高中数学选修2-3《离散型随机变量》复习

相互独立事件同时发生的概率

、明确复灯目标

1.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.

2.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生K次的概率.

二，建构扣福网辂

1.相互独立事件：事件A(或3)是否发生对事件8(或A)发生的概率没有影响，

这样的两个事件叫做相互独立事件.

若A与3是相互独立事件，则A与豆，可与8,,与否也相互独立.

3.相互独立事件同时发生的概率：P(45)=P(A)-P(B)

事件事,…,4相互独立,P(A4…-4)=P(A)•P(4)…“P(4)

2.互斥事件与相互独立事件是有区别的：

互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系，但而互斥的两个事件是一次实验

中的两个事件，相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别。

如果A、B相互独立，则P(A+B)=P(A)+P(8)-p(A-B)

如：某人射击一次命中的概率是0.9,射击两次，互不影响，至少命中一次的概率是

0.9+0.9-0.9X0.9=0.99,(也即1-0.1X0.1=0.99)

4.独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验.

6.独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独

立重复试验中这个事稻殍爰星K次的概率:匕(k)=C；P”(l-尸产.

nnnn

k=n时，即在n次独立重复试验中事件A全即名:等概率为Pn(>=Cnp(l-p)°=p

0n

k=O时，即在n次独立重复试验中事件A没有々:生，概率为P^^=Cn°p(l-p)=(l-pr

三、秋基耍目在秣不

1.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为』，视力合格的概率为

3

其他几项标准合格的概率为J,从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为(假设

65

三项标准互不影响)()

4Di

2(2005天津)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击，此人至少有两次击中目标的

概率为()

8154一3627

A.——B.---c.-----D.——

125125125125

3.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是pi，乙解决这个问题的概率

是P2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是

A.P1P2B.pi(1—P2)+P2(1—Pl)

C.l-P1P2D.l—(1—P1)(1—P2)

4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现

发热反应的概率为.(精确到0.01)

5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为,，乙生解出它的概率为工，丙生解出它的

23

概率为1,由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为_______.

4

6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事

件是相互独立的，并且概率都是L那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概

3

率是.

篦答：1-3.CAB;4.0.94;5.P=-X-X-+1xlx-+1X-xl=—.

23423423424

1114

6.P=(1——)(1——)X—=——.

33327

经典例题做一做

【例1】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为工，乙每次击中目标的

2

2

概率为―,求：

3

(I)甲恰好击中目标2次的概率；

(II)乙至少击中目标2次的概率；

(III)乙恰好比甲多击中目标2次的概率.

解：⑴甲恰好击中目标2次的概率为C；(—>=一.

28

(ID乙至少击中目标2次的概率为C；(g)2.g+C；(g)3=1^.

(Ill)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A,乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标

0次为事件Bi,乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2,则A=BI+B2,BI,

B2为互斥事件.

P(A)=P(Bi)+P(B)

一守.沁白2+联齐喝)上

所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为

6

【例2】甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋

装有2个红球，n个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球.

(])若n=3,求取到的4个球全是红球的概率；

3

(II)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为一，求n.

解：(I)记“取到的4个球全是红球”为事件A.

CjC2_11_1

P(A),^-610-60

(II)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件5取到的4个球只有1个红球”

为事件用，“取到的4个球全是白球”为事件人.

由题意，得

31

尸Mi亍7

p(8)=2互+G.呢=—_

1C；%c；C，3(〃+2)(〃+1)

c2C2

官式所以

2n2n(n-l)

尸(5)=尸(BJ+尸(鸟)=

3(n+2)(n+l)6(〃+2)(〃+1)4

化简，得7〃2一11〃-6=0,

3

解得〃=2,或〃=——(舍去)，故n=2.

7

梃炼总精。名帅

1.正确理解概念，能准确判断是否相互独立事件，只有对于相互独立事件A与8来说，才

能运用公式P(A•B)=P(A)•P(B).

2.对于复杂的事件要能将其分解为互斥事件的和或独立事件的积，或先计算对立事件.

3.善于发现或将问题化为n次独立重复试验问题，进而计算发生k次的概率.

离散型随机变量的分布列

一、明确复酎目标

了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列

二，毫构为职网珞

随机变量：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量的随机变量，记作5

若£是随机变量，n=aS+b,其中是常数，则n也是随机变量.如出租车里程与收费.

2.离散型随机变量：随机变量可能取的值，可以按一定顺序一一列出

连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。

离散型随机变量的研究内容：随机变量取什么值、取这些值的多与少、所取值的平均值、

稳定性等。

⑴离散型随机变量的分布列的两个性质：

①P(S=Xi)=Pi20;②P1+P2+……=1

⑵求分布列的方法步骤：

①确定随机变量的所有取值；②计算每个取值的概率并列表。

4.二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数自是一个随机变量，其所有

可能取的值为0，1,2,3,n,并且P(£=k)=Cnkpkq»k(其中k=0,l,2,...,n,p+q=D，即分布

列为

01kn

1k

cn0CnCnCn

P°qnpiqmipkqiknpnq°

称这样的随机变量自服从参数为n和p的二项分布，记作：J~B(n,p).

