2024年中考数学压轴题型-专题05 与反比例函数有关问题的压轴题之三大题型(解析版)

专题05与反比例函数有关问题的压轴题之三大题型目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一反比例函数与一次函数综合问题】 1【题型二实际问题与反比例函数综合问题】 10【题型三反比例函数与几何综合问题】 18【典型例题】【题型一反比例函数与一次函数综合问题】例题：（2023·浙江温州·校联考模拟预测）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点.

(1)求的值，并在图中画出函数的图象；(2)直接写出不等式的解集．【答案】(1)，画图见解析；(2)或．【分析】（）依据题意，将代入一次函数解析式可得，再将代入反比例函数解析式可以求得，然后即可画出图象；（）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量即可得解；本题考查了反比例函数和一次函数交点的问题，掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等知识是解题的关键．【详解】（1）解：将点代入一次函数得，∴，∴点的坐标为，把点代入反比例函数得，解得∴反比例函数的解析式为，∴反比例函数的图象如下图；

（2）解：由，，根据函数图象可得：不等式的解集为：或．【变式训练】1．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点，与x轴交于点C．(1)求此反比例函数的表达式；(2)若点P在x轴的正半轴上，且，求点P的坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题是一次函数和反比例函数综合题：（1）利用点A在上求a，进而代入反比例函数求k．（2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．【详解】（1）解：把点代入，得，∴把代入反比例函数（k为常数且）∴，∴反比例函数的表达式为；（2）解：联立两个函数的表达式得，解得或，∴点B的坐标为当时，得∴点设点P的坐标为∵∴解得，（舍去），∴点．2．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）已知一次函数与反比例函数，(1)若函数与函数的图像交于点，点，①求一次函数和反比例函数的表达式；②当时，直接写出的取值范围；(2)若点在函数的图像上，求函数的图像经过的定点．【答案】(1)①一次函数的表达式为，反比例函数解析式为，②或(2)【分析】（1）①把点代入即可求得，然后由反比例函数的解析式求得的坐标，最后利用待定系数法即可求得一次函数的表达式；②在同一平面直角坐标系中，画出一次函数图像与反比例函数图像，根据图像即可求得；（2）把点代入函数，得,然后把一次函数化为即可．【详解】（1）解：①一次函数的图像与反比例函数的图像的相交于点，点，反比例函数解析式为，，，把点，点代入得，解得，一次函数的表达式为；②一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图，

由图可知：当时，或；（2）解：点在函数的图像上，得,,,当时，，即过定点．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．3．（2023·浙江杭州·校考三模）已知点在反比例函数图象上．(1)求反比例函数的表达式和点A的坐标；(2)已知一次函数的图象经过点A，，求一次函数的表达式；(3)直接写出不等式的解集．【答案】(1)反比例函数解析式为，(2)(3)或【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值即可得到答案；（2）利用待定系数法求解即可；（3）利用图象法求解即可．【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上，∴，∴，∴，∴反比例函数解析式为，；（2）解：把、代入中得：，∴，∴一次函数的表达式为（3）解：由函数图象可得，当或时反比例函数图象在一次函数图象的上方，∴不等式的解集为或．

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．4．（2023·浙江杭州·统考二模）设函数，函数（，b是常数，）．(1)若函数和函数的图像交于点，点，①求b，n的值．②当时，直接写出x的取值范围．(2)若点在函数的图像上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数的图像上，求m的值．【答案】(1)①②或(2)【分析】（1）①采用待定系数法即可求出．②采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即可求出．（2）结合题意，表示出点D的坐标，然后将C,D两点代入到中即可求出．【详解】（1）①把点代入到中，得把代入到中，得再把和代入到中，得解得：综上：．②如图所示：解得：结合图像，当时，x的取值范围是：或．（2）根据题意，把点C，D代入到中，得解得：综上:．【点睛】本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图像和性质，巧妙的运用数形结合的方法是解题的关键．5．（2023·浙江杭州·统考二模）平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）和一次函数（，为常数，）的图像都经过点．(1)若，求的值．(2)若点是反比例函数与一次函数图像的另一个交点，①求，的函数表达式．②若，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)，；或【分析】（1）利用待定系数法即可求出；（2）将，分别代入可得到，即可得到，再将分别代入，，即可得到，；画出函数图像，找出对应的的范围即可．【详解】（1）解：若，则，；（2）解：反比例函数（为常数，）的图像经过点、点且也在一次函数（，为常数，）的图像上，，解得，，，将分别代入，，可得，，，的函数表达式分别为，；当时，，画出函数图像如图所示，

