2024年中考数学压轴题型-专题05 与圆有关问题的压轴题之四大题型(解析版)5

专题05与圆有关问题的压轴题之四大题型目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一与圆中线段相等及相似的有关问题】 1【题型二与圆中证明直线是切线的有关问题】 12【题型三与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】 20【题型四与圆中实际应用的有关问题】 24【典型例题】【题型一与圆中线段相等及相似的有关问题】例题：（2023·广东深圳·三模）如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为点，交于点，连接，．

(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接、，根据切线的性质得到，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；（2）根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【详解】（1）解：证明：

连接、，是的切线，，，，，，，，由圆周角定理得，，，，；（2）

由（1）可知，，是的直径，，，，，，，即，解得，．【点睛】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．【变式训练】1．（2023·广东深圳·三模）如图，是的直径，切于点A，连接交于点D，点E是的中点，连接交于点F．

(1)求证：；(2)若，求的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图，连接，由是的切线，可得，由是直径，可得，由，可得，证明，进而可证；（2）由勾股定理得，，由（1）可知，，则．由，可得，，由勾股定理得，，由点E是的中点，可得，根据，计算求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接，

∵是的切线，∴，∵是直径，∴，∵点E是的中点，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）解：由勾股定理得，，由（1）可知，，∴．∵是直径，∴，∵，∴，，由勾股定理得，，∵点E是的中点，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的性质、直径所对的圆周角为直角、等角对等边、同弧或等弧所对的圆周角相等、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键在于确定角度、线段之间的关系．2．（2023·广东深圳·一模）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E．连接．

(1)求证：平分；(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由直线是的切线得到，又由得到，则，由得到，则，即可证明结论；（2）连接，由是的直径得到，则，又由得到，由（1）得，则，在中，，则，得到，在中，由勾股定理得到，即可得到的半径．【详解】（1）证明：连接，

∵直线是的切线，切点为C，∴，又∵，垂足为E，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）解：连接，

∵是的直径，∴，∴，又∵，∴，∴，由（1）得：，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴．【点睛】此题考查了切线的性质定理、锐角三角函数、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质定理、锐角三角函数、圆周角定理是解题的关键．3．（2023·广东深圳·模拟预测）如图所示，为的直径，、、分别与相切于点、、．连接并延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的值；(3)在（2）条件下，若，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)20(3)【分析】（1）由于点是的中点，所以要证，只要证明即可；（2）由可以想到比例式，由题意可以证明，由此得，则，再证即可；（3）易证，根相似三角形的性质得，则，又四边形是梯形，按其面积公式即可求解．【详解】（1）证明：连接，如图①，、分别与相切于点、，，在与中，同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半，，，又点是的中点，是的中位线，．（2）连接、、，如图②所示是的直径，，又与相切于点，，又，，，，，，，又，，，又，，，，，即：，（3）、分别与相切于点、，如图②所示，，，，，，，即：，又，，即：，，即：四边形的面积为．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、相似的性质与判定等知识点，本题的难点是相似的判定与性质的应用，这也是解（2）、（3）两个小题的关键．4．（2023·广东深圳·模拟预测）已知中，，，且，M为线段的中点，作，点P在线段上，点Q在线段上，以为直径的圆始终过点M，且交线段于点E．

(1)求线段的长度；(2)求的值；(3)当是等腰三角形时，求出线段的长．【答案】(1)(2)(3)或5【分析】（1）在中，，然后在中利用三角函数即可求解；（2）证明，然后根据等角的三角函数值相等即可求解；（3）证明，故当是等腰三角形时，则为等腰三角形．然后分①当时，②当时，③当时三种情况求解．【详解】（1）∵，∴为直角三角形，∵M为线段的中点，，∴，在中，则；（2）连接，

在中，∵是中线，∴，∴，∵,,∴，∴，在中，，则，∴；（3）∵，，∴，在中，∵是中线，∴，∴，∵,∴，∴，∴，∴当是等腰三角形时，则为等腰三角形，①当时，此时；②当时，∴.∵,∴此种情况不存在；③当时，∴.∵,,∴,∴,∴,∴，在中，，则；综上，或5．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【题型二与圆中证明直线是切线的有关问题】例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，内接于，是的直径，E是长线上一点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据圆周角定理得出，再由各角之间的等量代换得出，利用切线的判定证明即可；（2）根据（1）可知，，再由正切函数的定义得出，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵是的直径，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵是的直径，即是半径，∴是的切线；（2）由（1）知，，在和中，∵，，∴，∴，在中，，，∴，解得（负值舍去），即线段的长为．【点睛】题目主要考查切线的判定和性质，正切函数的定义，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【变式训练】1．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一点，和过点C的直线互相垂直，垂足为D，交于点E，且平分．

(1)求证：直线是的切线；(2)连接，若，，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）如图所示，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，则，由，可证，即可证明直线是的切线；（2）先求出，利用勾股定理求出，证明求出，利用勾股定理求出，，则．【详解】（1）证明：如图所示，连接，

平分,，，，，，，，又点C在上，直线是的切线；（2）解：如图所示，连接，，

由（1）得，，，是的直径，，，，即，，，．【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．2．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，是的直径，点D是上一点，且，与交于点F．(1)求证：是的切线；(2)若平分，，求证是定值．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据圆周角定理即可得出，再由已知得出，则，从而证得是的切线；（2）通过证得，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．【详解】（1）证明：∵是的直径，∴∴，∵，，∴∴，∴∵是的直径，∴是的切线

（2）证明：∵平分，∴，∵，∴∴，∵，∴∴，∴，故是定值．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．3．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，内接于，延长直径到D，使，过圆心O作的平行线交的延长线于点E．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求⊙O的半径及．【答案】(1)证明见解析(2)的半径为3，【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论；（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设,则，，在中，根据勾股定理求出，即的半径为3，由平行线的性质得到，在中，可求得，即．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，即，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）∵，∴，∵，，∴，设，则，，∵，∴是直角三角形，在中，，∴，解得，，∴，即的半径为3，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，掌握圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定与性质与平行线分线段成比例定理是解题的关键．4．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，直线交于两点，是直径，平分交于，过作于.

