2024年中考数学压轴题型-专题03 与圆有关问题的压轴题之五大题型(解析版)

专题03与圆有关问题的压轴题之五大题型目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一与圆中三角形全等的有关问题】 1【题型二与圆中三角形相似问题的有关问题】 5【题型三与圆中证明直线是切线的有关问题】 29【题型四与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】 41【题型五与圆中求函数表达式的有关问题】 50【典型例题】【题型一与圆中三角形全等的有关问题】例题：（2023·浙江杭州·统考二模）如图，四边形内接于，点C是弧的中点，延长到点E，使得，连结．

(1)求证：．(2)若，，，求的长【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到；（2）过点C作，根据已知条件得到，求得，根据直角三角形的性质得到结论．【详解】（1）证明：，，四边形内接于，，，，在和中，，，；（2）解：过点C作，

由（1）得，由（1）得∴为等腰三角形∵∴∴∵，∴有勾股定理可得：解得：在中∴【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确地找出等量关系是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·一模）如图1，为的直径，于点，，与交于点．(1)求证：．(2)若，求的长．(3)连结，如图2，求证：．【答案】(1)见解析(2)的长为(3)见解析【分析】（1）由为的直径，于点得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；（2）连接，由（1）得：，，从而得到，则，设，则，在中，，即，即可得到答案；（3）连接交于，则，通过证明，得到，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由，即可得到答案．【详解】（1）证明：为的直径，于点，，，，，即，；（2）解：如图所示：连接，，由（1）得：，，，为的直径，于点，，设，则，在中，，即，解得：，的长为；（3）解：如图所示：连接交于，，，，在和中，，，，，为半径，，，，．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．【题型二与圆中三角形相似问题的有关问题】例题：（2023·浙江宁波·校考一模）如图，已知是的直径，点D为延长线上的一点，点A为圆上一点，且，．

(1)求证：；(2)求证：是的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，由于，于是得到；（2）连接，根据等腰三角形的性质得到，得到，由是的直径，得到，即可得到结论．【详解】（1）证明：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）连接，∵，∴，∴，∵是的直径，∴，∴OA⊥AD，∴是的切线．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，点是外接圆上一点，其中．过点作的平行线交延长线于点，已知平分．

(1)求证：．(2)若为中点，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平分，得出，即可证明；（2）由得，再根据点为中点，设，算出，，在由中，即可求解；【详解】（1）∵平分，∴∵，∴∴，∴∵，∴．

；（2）∵，∴，∵点为中点，设则，∴，即∵，∴在中，，∴，即．∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例，难点是正确的作出辅助线．2．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）如图，内接于，且，是的直径，，交于点，为的延长线上一点，且．

(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)若为的中点，求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据圆周角定理得出即可得证；（2）根据角的关系得出，再根据角的代换得出，即，即可得证结论；（3）设，则，根据相似三角形的判定和性质得出，即可得出的值．【详解】（1）证明：，，，又，；（2）证明：是的直径，，又，是的垂直平分线，，，，，又在中，，，即即，又点A在上，是的切线；（3）设，则，，即，∴，是的直径，，在中，．【点睛】本题主要考查圆的综合题型，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．3．（2023·浙江·统考三模）如图，是的直径，半径，点在上，连接并延长交于点，连接．

(1)求的值．(2)当时，求的值．(3)若，与的面积分别记为，，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）连接，根据已知得出，根据等弧所对的圆周角相等得出，进而即可求解；（2）在中，设，则，过点作于点，则，分别求得，即可求解．（3）连接，过点作于点，证明，则，设的半径为1，则，则，，进而即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接，

∵是的直径，半径，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，又，∴，在中，设，则，如图所示，过点作于点，则，∴，，∴,在中，，∴；

（3）解：如图所示，连接，过点作于点，

∵，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵设的半径为1，则，∴，∴,∴，

∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．

(1)求的度数．(2)①求证：．②若，求的值，(3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长．【答案】(1)(2)①证明见解析；②；(3)【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案；（2）①证明，再证明，可得；②设，，证明，可得，即，则，可得，从而可得答案；（3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案．解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接．先证，再证，则可得．根据等腰三角形三线合一，可得，由此可得．由，可得．再证．则可得，即，解出r的值，即可求出的长．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）①∵为中点，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；②设，，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，即，∴，∴，∴（负根舍去）；（3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，而，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，（负根舍去），由（2）①知，∴．解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接，，．又，，．，，．又，，．又，，．，．，，，，即，得，解得：，（负根舍去），∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．5．（2023上·浙江温州·九年级期末）等腰三角形中，且内接于圆O，D、E为边上两点（D在F、E之间），分别延长、交圆O于B、C两点（如图1），记，．

