2017-2018学年高一数学上册课时达标检测37

课时达标检测（九）函数的单调性一、选择题1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上()A．必是增函数 B．必是减函数C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性解析：选D函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．2．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定解析：选D根据单调函数的定义，所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个自变量，才能由该区间上函数的单调性来比较出函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定，选D.3．设f(x)＝(2a－1)x＋bA．a≥eq\f(1,2) B．a≤eq\f(1,2)C．a>－eq\f(1,2) D．a<eq\f(1,2)解析：选D∵f(x)在R上是减函数，故2a－1<0，即a<eq\f(1,2).4．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是()①y＝|x|＋1；②y＝eq\f(|x|,x)；③y＝－eq\f(x2,|x|)；④y＝x＋eq\f(x,|x|).A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选C①y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；②y＝eq\f(|x|,x)＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；③y＝－eq\f(x2,|x|)＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；④y＝x＋eq\f(x,|x|)＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3x＋5，x≤1，,\f(2a,x)，x＞1))是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0,3) B．(0,3]C．(0,2) D．(0,2]解析：选D依题意得实数a满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3＜0，,2a＞0，,a－3＋5≥2a，))解得0＜a≤2.二、填空题6．函数f(x)＝|x－1|＋2的单调递增区间为________．解析：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥1，,3－x，x<1，))显然函数f(x)在x≥1时单调递增．答案：[1，＋∞)7．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是增函数，则实数a的取值范围为________．解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝eq\f(a－1,2)且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是增函数，∴eq\f(a－1,2)≤eq\f(1,2)，即a≤2.答案：(－∞，2]8．函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3，2)和(1，－2)，则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是________．解析：∵f(x)是定义域上的减函数，f(－3)＝2，f(1)＝－2，∴当x>－3时，f(x)<2，当x<1时，f(x)>－2，则当－3<x<1时，|f(x)|<2.答案：(－3,1)三、解答题9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3－3a，x<0，,－x2＋a，x≥0))满足对任意的x1，x2∈R，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，求a的取值范围．解：由对任意的x1，x2∈R，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0知函数f(x)在R上为减函数．当x<0时，函数f(x)＝－x＋3－3a为一次函数，且为减函数，则此时f(x)>f(0)＝3－3a；当x≥0时，函数f(x)＝－x2＋a为二次函数，也为减函数，且有f(x)≤f(0)＝a.要使函数f(x)在R上为减函数，则有a≤3－3a，解得a≤eq\f(3,4).所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4))).10．已知函数f(x)＝eq\f(1,x2－1).(1)设f(x)的定义域为A，求集合A；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明．解：(1)由x2－1≠0，得x≠±1，所以函数f(x)＝eq\f(1,x2－1)的定义域为A＝{x∈R|x≠±1}．(2)函数f(x)＝eq\f(1,x2－1)在(1，＋∞)上单调递减．证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，设x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，Δy＝y2－y1＝eq\f(1,x\o\al(2,2)－1)－eq\f(1,x\o\al(2,1)－1)＝eq\f(x1－x2x1＋x2,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)，∵x1>1，x2>1，∴xeq\o\al(2,1)－1>0，xeq\o\al(2,2)－1>0，x1＋x2>0.又x1<x2，所以x1－x2<0，故Δy<0.因此，函数f(x)＝eq\f(1,x2－1)在(1，＋∞)上单调递减．11．讨论函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的单调性．解：f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)．∵定义域为{x|x∈R，且x≠0}，∴可分开证明，设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(a,x1)－x2－eq\f(a,x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x1x2))).当0＜x2＜x1≤eq\r(a)时，恒有eq\f(a,x1x2)＞1，则f(x1)－f(x2)＜0，故f(x)在(0，eq\r(a)]上是减函数；当x1＞x2＞eq\r(a)时，恒有0＜eq\f(a,x1x2)＜1，则f(x1)－f(x2)＞0，故f(x)在(eq\r(a)，＋∞)上是增函数．同理可证f(x)在(－∞，－eq\r(a))上是增函数，在[－eq\r(a)，0)上是减函数．综上所述，f(x)在(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)上是增函数，在[－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a)]上是减函数．12．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1＋2)－eq\f(x2,x2＋2)＝eq\f(2x1－x2,x1＋2x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1－a)－eq\f(x2,x2－a)＝eq\f(ax2－x1,x1－ax2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综