(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，根据平行线的判定与性质可得，且在上，故是的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得的长，又有，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【详解】（1）证明：连接．

，．∵平分∴，．．，即．在上，为的半径，是的切线．（2），，，．连接．是的直径，．，．．则．的半径是．【点睛】本题考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理切割线定理、相似三角形的判定和性质等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．【题型三与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】例题：（2023·广东深圳·二模）如图，点P是的直径延长线上一点，，点O旋转到点C，连接交于点D，∠AOD=60°．(1)求证：是的切线；(2)若，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据题意推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解；（2）根据阴影部分的面积求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接，根据题意得，，，是等边三角形，，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：，，，，，，阴影部分的面积．【点睛】此题考查了切线的判定与性质、扇形面积的计算，熟练切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，在中，与分别相切于点E，F，平分，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径是2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，过点O作于点G，如图，由切线的性质得到，再由角平分线的性质得到，由此即可证明是的切线；（2）连接，过点O作于点G，如图，先证明四边形为正方形．得到．求出，即可求出．证明平分，进而推出，则．即可得到=10．【详解】（1）证明：连接，过点O作于点G，如图，∵为的切线，∴．∵平分，，∴．∴直线经过半径的外端G，且垂直于半径，∴是的切线；（2）解：连接，过点O作于点G，如图，∵与分别相切于点E，F，∴，∵，∴四边形为矩形，∵，∴四边形为正方形．∴．∵，∴，∴．由（1）知：，∴，∵，∴平分，∴．∵平分，∴．∵，∴∠ABC+∠BAC=90°，∴，∴．∴=10．【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质与判定，求不规则图形面积得到，正确作出辅助线是解题的关键．【题型四与圆中实际应用的有关问题】例题：（2023·广东深圳·模拟预测）已知：、、三点不在同一直线上．

(1)若点、、均在半径为的上，（i）如图①，当，时，求的度数和的长；（ii）如图②，当为锐角时，求证：；(2)若定长线段的两个端点分别在的两边、（、均与不重合）滑动，如图③，当，时，分别作，，交点为，试探索在整个滑动过程中，、两点间的距离是否保持不变？请说明理由．【答案】(1)（i）；；（ii）见解析(2)见解析【分析】（1）（i）根据圆周角定理得，再利用勾股定理即可求解；（ii）证法一：连接，作直径，则，，利用即可求解；证法二：连接、，作于点，，，利用即可求解．（2）连接，取的中点，连接、，首先证明点、、、都在上，再利用，得出（定值），即可求解．【详解】（1）（i）证明：∵、、均在上，∴，∵，在中，根据勾股定理，∴．（ii）证法一：如图②，连接，作直径，则，，∴∴；

证法二：如图③．连接、，作于点，则，，∴．

（2）如图④，连接，取的中点，连接、，在中，，同理得：，∴，∴点、、、都在上，∴由（1）（ii）可知，∴（定值），故在整个滑动过程中，、两点间的距离不变．

【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形及四点共圆，根据已知得出点、、、都在上以及是解题的关键．【变式训练】1．（2023·广东深圳·一模）如图1，平行四边形中，，，，点M在延长线上且，为半圆O的直径且，，如图2，点E从点M处沿方向运动，带动半圆O向左平移，每秒个单位长度，当点F与点D重合时停止平移，如图3，停止平移后半圆O立即绕点E逆时针旋转，每秒转动，点F落在直线上时，停止运动，运动时间为t秒．

(1)如图1，；(2)如图2，当半圆O与边相切于点P，求的长；(3)如图3，当半圆O过点C，与边交于点Q，①求平移和旋转过程中扫过的面积；②求的长；(4)直接写出半圆O与平行四边形的边相切时t的值．（参考数据：，）【答案】(1)12(2)(3)①平移过程中扫过的面积为，旋转过程中扫过的面积为；②(4)或2或12【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理求出即可；（2）连接，由半圆O与边相切于点P，得到，则是的角平分线，得到，则，则，则，在中，由勾股定理得到，即可得到的长；（3）①在平移中：，．连接，过点O作于点N，由题意可知，，，，，在中，，由等腰三角形的性质得到，则，得到，则，即可得到．②过点Q作于点K，由①可得，则，得到，，由，，．即可得到答案；（4）分三种情况讨论求解即可．【详解】（1）如图，连接，

在中，，∵，，，∴，故答案为：12．（2）如图，连接，

∵半圆O与边相切于点P，，∴，∴是的角平分线，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，∴．∴的长为．（3）①平移中：，．如图，连接，过点O作于点N，

由题意可知，，，，∴，在中，，∵，∴，是等腰三角形，∵，∴，，∴，∴，∴，在旋转中：，．∴平移过程中扫过的面积为，旋转过程中扫过的面积为．平移和旋转过程中扫过的面积为；②如图，过点Q作于点K，

由①可得，∴，∴，，∵，即，解得，∴，∴．答：的长为．（4）当半圆O与DC边相切于点P时，；当半圆O与边相切时，即点F与点D重合，此时，∴；当半圆O与边相切于点G时，如图，

∵，，∴点E到直线的距离为，即此时点F与点G重合，，∴，∴，∴，综上，t的值为或2或12．【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，读懂题意，数形结合和分类讨论是解题的关键．2．（2023·广东深圳·一模）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，∵是的外角，∴（填“＞”，“=”或“＜”），