四川孰眉二中2025届高三数学适应性考试试题理含解析

PAGE20-四川省峨眉二中2025届高三数学适应性考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，故选D.考点：集合的运算.2.设i是虚数单位，则复数（）A.-i B.-3i C.i D.3i【答案】C【解析】，选C.考点：复数的基本运算.3.若向量，，则等于()A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以，故选C.4.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，数列满意，，，假如以和分别为长和宽得到一个矩形，其长宽之比等于1.618时，就把这个矩形定义为黄金矩形，那么时，最接近黄金矩形的n的值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】从到依次列出和的值，求其比值，找最接近的即可.【详解】解：123451123512358比值121.51.66666671.6由表中看出，，最接近1.618，故选：D【点睛】考查递推数列的应用，是基础题.5.已知，则的值为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和三角函数基本关系式，求得，结合两角和的正切公式，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，因为，可得，所以，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及两角和的正切函数的应用，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和两角和公式，精确运算是解答问题的实力.6.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，在右侧的射影是正方形的对角线，在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选B．考点：简洁空间图形的三视图．7.用列表法将函数表示为如图所示，则（）A.为奇函数 B.为偶函数C.为奇函数 D.为偶函数【答案】A【解析】【分析】依据平移关系，得到函数与过的点，推断函数的奇偶性.【详解】向左平移2个单位得到，所以过的点是，，，三个点关于原点对称，所以是奇函数；向右平移2个单位得到，所以过的点是，，，可知函数的三点即不关于原点对称，也不关于轴对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.故选A【点睛】本题考查依据函数过的点，推断函数的奇偶性，属于基础题型.8.已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.71828…)，则f(x)的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特别值代入，可解除A、D,依据导数推断函数的单调性可解除B，即可得出结果.【详解】函数，当时，，故解除A、D，又，当时，，所以在为减函数，故解除B,故选：C.【点睛】本题考查函数图象、利用导数探讨函数的单调性，识别函数图象问题，往往可依据特别值或特别自变量所在区间利用解除法解答，属于中档题.9.设随机变量听从正态分布，函数没有零点的概率是，则等于（）A.1 B.2 C.4 D.不能确定【答案】C【解析】【分析】由二次函数性质，可得，再依据正态曲线的对称性，即可求解.【详解】由题意，当函数没有零点时，，解得，依据正态曲线的对称性，当函数没有零点的概率是时，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了正态分布的概率的计算，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查推理与运算实力，属于中档试题.10.已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（）A. B.1 C.3 D.5【答案】D【解析】【分析】由于两曲线与在公共点处的切线相同，设公共点，则，列方程组可求出的值【详解】解：依题意设曲线与在公共点处的切线相同.∵，∴，∴，即∵∴，故选：D【点睛】此题考查导数的几何意义，考查计算实力，属于基础题.11.已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得双曲线的方程的渐近线方程，求得圆的圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a2=2b2，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣6x+5=0即为（x﹣3）2+y2=4，圆心为（3，0），半径为2，圆心到渐近线的距离为d=，由弦长公式可得2=2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，则e==．故选：．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算实力，属于中档题．12.已知函数对随意的满意（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用函数导数推断函数的单调性，将代入函数，依据单调性选出正确的选项.【详解】构造函数，依题意，故函数在定义域上为增函数，由得，即，解除A选项.由得，即，解除B选项.由得，即，解除C，选项.由得，即，D选项正确，故选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若的绽开式中第三项的系数等于6，则______.【答案】12【解析】【分析】先求出二项式绽开式的通项，第三项为，依据其系数为6，建立方程从而求出n即可.【详解】二项式绽开式的通项为：，第三项为，其系数为，故有：，解之得：或（舍去）.故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理，侧重考查对基础学问的理解和驾驭，考查计算实力，属于常考题.14.已知函数x，y满意，则的最小值为_____________．【答案】1【解析】【分析】作出约束条件所表示的可行域，利用两点间的距离的几何意义，即可得到答案.【详解】由线性约束条件画出线性区域，其限行区域（阴影部分）的边界及内部，由于的几何意义是可行域中的点与原点的距离；由图形知点B与原点O的距离最小，联立方程得，因此的最小值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值，考查数形结合思想，考查运算求解实力，属于基础题．15.若抛物线（）上随意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】设点（）为抛物线上的随意一点，结合题设条件利用抛物线的定义和性质可得出，进而得出p的取值范围.【详解】设点（）为抛物线上的随意一点，由题意可得：，所以有，解之得.