(1)求的大小（用α，β表示）；(2)连接，交于H（如图2）．若，且．求证：；(3)在（2）的条件下，取中点M，连接、（如图3），若，①求证：，；②请直接写出的值．【答案】(1)(2)见解析(3)①见解析；②或【分析】（1）如图1中，连接．利用圆周角定理求解；（2）证明，，可得结论；（3）①如图3中，连接，延长交于点I．证明，推出，，再证明，可得结论；②连接，．设，则，，设，利用勾股定理求出m，n之间的关系，可得结论．【详解】（1）解：如图1中，连接．

∵，∴，∴，∵，∴；（2）证明：如图2中，

∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）①证明：如图3中，连接，延长交于点I．∵，，∴，∵，∴，∴是直径，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，，∵，∴，在中，，∴即，∴，又，∴，∵，，∴，∴，又，∴四边形是平行四边形，∴，又，∴，；②解：连接，．∵，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，设，则，，设，∴，∴，∵，∴，整理得，∴或，∴或．

【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．

(1)求证：；(2)若，求的值；(3)连结交于点，若的半径为5①若，求的长；②若，求的周长；③若，求的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)①；②；③【分析】（1）根据点是三等分点，得出，根据是的直径，可得，根据切线的性质可得，即可证明；（2）如图1，连接，证明，则，设，则，在中由勾股定理得，得出，进而根据正切的定义即可求解；（3）①如图1，连接，勾股定理确定，根据，可得；②如图2，连接，设，则，解得．则，证明，，进而根据相似三角形的性质即可求解；③如图3，过点作于点，则．设，则，证明，得出则，得出，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：∵点是三等分点，∴．由是的直径∴，∵是的切线，∴．∴．（2）如图1，连结，∵，

∴．由，则，又∵，∴，∴．设，则，∵，∴．在中由勾股定理得，∴，∴．∴．（3）①如图1，连结，∵，

∴．∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．②如图2，连结，

∵，∴．∵，∴．设，则，由勾股定理得，即，解得．∴∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∴．③如图3，过点作于点，则．

设，则，由勾股定理得，，∵，∴，∴．∴．∵，∴，∴，∴．∴．可得方程，解得（舍去）．∴，∴，∴，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，切线的性质，相似三角形的性质与判定熟练掌握是解题的关键．7．（2023下·浙江·九年级校联考阶段练习）如图，四边形内接于，，为直径，为一动点，连结交于点，交于点，连结．

(1)设为，请用表示的度数．(2)如图1，当时，①求证：．②当时，求半径的长．(3)如图2，当过圆心时，若，直接写出的值（用含的代数式表示．）【答案】(1)(2)①证明见解析，②(3)【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，进而证明，根据全等三角形的性质以及同弧所对的圆周角相等得出，即可求解．（2）①连接．证明，，根据全等三角形的性质即可求解；②过点作，垂足为．根据，同弧所对的圆周角相等得出，则，，进而求得，，．由可得，由勾股定理得．（3）连接交于点．得出为的中位线，可得，得出，根据，则，令，则，，继而求得，即可求解．【详解】（1）为直径，

，又，，．，，．（2）①连接．，，，，，．，，又，，，，，．②过点作，垂足为．

，，，，，，．由，得．．，，∵∴．由勾股定理得．（3）解：如图所示，连接交于点，

，，，为直径，．为中点．为的中位线，，．，，，．，，令，则，，，，．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，求函数表达式，综合运用以上知识是解题的关键．【题型三与圆中证明直线是切线的有关问题】例题：（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）如图，以的一边为直径作，与边的交点恰好为的中点，过点作．

(1)求证：为圆O的切线；(2)连接交于点F，若，求的值．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理可求出，根据切线的性质可证明，进而得证．（2）连接．根据圆周角定理得到．故设，则，．根据相似三角形的性质得到,，于是得到结论．【详解】（1）证明：连接．

为中点，为中点，．，，且点在上，是的切线；（2）解：连接．

，．为的直径，．又为的中点，．，故设，则，．在中，，，．，．，．．，．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、直径对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．【变式训练】1．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）如图，直线经过上的点M，并且，交于点N．(1)求证：直线是的切线；(2)当时，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质与判定推出，即可证明结论；（2）连接，根据直角三角形的性质和圆的基本性质得出是等边三角形，从而得到，即可求解．【详解】（1）连接，∵，∴是等腰三角形，∵，∴，又点M在上，∴直线是的切线；（2）连接，∵，∴，又，∴是等边三角形，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的性质，圆的切线证明，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）如图，是的直径，是的切线，切点为B，连接PO，过点C作交于点A，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为3，求的长．【答案】(1)见解析(2)AC的长为【分析】（1）连接，证明，可得，由是的切线，可得，进而可证结论成立；（2）连接交于点D，可证垂直平分，设，利用勾股定理求出x的值，由圆周角定理可知，再利用勾股定理可求出的长．【详解】（1）连接．∵，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∴．∵是的切线，∴，∴，∴是的切线；（2）连接交于点D．∵的半径为3，∴．∵，∴，∵，∴垂直平分，∵，∴设，∵，∴，解得，∴，∵，∴，∴，∴．∵是的直径，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，以及锐角三角函数的知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．3．（2023·浙江金华·统考一模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E．作于点F，于点G．