5.几何分布：如：某射击手击中目标的概率为p,则从射击开始到击中目标所需次数自的

三、以基殿目称秣f

1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的

条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量S，则<所有可能取值的个数是

()

A.5B.9C.10D.25

2.已知随机变量f的分布列为P(f=k)=二，k=l,2,…，则P(2<笈4)等于

2k

“31-1-

A.—Bn.-C.—D.一

164165

3.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，

直到红球出现10次时停止，设停止时共取了f次球，则P(f=12)等于

A.C；?(2)io.(^)2B.C「(之)9(2)2.3

88888

C.C?.(-)9-(-)D.C；|

88

4.设随机变量f〜8(2,p),n-B(4,

5.现有一大批种子，其中优质良种占30%,从中任取5粒，记f为5粒中的优质良种粒

数，则f的分布列是.

简答;\-3.BAB;3.第12次为红球，前11次中9次红球，P(&12)=C1­(-)

8

545

(-)2X-;4.P(良1)=1~P(f<l)=l-c?p0-(1-p)2=-,

889

：.p=~,p(q>i)=I-P30)=i-c：(1)0(-)4=1-3=竺答竺.

333818181

5.f〜B(5,03),f的分布列是P(f=k)=C：03ko75%k=0,1,5

答案：P(f=k)=C^03k075"*,k=0,1.......5

经再倒耍做一做

3

【例1】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为士，且各次射击的结果

互不影响。

(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；

(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；

(3)设随机变量《表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求，的分布列.

解(1)：记“射手射击1次，击中目标”为事件A,则在3次射击中至少有两次连续

击中目标的概率

F]=P(A-A-A)+P(A-A-A)+P(AA-A)

33223333363

=-X—X-----1-----X—X------1-----X—X—=--------

555555555125

(II)解：射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率

(III)解:由题设，“£=k”的概率为

373

2k3

P^=k)=Ck^x(-)x(-)-x-

=G/X(2产X(3)3(AwN*且223)

所以，J的分布列为:

1：56

【例2］已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品。需要从中取出2个正品，每

次从中取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设《为取出的次数，求£的分布

列及E£。

o7OR

解：p(^=2)=—x-=—；

10945

c、82728714

P(c=3)=——x—x—H--x—x—=—；

1098109815

“八,28141

P(4=4)=1-------=—。

454515

《的分布列表略----

22

Ej=2xPe=2)+3xPe=3)+4xPC=4)="^。

提炼总秸指名帅

1.会根据实际问题用随机变量正确表示某些随机试验的结果与随机事件;

2.熟练应用分布列的两个基本性质；

3.能熟练运用二项分布计算有关随机事件的概率。

4.求离散型随机变量的分布列的步骤：

①首先确定随机变量的取值，明确每个值的意义；

②利用概率及排列组合知识，求出每个取值的概率；

③按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证

离散型随机变量的期望与方差

一、阚确复打目标

了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望

值、方差.

二，毫构知福网珞

1.平均数及计算方法

-1

⑴对于“个数据X1，X2,…，Xn，x=-(Xi+X2+—+Xn)叫做这〃个数据的平均数，

n

(2)当数据X1，X2,…，Xn的数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数。，得到

XI'=X1-GF,X2f二必一0，・••,Xn=XLCl,那么,X=Xf+O.

⑶如果在八个数据中，X1出现/1次，X2出现力次，…，Xk出现九次(/1+%+…+赤=打)，那

么彘4力+三力+…+X",叫加权平均数

n

2.方差及计算方法

⑴对于一组数据Xl，X2，…，X",

[一一一

2

S2=—[(X1—X)2+(X2-X)2+…+(x-'X)]

nn

叫做这组数据的方差，而5叫做标准差.

1-_

1

(2)方差公式:s--[(Xi2+X22+,e,+Xn2)—nx2]

n

(3)当数据M，X2,…，尤中各值较大时，可将各数据减去一个适当的常数。，得到XI,

=xi~a,X2'=x?-a，•••,xn'=xn~a

贝代2=_1[(X/2+X2Z2+…+x/2)—“下]

n

3.随机变量的数学期望：一般地，若离散型随机变量f的概率分布为

・・・

XiX2Xn•••

.・・…

pPlP2Pn

则称Ef=xwi+x2P2+・・・・・・+X4…为f的数学期望，简称期望.也叫平均数，均值.

