第十五章　第5课时　专题强化：理想气体的变质量问题-2025物理大一轮复习讲义人教版

第5课时专题强化：理想气体的变质量问题目标要求1.能够通过合理选择研究对象，将充气、抽气、灌装、漏气等变质量问题转化为一定质量的气体问题，培养建模能力。2.能够解决混合气体问题，培养科学思维能力。1.充气问题选择原有气体和即将充入的气体整体作为研究对象，就可把充气过程中气体质量变化问题转化为定质量气体问题。2．抽气问题选择每次抽气过程中抽出的气体和剩余气体整体作为研究对象，抽气过程可以看成质量不变的等温膨胀过程。3．灌气分装把大容器中的剩余气体和多个小容器中的气体整体作为研究对象，可将变质量问题转化为定质量问题。4．漏气问题选容器内剩余气体和漏出气体整体作为研究对象，便可使漏气过程中气体质量变化问题转化为定质量气体问题。例1(2023·广东惠州市一模)某同学自行车轮胎的参数如图所示，轮胎容积V＝3L。由于轮胎气门芯漏气，使胎内外气压相同。该同学换了气门芯后给轮胎充气，打气筒每次能将V0＝1L的空气打入轮胎中，早晨打气时气温为27℃，不计充气过程中轮胎容积和气体温度的变化，空气可看成理想气体，大气压p0＝1.0×105Pa。若中午室外气温升到37℃，要保证自行车中午放置在室外时不爆胎(即不超过胎内气压允许的最大值)，该同学早上最多能给轮胎充气多少次。答案10次解析充气过程气体温度不变，设充了n次，此时胎内气体压强为p1，选最后胎内所有气体为研究对象。根据玻意耳定律p0(V＋nV0)＝p1V室温变化后，胎内气体温度升高，在室外时不爆胎，可视为气体体积不变，根据查理定律eq\f(p1,T1)＝eq\f(pm,T2)根据题意T1＝(27＋273)K＝300K，T2＝(37＋273)K＝310K，pm＝4.50×105Pa联立解得n≈10(次)。例2(2023·湖南卷·13)汽车刹车助力装置能有效为驾驶员踩刹车省力。如图，刹车助力装置可简化为助力气室和抽气气室等部分构成，连杆AB与助力活塞固定为一体，驾驶员踩刹车时，在连杆AB上施加水平力推动液压泵实现刹车。助力气室与抽气气室用细管连接，通过抽气降低助力气室压强，利用大气压与助力气室的压强差实现刹车助力。每次抽气时，K1打开，K2闭合，抽气活塞在外力作用下从抽气气室最下端向上运动，助力气室中的气体充满抽气气室，达到两气室压强相等；然后，K1闭合，K2打开，抽气活塞向下运动，抽气气室中的全部气体从K2排出，完成一次抽气过程。已知助力气室容积为V0，初始压强等于外部大气压强p0，助力活塞横截面积为S，抽气气室的容积为V1。假设抽气过程中，助力活塞保持不动，气体可视为理想气体，温度保持不变。(1)求第1次抽气之后助力气室内的压强p1；(2)第n次抽气后，求该刹车助力装置为驾驶员省力的大小ΔF。答案(1)eq\f(p0V0,V0＋V1)(2)[1－(eq\f(V0,V0＋V1))n]p0S解析(1)以助力气室内的气体为研究对象，则初态压强p0、体积V0，第一次抽气后，压强p1、气体体积V＝V0＋V1根据玻意耳定律p0V0＝p1V，解得p1＝eq\f(p0V0,V0＋V1)(2)同理第二次抽气p1V0＝p2V解得p2＝eq\f(p1V0,V0＋V1)＝(eq\f(V0,V0＋V1))2p0以此类推……则当n次抽气后助力气室内的气体压强pn＝(eq\f(V0,V0＋V1))np0则刹车助力系统为驾驶员省力大小ΔF＝(p0－pn)S＝[1－(eq\f(V0,V0＋V1))n]p0S。例3(2023·广东广州市三模)现代瓷器的烧制通常采用电热窑炉。如图是窑炉的简图，上方有一单向排气阀，当窑内气压升高到2.4p0(p0为大气压强)时，排气阀才会开启。某次烧制过程，初始时窑内温度为27℃，窑内气体体积为V0，压强为p0。(1)求窑内温度为387℃时窑内气体的压强；(2)求窑内温度为927℃时，排出气体质量与窑内原有气体质量的比值。