的取值范围是或．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数交点问题，掌握反比例函数和一次函数图像与性质是解题关键．【题型二实际问题与反比例函数综合问题】例题：（2023·浙江衢州·统考中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．素材1

国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．探究1

检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．素材2

图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．探究2

当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．素材3

如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．探究3

若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；探究；探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将代入得：；探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．【详解】探究由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，设，将其中一点代入得：，解得：，，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；将代入得：；答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；探究，在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，当时，，，；探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，由探究1知，，解得，答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．【变式训练】1．（2023·浙江台州·统考一模）如图1，点光源射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为单位：，长为单位：，当时，．

(1)求的长．(2)求关于的函数解析式，在图2中画出图像，并写出至少一条该函数性质．(3)若要求不小于，求的取值范围．【答案】(1)(2)，图象及性质见解析(3)【分析】（1）根据得出，根据相似三角形的性质即可求解．（2）由(1)得，，进而求得解析式，画出函数图形，根据函数图象写出一条性质即可求解；（3）由，，解不等式即可求解．【详解】（1）解∵，∴，∴，∴，解得．（2）由(1)得，，∴，∴或，画出图像如下：

性质：当时，随的增大而减小；（3）由，，则，解得，∴的取值范围为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．（2023·浙江台州·统考二模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．桌面所受压强P（Pa）100200400500800受力面积210.50.40.25

(1)求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式；(2)现将另一长、宽、高分别为0.2m，0.3m，0.2m与长方体A相同重量的长方体B按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若桌面所受压强与受力面积之间的关系满足（1）中的函数表达式，且该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．【答案】(1)(2)安全，见解析【分析】（1）用待定系数法可得函数关系式即可；（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．【详解】（1）解∶由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，设，将代入得：，∴．（2）解∶这种摆放方式安全，理由如下：由图可知，∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，，∵，∴这种摆放方式安全．【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．3．（2023·浙江金华·统考二模）某气球内充满一定质量的气体．通过测量，当温度不变时，该气球内气体的压强p（kPa）和气体体积V（）的几组对应值如下表．V（m3）p（kPa）(1)根据表中的数据画出函数图象，并求出压强p（kPa）关于体积V（）的函数表达式．（函数表达式中的数值精确到单位1）(2)当气体体积为时，气球内气体的压强是多少？(3)当气球内气体的压强大于180kpa时，气球就会爆炸．请问气体的体积应不小于多少时，气球才不会爆炸．【答案】(1)画图见解析；；(2)气球内气体的压强是kPa；(3)【分析】（1）根据描点，连线即可画出函数图象；设函数解析式为，把点代入函数解析式求出k值即可；（2）将代入（1）中的反比例函数解析式即可求出；（3）由，再利用函数图象可得答案．【详解】（1）解：如图，先描点，再连线即可；把代入，∴；∴函数关系式为：；（2）当气体体积为2m3时，气球内气体的压强是（kPa）；（3）当气球内气体的压强大于180kpa时，气球就会爆炸．即；∴，∴，即；【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，画反比例函数的图象，利用反比例函数的图象解决问题．4．（2023·浙江绍兴·校考一模）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出y关于x的函数解析式；若，求的取值范围．(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．……0.250.5124………………【答案】(1)；(2)，表、图见解析【分析】（1）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂解答即可；（2）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答．【详解】（1）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴重物×OA=秤砣×OB．∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg，∴2x=0.5y，∴；∵4>0，∴y随x的增大而增大，∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12，∴．（2）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴秤砣×OA=重物×OB．∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg，∴2×0.5=xy，∴；当x=0.25时，；当x=0.5时，；当x=1时，；当x=2时，；当x=4时，；填表如下：……0.250.5124…………421……画图如下：【点睛】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，以及列表、描点、连线画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键．【题型三反比例函数与几何综合问题】例题：（2023·浙江·一模）已知点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，若为等腰直角三角形，则的长为．【答案】或【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．【详解】解：当时，此时；在函数上，，，即，；当时，此时；在函数上，，，即，，当时，点落在轴上，故不合题意，综上所述，的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过平行四边形的顶点A，将该反比例函数图象沿轴对称，所得图象恰好经过中点，则平行四边形的面积为．