(1)求证：是的切线．(2)已知，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)的半径为5【分析】（1）连接，根据，得出，根据，，推出，进而得出，即可求证；（2）根据垂径定理可得，通过证明四边形为矩形，可得，，设的半径为r，则，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】（1）证明：连接，∵，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，则，∴，即是的切线．

（2）解：∵，，，∴四边形为矩形，，∴，，设的半径为r，即∵，∴，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：．∴的半径为5．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，垂径定理，勾股定理，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，根据勾股定理列出方程求解．4．（2023·浙江杭州·校联考二模）如图①，是的外接圆，点在上，延长至点，使得．

(1)求证：为的切线；(2)若的角平分线交线段于点，交于点，连接，如图②，其中，，求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，同角的余角相等得出，再根据切线的判定方法进行判断即可；（2）通过证明，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，再根据圆周角定理以及相似三角形的性质得出，代入计算即可．【详解】（1）证明：连接，如图，

，，，，，是直径，，即，，，是的直径；（2）解：，，，，，，在中，，，即，，为的角平分线，，，，，．【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．5．（2023·浙江杭州·校考三模）如图是的直径，A是上异于C、D的一点，点B是延长线上的一点，连接，且．

(1)求证：直线是的切线；(2)若，①求的值；②作的平分线交于点P，交于点E，连接，若，求的值（用含k的代数式表示）．【答案】(1)证明见解析(2)①；②【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论；（2）①先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；②在中，，，解得，，证明，得到，则，求出，则．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵是直径，∴，

∴，又∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵为半径，∴直线是的切线；（2）解：①解：∵，，∴，∴，设，则，∴，在中，，在中，，即；

②在中，，，∴解得，，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质求解是解答的关键．【题型四与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】例题：（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，为边上一点，连结．以为半径的半圆与边相切于点，交边于点．(1)求证：．(2)若．①求半圆的半径．②求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)①2；②【分析】（1）根据切线长定理可直接得出结论；（2）①证明，可得，根据含直角三角形的性质求出，可得，然后可得答案；②利用勾股定理求出，然后根据列式计算即可．【详解】（1）证明：，点在圆上，是圆的切线，是圆的切线，；（2）解：①如图，连结．∵，∴．∵，，．．．，．∴在中，．，，，∴半圆的半径为2；②在中，．，．，，∴．【点睛】本题考查了切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积计算等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，已知，在中，，以为直径作，交边的中点．于点，连结．

(1)求证：是的切线．(2)请你给添加一个条件，并求弧的长．【答案】(1)证明过程见详解(2)添加条件为：（添加条件不唯一），弧的长为【分析】（1）如图所示，连接，根据点是的中点，点是的中点，可得，再根据，由此即可求证；（2）根据圆周角的性质，可求出的度数，根据弧长的计算方法即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接，

∵点是的中点，点是的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，点在上，∴是的切线．（2）解：添加条件为：（添加条件不唯一），∴，且，∴的半径，∴弧的长为，∴弧的长为．【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的证明方法，圆周角的定理及性质，弧的计算方法是解题的关键．2．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连接并延长交圆于点．

(1)求证：；(2)若，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理的推论，即可得到结论；（2）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积．【详解】（1）证明：根据题意，是半圆的直径，∵点是的中点，∴，∵，∴，∴．（2）解：如图所示，连接，

∵，，∴是等边三角形，过点C作，∵，∴，∴，∴，∴，，∴．【点睛】本题主要考查扇形面积，垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键．3．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，以等腰的底边为直径作半圆，交、于点D、E．(1)证明：；(2)若，，求阴影部分面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图，连接，，证明，，可得，从而可得结论；（2）如图，连接，，，过作于，证明为等边三角形，，而，，为等边三角形，分别求解，，，同理可得：，从而可得答案．【详解】（1）解：如图，连接，，∵，∴，∵为的直径，∴，∴，∴．（2）如图，连接，，，过作于，∵，，，∴为等边三角形，，而，∴，，∴，为等边三角形，∴，，，∴，，同理可得：，∴，，，同理可得：，∴．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，熟练的利用等边三角形的性质解题是关键．4．（2023·浙江衢州·统考一模）如图，在等腰中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E．(1)求证:．(2)若，，求阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）连接，，如图，∵为直径，∴，∵，∴D为的中点，∴为中位线，∴，∵是的切线，∴，∴；（2）∵，，∴，，∴，∵，，∴，，∴，，即：，∴，，，∵O点为中点，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积公式，解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．5．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，直线与相切于点C，射线与交于点D，E，连结．连结．

