的斜率为?￡，同理可得点Q的坐标为（1+2k2,-2k）.2当k"】时,有1+尹+2当k"】时,有1+尹+2k2,此时直线PQ的斜率kpQ2k+2-k2_k2-+22k所以，直线PQ的方程为y+2k=y^(x?l整理得yk2+(x-3)k-y=0-于是，直线PQ恒过定点E(3,0)；当k=±l时,直线PQ的方程为x=3,也过点E(3,0).综上所述，直线PQ恒过定点E(3,0).(Ill)可求得|EF|=2.所以厶FPQ面积S=$E|(春+2|k|j=2*+|k|j>4.当且仅当1<=±1时，“=”成立，所以AFPQ面积的最小值为4.点睛：圆锥曲线是高中数学的重耍内容之一，也是高考重点考查的考点与热点。解答本土的的第一问时，先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数p=2,进而求出标准方程；第二问是求解则是先依据(I)的结论运用点斜式分別建立两条互相垂直的直线1］，S的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为P,Q的坐标，最后借助斜率的变化确定直线PQ经过定点；求解第三问时，先在(II)前提条件下，求出|EF|=2,然后建立AFPQ面积关于变量k的函数S=1|FE|匚+2|k|卜2(二+|k||,再运用基本不等式求出了其最小值。\|k| \|k| 已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax<-a2?其中Q>0.设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；证明：存在aG(0,l),使得f(x)N0恒成立，且f(x)=0在区间(l,+oo)内有唯一解.【答案】(1)增(l,+oo)，减(0,1)(2)见解析【解析】【分析】⑴先求g(x),再利用导数求g(x)的单调性.(2)先令f&)=0得得a=x-\-\nx，再构造函数(p(x)=-2x\nx+x-2x(x-1-Inx)+(x-1-Inx)=(1+lnx)-2xlnx,证明存在x0G(l,e)，使得^(xo)=O，再证明存在aW(0,l),使得f(x)20恒成立,且f(x)=0在区间(1,+8)内有唯一解.【详解】(1)解：由已知，函数(X)的定义域为(0,+Q,g(x)=f(x)=2(x-l?lnx?a)所以g(x)=2--=坐口X X当X6(0,1)时，g'(x)V0，g(x)单调递减当时，d(x)>0'g(x)单调递增(2)证明：由f'(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-l-lnx令0(x)=-2xlnx+x2一2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+Inx)2-2xlnx则0(1)=1>0,(p{e)=2(2-e)<0于是,存在x0e(l9e)f使得0(兀o)=O令-1一In%="(心)rfl(I)知：0=w(l)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1,即aQe(0,1)'"］a=时，有fa?)=0,f(xQ)=(p{x0)=0由(I)知，f'(x)在区间(1,+Q上单调递增故：当XG(l,x0)时，f'(x)vo，(x)>(x0)=°当兀w(兀0,+00)时，f'(x)>0，(x)>(xo)=O乂当XG(0,1］时，(_￥)=(X-6TO)2-2xlnx>0.所以，当XG(0,+oo)时，(x)>0.综上述,存在ae(0,1),使得(x)>0恒成立，K(X)=O在区间(1,+s)内有唯一解【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调性，利用导数研究不等式的恒成立问题和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力?(2)木题解题的关键是构造函数(p(x)=一2xlnx+x2一2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx,证明存在x0e(l,e),使得0(%)=0,再证明存在aG(0,1),使得f(x)NO恒成立，且F(x)=O在区问(1,+8)内有唯一解.选修4-4:坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy中，曲线掳:；袒?为参数).以o为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为p=8cosB,直线的极坐标方程为9=|(peR).(I)求曲线C］的极坐标方程与直线的直角坐标方程；(II)若直线与C】,C2在第一彖限分别交于A,B两点,P为C?上的动点，求APAB面积的最大值.【答案】(1)y=$x(2)2+筋【解析】【分析】(I)先求出曲线C］的普通方程，再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线