答案(1)2.2p0(2)eq\f(2,5)解析(1)假设窑内温度为387℃时，排气阀未开启，则气体升温过程中发生等容变化，根据查理定律有eq\f(p0,T0)＝eq\f(p1,T1)解得p1＝2.2p0<2.4p0，则假设成立；(2)设窑内气体温度为927℃，压强为2.4p0时，体积为V2，根据理想气体状态方程有eq\f(p0V0,T0)＝eq\f(2.4p0V2,T2)，解得V2＝eq\f(5V0,3)排出气体的体积为V排＝V2－V0则排出气体质量与窑内原有气体质量的比值为η＝eq\f(m排,m总)＝eq\f(V排,V2)，解得η＝eq\f(2,5)。充入气体或排出气体属于变质量问题，一般选充入后或排出前所有气体为研究对象，把变质量转化为一定质量的理想气体进行研究，从而直接应用气体实验定律列方程求解。求充入或排出气体的质量与总质量之比，也就是求充入或排出气体的体积与总体积之比。例4(2023·广西南宁三中二模)我国发射的问天实验舱包括工作舱、气闸舱、资源舱三部分。工作舱容积V工＝60m3。通过舱门A与气闸舱连接，气闸舱是供航天员进出太空的气密性装置，容积为V气＝15m3，一侧开有直径1m的圆形舱门B。初始时，工作舱与气闸舱中均有p0＝1.0×105Pa的气体，当航天员准备从气闸舱进入太空时，他们会先关闭舱门A，通过气体回收装置使气闸舱内气压降到p气＝0.7×105Pa。假设回收的气体都缓慢排放进工作舱，整个过程中气体温度不变，忽略航天员对气体的影响。求：(1)换气结束后，工作舱中的气体压强(结果保留2位有效数字)；(2)舱门B受到的压力，并为航天员能够顺利进入太空提出一条合理化建议。答案(1)1.1×105Pa(2)见解析解析(1)气闸舱抽气过程中p0V气＝p气(V气＋V抽)得抽出的气体体积V抽≈6.43m3把这部分气体充进工作舱后，求工作舱气压可由下列两种方法：方法一：转化法：先将p气＝0.7×105Pa，V抽＝6.43m3的气体转化为压强为p0、体积为V的气体。对于被抽出的气体，p气V抽＝p0V向工作舱排气过程，p0V工＋p0V＝p工V工解得p工≈1.1×105Pap工为换气结束后气体稳定后的压强。方法二：利用克拉伯龙方程：p0(V工＋V气)＝p工V工＋p气V气将p0＝1×105Pa，p气＝0.7×105PaV工＝60m3，V气＝15m3，代入得p工≈1.1×105Pa，p工为换气结束后工作舱中气体压强。(2)气闸舱剩余气体对舱门B的压力为F＝eq\f(p气πd2,4)，其中d＝1m代入数据解得F≈5.5×104N，可以再次减小气闸舱内压强后，减小开门的阻力。若混合前两部分或几部分气体压强不相等，不能直接应用气体实验定律列方程。可采取下列两种方法处理此类问题：1．转化法：应先转化为相同压强下，再将两部分气体整体作为研究对象，然后用气体实验定律或理想气体状态方程列式求解。2．利用克拉伯龙方程：把压强、体积、温度分别为p1、V1、T1，p2、V2、T2…的几部分理想气体进行混合，混合后气体的压强、体积、温度分别为p、V、T，根据eq\f(p1V1,T1)＝n1R，eq\f(p2V2,T2)＝n2R，…，eq\f(pV,T)＝(n1＋n2＋…)R，得eq\f(p1V1,T1)＋eq\f(p2V2,T2)＋…＝eq\f(pV,T)，若温度不变，可得p1V1＋p2V2＋…＝pV。例5某市医疗物资紧缺，需要从北方调用大批大钢瓶氧气(如图)，每个钢瓶内体积为40L，在北方时测得大钢瓶内氧气压强为1.2×107Pa，温度为7℃，长途运输到该市医院检测时测得大钢瓶内氧气压强为1.26×107Pa。在医院实际使用过程中，先用小钢瓶(加抽气机)缓慢分装，然后供病人使用，小钢瓶体积为10L，分装后每个小钢瓶内氧气压强为4×105Pa，分装前小钢瓶内为真空。要求大钢瓶内压强降到2×105Pa时就停止分装。不计运输过程中和分装过程中氧气的泄漏，求：(1)在该市检测时大钢瓶所处环境温度为多少摄氏度；(2)一个大钢瓶可分装多少个小钢瓶供病人使用。答案(1)21℃(2)124解析(1)大钢瓶的容积一定，从北方到该市对大钢瓶内气体，有eq\f(p1,T1)＝eq\f(p2,T2)解得T2＝294K，故t2＝21℃(2)方法一：转化法设大钢瓶内氧气由状态p2、V2等温变化为停止分装时的状态p3、V3，则p2＝1.26×107Pa，V2＝0.04m3，p3＝2×105Pa根据p2V2＝p3V3得V3＝2.52m3可用于分装小钢瓶的氧气p4＝2×105Pa，V4＝(2.52－0.04)m3＝2.48m3分装成小钢瓶的氧气p5＝4×105Pa，V5＝nV其中小钢瓶体积为V＝0.01m3根据p4V4＝p5V5得n＝124即一大钢瓶氧气可分装124个小钢瓶。