安徽省合肥市六校联盟2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题含解析

PAGEPAGE19安徽省合肥市六校联盟2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．若复数为纯虚数，则a的值为（）A．2 B． C．1 D．02．已知向量，，．若，则实数λ＝（）A．2 B．1 C． D．3．下列说法正确的是（）A．多面体至少有3个面 B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C．各侧面都是正方形的四棱柱肯定是正方体 D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形4．如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是（）A．①④ B．②④ C．③④ D．②③5．国际竞赛足球的半径应当在10.8～11.3cm之间，球的圆周不得多于71cm或少于68cm．球的重量，在竞赛起先时不得多于453g或少于396g．充气后其压力应等于0.6～1.1个大气压力（海平面上），即等于600～1100g/cm，将一个表面积为484πcm2的足球用一个正方体盒子装起来，则这个正方体盒子的最小体积为（）A．121cm3 B．484cm3 C．1331cm3 D．10648cm36．下列说法不正确的是（）A．一个人打靶时连续射击两次，事务“至少有一次中靶”与事务“两次都不中靶”互斥 B．掷一枚匀称的硬币，假如连续抛掷1000次，那么第999次出现正面对上的概率是 C．若样本数据x1，x2，⋯，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2x10﹣1的标准差为16 D．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，记事务A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，则A+B＝“恰有一人中靶”7．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β C．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β8．从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（）A． B． C． D．9．抛掷一枚质地匀称的骰子，“向上的点数是2，3，4”为事务A，“向上的点数是1，5”为事务B，则下列选项正确的是（）A．A与B是对立事务 B．A与B是互斥事务 C．P（A∪B）＝1 D．10．2024年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某探讨性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2024年）的家庭收入状况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）甲：36，37，37，38，40，42；乙：34，36，38，39，40，41．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）状况的推断，正确的是（）A．过去的6年，“甲”的极差大于“乙”的极差 B．过去的6年，“甲”的平均值大于“乙”的平均值 C．过去的6年，“甲”的中位数大于“乙”的中位数 D．过去的6年，“甲”的平均增长率大于“乙”的平均增长率11．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E在BD上，且AE⊥BD，则＝（）A． B． C． D．12．如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（acosC+ccosA）＝2bsinB，且∠CAB＝．若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝2，则下列说法中错误的是（）A．△ABC的内角 B．△ABC的内角 C．四边形ABCD面积无最大值 D．四边形ABCD面积的最大值为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．＝．14．已知||＝||＝，+•＝1，则向量，的夹角θ＝．15．数据10，10，9，7，6，5，4，3，2，2的第80百分位数是．16．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法：①该八面体的体积为；②该八面体的外接球的表面积为8π；③E到平面ADF的距离为；④EC与BF所成角为60°．其中正确的说法为．（填序号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①a2+c2﹣b2＝ac，②ccosA+acosC＝2bcosB，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝2sinC，b＝2，且_____．求△ABC的面积．18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求异面直线BD1与AP所成角的大小．19．某校高二（9）班确定从a，b，c三名男生和d，e两名女生中随机选3名进入学生会．（1）求“女生d被选中”的概率；（2）求“男生a和女生e恰好有一人被选中”的概率．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是底面ABCD对角线AC上一点，PE＝2，△PCD是边长为2的正三角形，DE＝CE＝BE，∠CED＝120°．（1）证明：PE⊥平面ABCD；（2）若四边形ABED为平行四边形，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．如图，在△ABC中，AB＝2，DC＝，CB的垂直平分线交边AC于点D．（1）求AD的长；（2）若AD＞AB，求sin∠ACB的值．22．某市供水管理部门随机抽取了2024年2月份200户居民的用水量，经过整理得到如下的频率分布直方图．（1）求抽取的200户居民用水量的平均数；（2）为了进一步了解用水量在[6，8），[8，10），[10，12]范围内的居民用水实际状况，确定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访．（ⅰ）各个范围各应抽取多少户？（ⅱ）若从抽取的6户中随机抽取3户进行入户调查，求3户分别来自3个不同范围的概率．