(1)求证：；(2)若，，求弧的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】⑴切点与圆心相连结，则可利用“圆的切线垂直于经过切点的半径”这一性质，然后利用直径所对的圆周角是直角这一性质来求解．⑵在直角三角形中，利用勾股定理建立已知与未知的关系，求得半径长，再利用三角函数关系求得圆心角的长，最后再算出弧长．【详解】（1）如图，连结，

∵直线与相切于点C，∴，∴，∵为直径，∴，∴，∴，∴，∴．（2）设，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理、勾股定理、弧长公式、三角函数等相关内容，准确作出辅助线和求得半径与圆心角度数是解题的关键．【题型五与圆中求函数表达式的有关问题】例题：（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，的直径垂直弦于点E，点P为上的一点，连接并延长交于点Q，连接，过点P画交的延长线于点F．若的直径为10，．(1)求的长；(2)如图2，当时，求的正切值；(3)如图1，设．①求y关于x的函数解析式；②若，求y的值．【答案】(1)8(2)(3)①；②【分析】（1）连接，根据垂径定理和勾股定理即可求解；（2）连接．得到是的直径，．在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解；（3）①证明，利用相似三角形的性质即可求解；②证明和，推出，，求得，得到；过点P作于点H，在中，利用勾股定理即可求解.【详解】（1）解：如图，连接．∵直径，∴，．∴，即，∴．∴；（2）解：如图，连接．∵，∴是的直径，∴．在中，，∴；（3）解：①如图，连接．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴，∴．∴．∴；②如图，连接．∵，∴．①∵．∴，∴，②①②得，．∵，∴，∴．在中，，∴，∴．∴．连接，∵是直径，∴．∴．过点P作于点H，，∴，∴．在中，，∴．【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江台州·统考一模）已知点P在的直径上，四边形内接于，且，，连接．

(1)如图1，求证：；(2)如图2，连接，①试说明与的面积相等；②已知，设．记与的面积分别为，．设，求的最大值，并求此时x的值．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，最大值为1【分析】（1）由是直径可得，再由得出，，最后可证得；（2）①由，，可得，从而得出，可得，从而可得，最后可得结果；②过点，分别作，于E，F，由可得，设面积为，得出，从而得出，最后可求得结果．【详解】（1）∵是直径，∴，∵∴，∴，∴．（2）①∵，，∴，由（1）知：，∴，∴，∴．∴与的面积相等．②过点，分别作，于E，F，

∵，∴，∵，∴．设面积为，，由（2）有，∴，∴当时，有最大值1．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定及二次函数的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2023·浙江温州·温州市第四中学校考二模）如图，在中，为直角，点O在上，以为半径的圆与相切于点E，与相交于点D，已知，，点P，Q分别在上（不与端点重合），且满足．设，．

(1)求圆O的半径．(2)求y关于x的函数表达式．(3)如图2，过点Q作于点R，连结．①当为直角三角形时，求x的值．②把线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，当落在圆O上时，直接写出的值．【答案】(1)3(2)(3)①或；②【分析】（1）如图：连接，由勾股定理可得，再证可得进而得到关于的方程求解即可；（2）由圆的性质可得，即，则；然后再根据列式化简即可；（3）①分、、三种情况，分别利用矩形的性质、解直角三角形明确线段之间的关系，然后列方程求解即可；②先说明P和重合，然后再求得、，再证可得，据此列方程可得，然后再求得，最后代入计算即可．【详解】（1）解：如图：连接∵为直角，、∴

∵以为半径的圆与相切于点E∴,∴,∴，∴,即，解得：，∴圆O的半径为3．（2）解：∵圆O的半径为3，∴，∴，∴，∵，∴，即．（3）解：①由题意易得：，当时，∵,∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，解得：；

当时，∵，∴，解得：，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，过Q作，∴，∴，即，解得：．

综上x的值为或．②由①可得：,，∴，∴，∴，P和重合，∴,，∵,，∴，解得：,即，∵落在圆O上，∴，∴，∴，∴，∴,即,解得：或2（不满足题意舍弃），∴,，∴．

【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角函数等知识点，运用三角函数表示出各线段的长并掌握分类讨论思想是解答本题的关键．3．（2023·浙江宁波·一模）如图1，中，边上的中线，延长交的外接圆于点，过点作交圆于点，延长交的延长线于点，连接．(1)若，，求和的长；(2)①求证：；②设，，求关于的函数表达式；(3)如图2，作交线段于，连接，当的面积是面积的6倍时，求的值．【答案】(1)；(2)①证明见解析；②(3)【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质