方法二：利用克拉伯龙方程：p2V2＝p2′V2＋p·nV其中p2＝1.26×107Pa，V2＝0.04m3，V＝0.01m3，p＝4×104Pa，p2′＝2×105Pa，将数据代入上式得n＝124，即一大钢瓶氧气可分装124个小钢瓶。课时精练1.(2021·山东卷·4)血压仪由加压气囊、臂带、压强计等构成，如图所示。加压气囊可将外界空气充入臂带，压强计示数为臂带内气体的压强高于大气压强的数值，充气前臂带内气体压强为大气压强，体积为V；每次挤压气囊都能将60cm3的外界空气充入臂带中，经5次充气后，臂带内气体体积变为5V，压强计示数为150mmHg。已知大气压强等于750mmHg，气体温度不变。忽略细管和压强计内的气体体积。则V等于()A．30cm3B．40cm3C．50cm3D．60cm3答案D解析根据玻意耳定律可知p0V＋5p0V0＝p1×5V，已知p0＝750mmHg，V0＝60cm3，p1＝750mmHg＋150mmHg＝900mmHg代入数据整理得V＝60cm3，故选D。2．某小组制作了一个空间站核心舱模型，舱的气密性良好，将舱门关闭，此时舱内气体的温度为27℃、压强为1.0p0(p0为大气压强)，经过一段时间后，环境温度升高，舱内气体的温度变为37℃，压强为p1，此时打开舱门，缓慢放出气体，舱内气体与外界平衡，则()A．气体压强p1＝eq\f(30,31)p0B．气体压强p1＝eq\f(37,27)p0C．放出气体的质量是舱内原有气体质量的eq\f(1,30)D．放出气体的质量是舱内原有气体质量的eq\f(1,31)答案D解析由查理定律得eq\f(1.0p0,300K)＝eq\f(p1,310K)，解得p1＝eq\f(31,30)p0，故A、B错误；设核心舱体积为V，打开舱门，缓慢放出气体，舱内气体与外界平衡，此时舱内气体和放出气体的总体积为V′，由玻意耳定律有p1V＝p0V′，同温度、同压强下，同种气体的质量之比等于体积之比，有eq\f(m放,m总)＝eq\f(V′－V,V′)，解得eq\f(m放,m总)＝eq\f(1,31)，故D正确，C错误。(1)当夹层中空气的温度升至37℃，求此时夹层中空气的压强；(2)当保温杯外层出现裂隙，静置足够长时间，求夹层中增加的空气质量与原有空气质量的比值，设环境温度为27℃，大气压强为1.0×105Pa。答案(1)3.1×103Pa(2)eq\f(97,3)解析(1)由题意可知夹层中的空气发生等容变化，根据查理定律可得eq\f(p1,T1)＝eq\f(p2,T2)代入数据解得p2＝3.1×103Pa(2)当保温杯外层出现裂隙后，静置足够长时间，则夹层中空气压强和大气压强相等，设夹层体积为V，以静置后的所有空气为研究对象有p0V＝p1V1，解得V1＝eq\f(100,3)V，则夹层中增加空气的体积为ΔV＝V1－V＝eq\f(97,3)V，所以夹层中增加的空气质量与原有空气质量之比为eq\f(Δm,m)＝eq\f(ΔV,V)＝eq\f(97,3)。4.(2023·重庆八中模拟)医用氧气瓶使用十分广泛。如图是一容积为40L的氧气瓶，瓶内氧气压强p1＝1×107Pa，温度为17℃。(1)如果环境温度和瓶内氧气温度均为27℃，且氧气瓶不漏气，求氧气瓶内氧气压强p2(保留三位有效数字)；(2)在(1)的情况下，保持环境温度和瓶内氧气温度不变，使用该氧气瓶对容积为4L的小氧气瓶缓慢充气，使每个小氧气瓶内氧气压强p3＝1×106Pa，求能充满的小氧气瓶个数。答案(1)1.03×107Pa(2)93解析(1)瓶内气体进行等容变化，则由查理定律得eq\f(p1,T1)＝eq\f(p2,T2)解得p2＝eq\f(T2p1,T1)＝eq\f(300,290)×107Pa≈1.03×107Pa(2)设能充满的小氧气瓶个数为n个，则由玻意耳定律得p2V＝p3(V＋nV0)其中V＝40L，V0＝4L，p3＝1×106Pa解得n≈93。