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的应用，侧重考查对基础学问的理解和驾驭，考查计算实力，属于常考题.16.在棱长为1的正方体中，，在面中取一个点F，使最小，则这个最小值为______.【答案】【解析】【分析】将正方体补全成长方体，点关于面的对称点为，连接交平面于点F，使最小，其最小值就是，再连接，，然后在中计算即可.【详解】将正方体补全成长方体，点关于面的对称点为，连接交平面于一点，即为所求点F，使最小，其最小值就是，连接，，计算可得，，，所以为直角三角形，又，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查空间想象实力和逻辑思维实力，考查计算实力，属于常考题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23为选考题，考生依据要求作答.17.数列的前n项和为，且求：（1）的值及数列的通项公式；（2）值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）先求得的值，猜想出数列的通项公式，在利用数学归纳法证明.（2）利用等比数列前项和公式，求得的值.【详解】（1）由于，当时，.当时，.当时，.猜想①.下面用数学归纳法进行证明：由上述分析可知，当时，①式符合.假设当时，①式符合，则.当时，，①式符合.综上所述，当时，都有.所以数列的通项公式是.（2）由（1）可知数列是首项为，公比为的等比数列，其前项和.【点睛】本小题主要考查数学归纳法，考查等比数列前项和，属于中档题.18.在四棱锥中,底面为菱形，.(1)证明:；(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：(1)先证明，即，又；（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到二面角的余弦值.详解：证明：（1）取中点为，连结，D，底面为菱形，且为等边三角形，，平面，平面∴.（2）设，为中点，，.以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，相关各点的坐标为，，，.设的法向量为得令得，即，设二面角的平面为，由图可知，为钝角，则.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）视察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）依据定理结论求出相应的角和距离.19.“地摊经济”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业主动响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（，2，3，4，5，6），如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）q8483807568已知，，（1）试求q，若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回来方程；（2）用表示用（1）中所求的线性回来方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的肯定值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望.（参考公式：线性回来方程中，的最小二乘估计分别为，）【答案】（1），；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）由，可求q，利用结合表中数据求出，再利用回来直线过样本中心点求出，从而求出回来直线方程.（2）依据（1）中的线性回来方程求出满意题意的“好数据”个数，从而可得的全部可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布求出分布列，由分布列即可求出期望.【详解】（1），即，求得.

，，所以所求的线性回来方程为.（2）利用（1）中所求的线性回来方程可得：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.与销售数据对比可知满意（，2，…，6）的共有3个“好数据”：、、.于是的全部可能取值为0，1，2，3.；；；，∴的分布列为：0123P于是.【点睛】本题考查了最小二乘法求回来直线方程、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了考生的运算求解实力，属于基础题.20.已知椭圆E：(a＞b＞0)的离心率为，点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】(1)由题意得解得，故椭圆的方程为.(2)设直线的方程为，代入方程，消去，得，所以，因为，所以，解得或，经检验，满意题意，所以直线斜率的取值范围是或.21.已知函数.（Ⅰ）推断函数的单调性；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ）在和上都是增函数（Ⅱ）证明见解析【解析】【试题分析】（1）先对题设条件中函数解析式进行求导，再构造函数对所求得的导函数的值的符号进行判定；（2）先构造函数，再对其求导得到，求出导函数的零点，得到最小值为0，从而证得然后借助函数的单调性，分、、三种情形进行分析推证，使得不等式获证．解：（Ⅰ）由已知的定义域为，,设，则，得，∴在上是减函数，在上是增函数，∴∴在和上都是增函数.（Ⅱ）设，则，得，∴在上是减函数，在上是增函数，∴，即.①当时，，∵在上是增函数，∴，即，∴.②当时，，∵在上增函数，∴，即，∴.③当时，由①②③可知，对一切，有，即.点睛：记得本题的第一问时，先对题设条件中函数解析式进行求导，再构造函数对所求得的导函数的值的符号进行判定，从而得出函数在和上都是增函数；解答其次问时，先构造函数，再对其求导得到，求出导函数的零点，得到最小值为0，从而证得然后借助函数的单调性，分、、三种情形进行分析推证，从而使得不等式获证．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.假如多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标中，圆，圆．(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求圆的公共弦的参数方程．【答案】（1）圆C1、C2的极坐标方程分别为：，，（2）,.【解析】试题分析：（1）利用进行互化即可；（2）由两圆的公共点求出公共弦的一般方程，再利用直线的点与倾斜角得到参数方程．解题思路:曲线的一般方程、参数方程、极坐标方程的互化，往往要利用或合理选参进行求解．试题解析：（1）依据公式：圆C1、C2的极坐标方程分别为：，联立：解得：∴圆C1与圆C2的交点极坐标分别为：（2）把（1）中两圆交点极坐标化为直角坐标，得：∴此两圆公共弦的一般方程为：∴此弦所在直线过（1，0）点，倾斜角为90°∴所求两圆的公共弦的参数方程为：考点：1．曲线的参数方程、极坐标方程、一般方程的互化；2．两圆的公共弦．23.（1）已知不等式的解集为M，若a，，试比较与的