湖南省怀化市新博览联考2025届高三数学上学期期中试题

PAGEPAGE10湖南省怀化市新博览联考2025届高三数学上学期期中试题时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集，，，则（）A．B．C．D．2．已知某次数学考试的成果听从正态分布，则114分以上的成果所占的百分比为（附：，，）（）A．0.3%B．0.23%C．1.3%D．0.13%3．设是等差数列的前n项和，若，则（）A．2B．C．D．4．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国闻名数学家张遂在编制《大衍历》中独创了一种二次不等距插值算法：若函数在处的函数值分别为，则在区间上可以用二次函数来近似代替：，其中．若令，请依据上述算法，估算的值是（）A．B．C．D．5．记单调递增的等比数列的前n项和为，若，则（）A．B．C．D．6．设抛物线的焦点为F，抛物线C与圆交于M，N两点．若，则的面积为（）A．B．C．D．7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（）A．B．C．D．8．点F是双曲线的右焦点，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．函数的定义域为，且与都为偶函数，则（）A．为偶函数B．为偶函数C．为奇函数D．为周期函数10．已知正方体的棱长为1，E，F，G分别是的中点．下列命题正确的是（）A．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形B．P在直线上运动时，C．Q在直线上运动时，三棱锥的体积不变D．M是正方体的面内到点D和距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段11．定义表示大于x的最小整数，例如，则下列命题中正确的是（）A．函数的值域是B．若数列是等差数列，则数列也是等差数列C．若数列是等比数列，则数列也是等比数列D．若，则方程有2024个根12．关于函数，下列推断正确的是（）A．是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数k，使得成立D．对随意两个正实数，且，若，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若的绽开式中的常数项为，则______．14．在中，，若点M满意，则______．15．数列的前n项和是，若，则______．16．如图所示，在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图所示，在四边形中，．（1）求边的长及的值；（2）若记，求的值．18．（本小题满分12分）设正项数列的前n项和为，且，当时，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满意，求的前n项和．19．（本小题满分12分）如图所示，在几何体中，，四边形为矩形，平面平面．（1）求证：平面平面；（2）点M在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．20．（本小题满分12分）如图所示，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，的最大值为M，的最小值为m，满意．（1）若线段垂直于x轴时，，求椭圆的方程；（2）线段的中点为G，的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点，记的面积为，的面积为，求的取值范围．21．（本小题满分12分）2024年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培育全民阅读习惯，提高全民阅读实力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读状况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X听从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差．（ⅰ）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．利用直方图得到的正态分布，求；（ⅱ）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若，则．22．（本小题满分12分）已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．2024年下学期怀化市新博览高三期中大联考数学试卷参考答案1．A2．D3．A4．C5．C6．B7．B8．C9．ABD10．BCD11．AD12．BD13．14．15．134716．17．解析：（1）在中，，，∴，2分在中，，∴，∴．5分（2）又（1）知，∴，8分∴．10分18．解析：（1）正项数列的前n项和为，且，当时，，得，因为，所以是以为首项，公差为1的等差数列，所以，则有，当时，，且也适合，故数列的通项公式为．6分（2）①当时，得，所以；当时，由①，得②，得，则有，可得数列的通项公式为所以当时，；当时，，当时，（符合上式），故．12分19．解析：（1）在四边形中，∵，∴，∴，∴，∴．2分∵四边形为矩形，∴平面，∵平面平面，平面平面平面，∴平面．又∵平面，∴平面平面．5分（2）由（1）知可建立分别以直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示，令，则，∴．6分设为平面的法向量，由得取，则．8分∵是平面的一个法向量，∴．10分∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值，∴．12分20．解析：（1）设，由椭圆性质得，而，∴有，即，又且，得，椭圆的方程为．4分（2）由（1）可知，椭圆的方程为．由题意知直线的斜率肯定存在不为零，设直线的方程为，则由，∴，∴．∵，，∴．由与相像得，范围为．12分21．解析：（1），2分．4分（2）（ⅰ）由题知，∴．．5分．7分（ⅱ）由（ⅰ）知，8分可得，10分Z的数学期望．12分22．解析：（1），，所求切线方程为．4分（2）令，，①当时，时，；2时，，∴在上是减函数，在上