正余弦函数的性质二单调性与最值（导学版）人教版数学必修一

人教版高中数学必修1第五章三角函数5.4.3-正弦函数、余弦函数的性质二：单调性与最值授课：张丹老师[慕联教育同步课程导学篇]课程编号：TS2007010302RB1050403ZD（A）学习目标了解y＝sinx，y＝cosx的单调性，会利用单调性比较大小112理解y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，会求简单三角函数的值域和最值会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间13由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间（如）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域．

如图当由增大到时，曲线逐渐上升，的值由-1增大到1；当由增大到时，曲线逐渐下降，的值由1减小到-1．

狓－π２

０

π２

π

３π２ｓｉｎ狓－１

０

１

０

－１狓－π２

０

π２

π

３π２ｓｉｎ狓－１

０

１

０

－１

的值的变化情况表：

狓－π２

０

π２

π

３π２ｓｉｎ狓－１

０

１

０

－１狓－π２

０

π２

π

３π２ｓｉｎ狓－１

０

１

０

－１

这就是说，

正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.由正弦函数的周期性可得，

正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；

正弦函数在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1．

单调性

类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表

由此可得，

函数在区间________

上单调递增，其值从-1增大到1；在区间_____________上单调递减，其值从1减小到-1．

由余弦函数的周期性可得，

余弦函数在每一个闭区间______________________上单调递增，其值从-1增大到1；

余弦函数在每一个闭区间______________________上单调递减，其值从1减小到-1．

y1o-1-ππy=cosx4.最大值与最小值从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，

正弦函数当且仅当________________时取得最大值1，当且仅当______________时取得最小值-1；

余弦函数当且仅当___________时取得最大值1，当且仅当_______________时取得最小值-1.

例3下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值．

解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.

(1)使函数取得最大值的的集合，就是使函数取得最大值的的集合

使函数取得最小值的的集合，就是使它取得最小值的的集合

函数的最大值是1+1=2；最小值-1+1=0.(2)令，使函数取得最大值的的集合，是使取最小值的的集合

由

得

所以，使函数

取得最大值的的集合

同理，使函数取得最小值的的集合是函数的最大值是3，最小值是-3.

例4不通过求值，比较下列各组数的大小：

解：（1）因为

在区间上单调递增，所以

（2）

因为，且函数在区间上单调递减，所以

即

例5求函数的单调递增区间．

解：令则

因为的单调递增区间是且由

得

所以，函数的单调递增区间是

巩固练习练习1课堂小结结合图象，理解三角函数的单调性，会求三角函数的单调区间和最值.112比较三角函