参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．若复数为纯虚数，则a的值为（）A．2 B． C．1 D．0解：∵为纯虚数，∴，解得a＝2．故选：A．2．已知向量，，．若，则实数λ＝（）A．2 B．1 C． D．解：∵向量，，．∴＝（1，2）+λ（1，0）＝（1+λ，2），∵，∴4（1+λ）﹣3×2＝0，解得．故选：C．3．下列说法正确的是（）A．多面体至少有3个面 B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C．各侧面都是正方形的四棱柱肯定是正方体 D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形解：对于A：一个多面体至少有4个面，例如三棱锥体有四个面，故A错误．对于B：如图所示：故B错误．对于C：上下底面都为菱形，各个侧面都为正方形的四棱柱不是正方体，故C错误．对于D：六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，依据定义D正确．故选：D．4．如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是（）A．①④ B．②④ C．③④ D．②③解：依据题意，在①中，MG∥HN且MG＝NH，则四边形MGHN是平行四边形，有HG//MN，不是异面直线；在②中，直线GH，MN既不平行也不相交，是异面直线；在③中，GM//HN且GM≠HN，故HG，NM必相交，不是异面直线；在④中，直线GH，MN既不平行也不相交，是异面直线；综合可得：②④正确；故选：B．5．国际竞赛足球的半径应当在10.8～11.3cm之间，球的圆周不得多于71cm或少于68cm．球的重量，在竞赛起先时不得多于453g或少于396g．充气后其压力应等于0.6～1.1个大气压力（海平面上），即等于600～1100g/cm，将一个表面积为484πcm2的足球用一个正方体盒子装起来，则这个正方体盒子的最小体积为（）A．121cm3 B．484cm3 C．1331cm3 D．10648cm3解：由S＝4πR2＝484π，得R＝11，故该足球的半径为11cm．若要使这个正方体盒子的体积最小，则这个正方体正好是该足球的外切正方体，所以正方体的棱长等于球的直径，即22cm，所以这个正方体盒子的最小体积为．故选：D．6．下列说法不正确的是（）A．一个人打靶时连续射击两次，事务“至少有一次中靶”与事务“两次都不中靶”互斥 B．掷一枚匀称的硬币，假如连续抛掷1000次，那么第999次出现正面对上的概率是 C．若样本数据x1，x2，⋯，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2x10﹣1的标准差为16 D．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，记事务A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，则A+B＝“恰有一人中靶”解：对于A，“两次都不中靶”与“至少有一次中靶”不行能同时发生．故A正确．对于B，每一次出现正面朝上的概率相等都是．故B正确．对于C，样本数据x1，x2，⋯，x10，其标准差，则s2＝64，而样本数据2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2x10﹣1的方差为22×64，其标准差为．故C正确．对于D，A+B＝“靶被击中”，故D错误．故选：D．7．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β C．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β解：由m∥n，m⊥α，得n⊥α，故A正确；由m⊥α，m⊥β，得α∥β；故B正确；由m∥α，α∩β＝n，得m∥n或m与n异面，故C不正确；m⊥α，m⊂β，得α⊥β，故D正确．故选：C．8．从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（）A． B． C． D．解：由题意，所求概率即为摸出的两个球中有白球的概率，设3个红球分别记为a，b，c，2个白球分别记为d，e，则全部可能的结果为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，符合条件的结果为ad，ae，bd，be，cd，ce，de，共7种，所以所求概率为．故选：A．9．抛掷一枚质地匀称的骰子，“向上的点数是2，3，4”为事务A，“向上的点数是1，5”为事务B，则下列选项正确的是（）A．A与B是对立事务 B．A与B是互斥事务 C．P（A∪B）＝1 D．解：依据题意，设“向上的点数是6”是事务C，依次分析选项：对于A，事务A与B不会同时发生，也可能都不发生，则不是对立事务，A错误，对于B，事务A与B不会同时发生，是互斥事务，B正确，对于C，P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝，C错误，对于D，事务A与B不会同时发生，则P（AB）＝0，D错误，故选：B．10．2024年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某探讨性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2024年）的家庭收入状况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）甲：36，37，37，38，40，42；乙：34，36，38，39，40，41．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）状况的推断，正确的是（）A．过去的6年，“甲”的极差大于“乙”的极差 B．过去的6年，“甲”的平均值大于“乙”的平均值 C．过去的6年，“甲”的中位数大于“乙”的中位数 D．过去的6年，“甲”的平均增长率大于“乙”的平均增长率解：对于A，甲的极差为42﹣36＝6，乙的极差为41﹣34＝7，所以“甲”的极差小于“乙”的极差，A错误；对于B，甲的平均数是，乙的平均数为＝，所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，B正确；对于C，甲的中位数是，乙的中位数是，所以，“甲”的中位数小于“乙”的中位数，C错误；对于D，由题意，无法计算平均增长率，D错误．