5.(2023·辽宁抚顺市二模)如图所示，导热良好的密闭容器内封闭有压强为p0的空气，现用抽气筒缓慢从容器底部的阀门处(只出不进)抽气两次。已知抽气筒每次抽出空气的体积为容器容积的eq\f(1,5)，空气可视为理想气体，则容器内剩余空气和抽出空气的质量之比为()A.eq\f(11,25)B.eq\f(14,25)C.eq\f(25,14)D.eq\f(25,11)答案D解析设容器的容积为V0，则每次抽出空气的体积为eq\f(V0,5)，设第一次抽气后容器内剩余空气的压强为p1，假设将容器内剩余气体等温压缩到压强为p0时的体积为V，根据玻意耳定律，第一次抽气，有p0V0＝p1(V0＋eq\f(1,5)V0)第二次抽气，有p1V0＝p(V0＋eq\f(1,5)V0)剩余气体pV0＝p0V容器内剩余空气和抽出空气的质量之比为k＝eq\f(V,V0－V)，解得k＝eq\f(25,11)，故选D。6．(2024·广东省模拟)玉龙雪山是国家级旅游景区，高山雪景位于海拔4000m以上，由于海拔较高，景区通常为游客备有氧气瓶。假设景区用体积为V＝30L、温度为t1＝27℃、压强为p＝4×106Pa的氧气瓶对便携式氧气瓶充气，便携式氧气瓶的容积为V0＝1.5L，设定充满时压强为p0＝2×105Pa。已知热力学温度T与摄氏温度t的关系为T＝t＋273K，瓶内的气体均可视为理想气体。(1)求在27℃的环境下，景区的氧气瓶能充满多少个便携式氧气瓶(假设充气前便携式氧气瓶均为真空)。(2)如果将景区的氧气瓶移至玉龙雪山上，已知山上的温度为t2＝2℃，瓶中的压强变为原来的eq\f(2,3)，请通过计算分析该氧气瓶是否泄漏了氧气。若泄漏了，求瓶中剩余的氧气占原来氧气的百分比(结果保留2位有效数字)。答案(1)380个(2)见解析解析(1)如果景区的氧气瓶中的氧气压强变为p0＝2×105Pa时，氧气的体积为V1，由玻意耳定律得pV＝p0V1，代入数据得V1＝600L在该状态下放出的氧气体积为ΔV＝V1－V＝570L则能充满便携式氧气瓶的个数为N＝eq\f(ΔV,V0)＝380(2)将氧气瓶移至玉龙雪山上时，氧气的压强变为p2＝eq\f(2,3)p，由理想气体状态方程有eq\f(pV,T1)＝eq\f(p2V2,T2)又T1＝t1＋273K＝300KT2＝t2＋273K＝275K代入数据解得V2＝41.25L因为V2>V，所以氧气瓶有氧气泄漏，瓶中剩余的氧气占原来氧气的百分比为η＝eq\f(V,V2)×100%≈73%。7．(2023·福建省厦门一中期中)自行车小巧方便，利用率很高。胎内气压一般维持在2.5×105～3.0×105Pa比较安全，胎压过低会损坏车胎，胎压过高会引起爆胎。夏天，一自行车由于气门芯老化，发生了漏气，漏气前胎压为2.5×105Pa，漏气后的胎压为1.5×105Pa，发现后赶紧用打气筒给车胎打气，车胎的内胎容积为V＝2.0L，打气筒每打一次可打入压强为p0＝1.0×105Pa的空气V0＝0.1L，车胎因膨胀而增加的体积可以忽略不计。夏天室内温度为t1＝27℃，中午烈日暴晒时室外温度可高达t2＝37℃。求：(1)车胎漏气前后胎内气体的质量比(假设漏气前后车胎内气体温度不变)；(2)当车胎内压强超过pm＝3.1×105Pa时就容易发生爆胎事故，夏季在室内给车胎打气时，用打气筒最多可以打多少次，才能保证在室外骑自行车不发生爆胎(注：打气前胎内压强为1.5×105Pa)。答案(1)5∶3(2)30次解析(1)将漏气前胎内气体换算为压强为1.5×105Pa的气体，设换算后体积为V总，根据玻意耳定律得p前V＝p后V总，所以漏气前与漏气后的质量比为m前∶m后＝V总∶V，解得m前∶m后＝5∶3(2)设最多可以打n次，根据克拉伯龙方程得eq\f(p后V,T1)＋eq\f(np0V0,T1)＝eq\f(pmV,T2)，代入数据得n＝30次。8．(2023·陕西西安市一模)某同学设计了一款火灾报警器，如图，导热良好的金属汽缸A放置在容易发生火灾的危险处，平时A中储存有体积为V0、压强为2p0、温度为室温T0的理想气体，A与另一导