8.6.1直线与直线垂直-高一数学下学期课件检测卷(人教A版2019必修第二册)

8.6.1直线与直线垂直定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.等角定理EE1ABCA1B1C1DD11.回顾如图，在正方体中，直线与直线AB，直线与直线AB都是异面直线，直线与相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？一条直线相对于另一条直线的倾斜程度不同用角度来表示这种差异

在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90°的角称为它们的夹角,如图.O思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找出这个夹角？如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a，b的平行线a′和b′，abPa′b′O

则这两条线所成的锐角θ(或直角)，θ

称为异面直线a，b所成的角(或夹角)。Oa′若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。异面直线a与b垂直也记作a⊥bθ的取值范围：

θ∈(0°,90°]2.两条异面直线所成的角例1如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.求直线BA′与CC′所成的角大小;求直线BA′与AC所成的角大小;(3)求直线BA′与DC′所成的角大小;(4)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？45°60°90°下底面有：AB，AD，BC，CD，上底面有：A′B′，A′D′，B′C′，C′D′，两条直线所成的角具有平移不变性例2长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值.解法一（平移法）：∠AOM(或补角)是直线A1C1与BD1所成的角。∴直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为

.解法二（补形法）：∠A1C1E(或补角)是直线A1C1与BD1所成的角。ABCDA1B1C1D1OMABCDA1B1C1D1EFE1F11221.如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：同步检测(1)BE与CG所成的角；解∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.(2)FO与BD所成的角.解连接FH，∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，FB∥HD，∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角为30°.反思感悟求两异面直线所成角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.(2)证：证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.2.

如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝

，AE＝2.(1)求直线BC和EG所成的角；解连接AC(图略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角.∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，∴直线BC和EG所成的角是45°.(2)求直线AE和BG所成的角.解∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角.∴∠FBG＝60°，∴直线AE和BG所成的角是60°.3.

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.证明如图，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1D1綉BC，∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，连接AC，AD1，易证AC＝AD1，又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.反思感悟要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直.4.

如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.证明取CC′的中点F，连EF，BF，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF∵E为AC的中点，F为CC′的中点，在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.5.垂直于同一条直线的两条直线一定A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能√6.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是A.SB B.SC

C.BC D.AB√7.在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是A.相交 B.异面

C.平行 D.垂直√解析如图，在正方体AC1中，∵A1B∥D1C，∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交.8.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________.60°解析依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.9.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为_______.60°解析连接BC1，AD1，∵MN∥BC1∥AD1，∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的