⑴数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水

(2)期望的一个性质:E(aS+b)=aE£+b

(3)求期望的方法步骤：①确定随机变量的所有取值；

②计算第个取值的概率并列表；③由期望公式计算期望值。

22

4.方差:D^=(x1-E()pi+(X2-E^p2+...+(xn-E^2pn+...

(1)标准差:线的算术平方根四叫做随机变量f的标准差，记作bj

⑵方差的性质：D麻+b)=a2DS;Df=E(乃卜附尸

(3)方差的求法步骤：

①求分布列；②求期望；③由公式计算方差.

随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程

度。

5.会用求和符号2：如(为一Ef)2p〃

r=l1=1

6.二项分布的期望和方差：若S~B(n,p),则华np,=np(l-p)

7.几何分布的期望和方差：若f服从几何分布g(k,p)=qk-p,则

心=一，D4=T

pP'

证明:瑟=l-p+2p(l_p)+3p(l_p)2+…+切…

令Sn=l-p+2p(l-p)d—+np(l

(1-p)S„=lp(l-p)+.••+(H-l)p(l-p)"-]+np(,l-p)"

Sn-(1-p)5„=p+p(l-p)+.••+p(l-p)"-'-np(l-p)"

pS=p--np(\-y=1-(1-py-np(y-y

nI一宇/咳pP

E<=limSn=-，"=E©2)—(四)2=F

〃Tcopp~

三、以及观目栋炼手

L在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：

9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方

差分别为()

A.9.4,0.484B.9.4,0.016C.9.5,0.04D.9.5,0.016

2.设导弹发射的事故率为0.01,若发射10次，其出事故的次数为f,则下列结论正确

的是()

A.Ef=O.OOIB.Df=0.099

k10k10-/t

C.P(f=k)=0.01-0.99D.P(f=k)=cfo-O.99k-0.01

3.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹，命中

后的剩余子弹数目f的期望为

A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4

4.一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标

以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是。

5.设离散型随机变量f可能取的值为1,2,3,4.P(S=k)=ak+b(k=l,2,3,4),又f

的数学期望Ef=3,则a+b=

6.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量黄、已知£&=£&,Db>DG，

则自动包装机的质量较好.

7.若随机变量A在一次试验中发生的概率为p用随机变量f表示A在1次试

验中发生的次数，则出二!.的最大值为

塔-----------

解：随机变量f的所有可能取值为0,1,并且有P(f=l)=p,P(<=0)=1-P，从

而Ef=0X(1—p)+lXp=p,DS=(0~p)2X(l~p)+(1—p)2Xp=p—p2.

也3=2(p")-]=2_(2p+1)W2-2拉

EJpp

当且仅当2p=,，即p=Jl时，幺笔二1取得最大值2—2五.

P2E&

♦统：1-3.DBC;

3.P(<=0)=0.43,p(0)=0.6x0.42,P(f=2)=0.6x04P(f=3)=0.6,Ef=2.376;

4.i;5+b)+(2a+力+(3a+b)+(4a+/?)=1

9[(a+b)+2(2。+/?)+3(3。+0)+4(4〃+Z?)=3

得ci=—,=0,***a+b=—.

1010

6.包装的重量的平均水平一样，甲机包装重量的差别大，不稳定，答案：乙

经典例敢做一做

【例1】(1)一枚骰子的六个面上标有1、2、3、4、5、6,投掷一次，向上面的点数为

f,求Ef、E(2f+3)和Df。

(2)若随机变量f的分布列为P(f=k)=-(k=l,2,3,…，n),求Ef和Df。

n

⑶一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，

每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150分，某学生选对每一道题的概率为0.7,

求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。

国军：(l)Ef=XiPi+x2P2+X3P3+…+X6P6=lx—+2x—+3x—+…+6x—=3.5

6666

E(2f+3)=2E*3=10

Df=(Xi-E[2pi+(X2-E02P2+.・.+(X6-E02P6

=-[(1-3.5产+(2-3.5)2+-(6-3.5)2]=17.5X-=2.92

66

1几十1

(2)E^-(l+2+...+n)=--

n2

Df=E3(E92=_L(n2-i)

n

⑶设f为该生选对试题个数，n为成绩。则1〜B(50,0.7),n=3f

Ef=50x0.7=35；Df=50x0.7x0.3=10.5

故Er)=E(39=3Ef=105

Dr)=D(3Q=9Df=94.5

【例2】(2006年安徽)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种

不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂，现有芳香

度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据试验设计学原理，通常首先要随

机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用f表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之

和，

I23

E^=(l+2+8+9)x—+(3+4+6+7)x—+5x—=5.

梃炼总给“为帅

1.离散型随机变量的期望和方差的意义.

2.求期望与方差,首先应先求出分布列，再代公式求期望与方差.

3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：

4.二项分布的期望与方差：若《〜B(n,p),则£f=np,D《=np(1—p).

lz

--月二月三月

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