故选：B．11．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E在BD上，且AE⊥BD，则＝（）A． B． C． D．解：建立如图所示的直角坐标系：则A（0，1），B（0，0），C（2，0），D（2，1），设E（x，y），所以＝．∵且，∴，解得，∴E（，），＝（，﹣），＝（，﹣），∴．故选：C．12．如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（acosC+ccosA）＝2bsinB，且∠CAB＝．若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝2，则下列说法中错误的是（）A．△ABC的内角 B．△ABC的内角 C．四边形ABCD面积无最大值 D．四边形ABCD面积的最大值为解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，因此A，B正确；四边形ABCD面积等于S△ABC+S△ACD＝＝.+sin∠ADC＝﹣cos∠ADC+sin∠ADC＝+2sin（∠ADC﹣）．因此D正确，C错误．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．＝1﹣2i．解：．故答案为：1﹣2i．14．已知||＝||＝，+•＝1，则向量，的夹角θ＝．解：因为||＝||＝，+•＝1，所以•＝1﹣＝﹣1，所以cosθ＝＝﹣，又θ∈[0，π]，所以．故答案为：．15．数据10，10，9，7，6，5，4，3，2，2的第80百分位数是9.5．解：将数据从小到大排列：2，2，3，4，5，6，7，9，10，10，则i＝10×80%＝8，故第80百分位数为．故答案为：9.5．16．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法：①该八面体的体积为；②该八面体的外接球的表面积为8π；③E到平面ADF的距离为；④EC与BF所成角为60°．其中正确的说法为②④．（填序号）解：①四棱锥E﹣ABCD的全部棱长为2，则斜高为，高为，则八面体的体积为，故①错误；②八面体的外接球球心为正方形ABCD对角线交点，可得外接球半径为，表面积为8π，故②正确；③取AD的中点G，连接EG，FG，EF，得，AD⊥平面EGF，过E作EH⊥FG，交FG的延长线于H，又EH⊥AD，AD∩FG＝G，故EH⊥平面ADF，解得，∴E到平面ADF的距离为，故③错误；④∵ED∥BF，∴EC与BF所成角为∠CED＝60°，故④正确．∴正确的说法为②④．故答案为：②④．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①a2+c2﹣b2＝ac，②ccosA+acosC＝2bcosB，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝2sinC，b＝2，且_____．求△ABC的面积．解：若选择条件①，由余弦定理知．又0＜B＜π，得．由sinA＝2sinC，及正弦定理，得a＝2c．将a＝2c，和b＝2代入a2+c2﹣b2＝ac，解得，所以，所以．若选择条件②，由正弦定理，得sinCcosA+sinAcosC＝2sinBcosB，所以sin（A+C）＝2sinBcosB．由A+C＝π﹣B，得sinB＝2sinBcosB，由sinB≠0，解得．又0＜B＜π，得由余弦定理，得a2+c2﹣b2＝ac．由sinA＝2sinC，及正弦定理，得a＝2c．将a＝2c和b＝2，代人a2+c2﹣b2＝ac，解得，所以，所以．若选择条件③，由正弦定理得cosBsinA，又因为A∈（0，π），sinA≠0，所以，即．又因为B∈（0，π），所以．由余弦定理，得a2+c2﹣b2＝ac．由sinA＝2sinC，及正弦定理，得a＝2c．将a＝2c，和b＝2代人a2+c2﹣b2＝ac，解得，所以，所以．18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求异面直线BD1与AP所成角的大小．【解答】（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点．连结PO，又因为P是DD1的中点，所以PO∥BD1．又因为PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC所以直线BD1∥平面PAC．（2）解：由（1）知，PO∥BD1，所以∠APO即为异面直线BD1与AP所成的角．因为，且PO⊥AO，所以．又∠APO∈（0°，90°]，所以∠APO＝30°故异面直线BD1与AP所成角的大小为30°．19．某校高二（9）班确定从a，b，c三名男生和d，e两名女生中随机选3名进入学生会．（1）求“女生d被选中”的概率；（2）求“男生a和女生e恰好有一人被选中”的概率．解：（1）从a，b，c三名男生和d，e两名女生中任选3名的可能选法有abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共10种选法，其中女生d被选中的有abd，acd，ade，bcd，bde，cde，共6种选法，所以女生d被选中的概率；（2）据（1）求解知，男生a和女生e恰好有一人被选中有abc，abd，acd，bce，bde，cde，共6种选法，所以“男生a和女生e恰好有一人被选中”的概率．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是底面ABCD对角线AC上一点，PE＝2，△PCD是边长为2的正三角形，DE＝CE＝BE，∠CED＝120°．（1）证明：PE⊥平面ABCD；（2）若四边形ABED为平行四边形，求四棱锥P﹣ABCD的体积．解：（1）证明：∵DC＝DP＝CP＝2，ED＝EC，∠CED＝120°，∴ED＝EC＝2，∵，∴PE⊥ED，PE⊥EC，∵ED，EC是平面ABCD内的两条相交线，∴PE⊥平面ABCD；（2）当四边形ABED为平行四边形时，∵BE＝DE，∴四边形ABED为菱形，结合∠CED＝120°，可得：AE＝2，MD＝，∴SABCD＝2S△ACD＝2×＝4，∴VP﹣ABCD＝＝．故四棱锥P﹣ABCD的体积为：．21．如图，在△ABC中，AB＝2，DC＝，CB的垂直平分线交边AC于点D．（1）求AD的长；（2）若AD＞AB，求sin∠ACB的值．解：（1）在△ADB中，由余弦定理可得，，整理得20AD2﹣64AD+35＝0，即（2AD﹣5）（10AD﹣7）＝0，所以或；（2）因为AD＞AB，由（1）得，所以AC＝AD+