【答案】10【分析】设，根据平行四边形对边平行得到点B的纵坐标为，根据图象沿轴对称所得图象为及中点性质得到，根据点O、A的水平距离为x及平行四边形对边平行且相等，推出点M、B的水平距离为，推出，得到，得到．【详解】∵（）的图象经过平行四边形的顶点A，∴设，∵轴，∴点B的纵坐标为，∵图象沿轴对称所得图象为，这个图象恰好经过中点，∴，∵点O、A的水平距离为x，，，∴点B、C的水平距离也为x，∴点M、B的水平距离为，∴，∴，∴．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了反比例函数，轴对称，平行四边形．解决问题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的性质，关于y轴对称的函数的性质，平行四边形边的性质，中点坐标的性质．2．（2023·浙江·一模）如图，正方形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，边的中点正好在反比例函数的图象上，则正方形的边长为．

【答案】/【分析】设的中点为E，连接交于点F，根据对称性得到，进而求得，勾股定理求出，然后，则，利用解方程求解即可．【详解】如图所示，设的中点为E，连接交于点F，

∵四边形是正方形，边的中点正好在反比例函数的图象上，∴根据对称性可得，是平分线∴，∵点E在反比例函数的图象上，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，∴设，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，

∵，∴，∴解得．∴正方形边长为：故答案为：．【点睛】此题考查了反比例函数与几何综合题，正方形和矩形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为．

【答案】24【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解．【详解】解：设，∵，∴，∴，∴，在正方形中，，∵Q为的中点，∴，∴，∵Q在反比例函数的图象上，∴，∵四边形是正方形，∴，∵P在上，∴P点纵坐标为，∵P点在反比例函数的图象上，∴P点横坐标为，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，故答案为：24．【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键．4．（2023·浙江·统考二模）如图，放置在平面直角坐标系中，，的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，使点落在边的中点．若反比例函数的图象经过点，则的值为．【答案】【分析】过点作轴于点，根据题意，得出，则，解，得出的坐标，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作轴于点，∵的坐标为，则，将绕点顺时针旋转得到，使点落在边的中点．∴，∴，在中，，∴根据旋转的性质可得∴∴，，∴∵反比例函数的图象经过点，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023·浙江宁波·校联考三模）如图，在中，顶点A的坐标是，轴，交y轴于点E，交x轴于点F，顶点C的纵坐标是，的面积是24，反比例函数的图象经过点B和D，则k的值为，四边形的面积．

【答案】8【分析】根据题意得出，结合平行四边形的面积得出，继而知点坐标，即可确定k的值；先根据反比例函数解析式求出点的坐标，得出，再利用待定系数法得出直线的解析式为，求出，最后根据梯形的面积公式求解即可．【详解】解：∵顶点的坐标是，顶点的纵坐标是，∴，又的面积是24，∴，则，∴，∴反比例函数解析式为；由题意知的纵坐标为，∴其横坐标为，则，∴，∴，设直线的解析式为，将，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，当时，，解得，∴∴四边形的面积为：，故答案为：①8；②．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数和一次函数解析式的方法．6．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上，对角线交于点D，反比例函数的图象经过C，D两点，延长交y轴于点E，则；若为菱形，则．【答案】【分析】根据反比例函数设，由点D是的中点推出，，从而得到，，再计算即可；根据为菱形推出，利用勾股定理求出，利用，证明，从而得到．【详解】解：不妨设，在中，点D是的中点，，∴，∴，令得：，∴，∴，，∴；∵为菱形，∴，，∴，∵，，∴，∴，故答案为：；．【点睛】本题考查平行四边形的性质，反比函数的图象与性质，勾股定理，菱形的性质，相似三角形的性质与判定，前一空设点坐标、后一空推导三角形相似是解题的关键．7．（2023·浙江温州·统考二模）如图，点A在x轴上，以为边作矩形，反比例函数的图象经过的中点E，交边于点D，连结．若，，则k的值为．

【答案】/【分析】设，求得，，，根据题意列出，即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，点E是的中点，∴，设，则，，∴，∴，，∵点、在反比例函数的图象上，∴，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握反比例函数图象上的点的坐标的特征，矩形的性质，是解题的关键．8．（2023