上海市八校联考2023届高三年级上册开学考试数学试题（含答案）

2022-2023年八校高三上开学考

一、填空题(第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)

1.已知集合A=｛x[—1<2｝,B-|x|x>0|>则.

2.在复平面内，复数z对应的点为(1,一1),则z(l+i)=.

3.在的展开式中，/的系数为.

2

4.已知双曲线C:土一y?=1(m>0)的一条渐近线为6x+n7y=(),则C的焦距为.

5.己知｛凡｝是等比数列，S“为其前〃项和，若的是卬、S2的等差中项，S4=15,则4=.

6.已知直线/:6+力=1是圆/+9一2%一2｝；=0的一条对称轴，则帅的最大值为.

7.在△ABC中，ZABC^2ZACB,NABC和NACB的平分线交于点。.若AB=*AC,则

8

cos/DCB的值为.

8.已知不、&是单位向量，且不•瓦=0,设向量5=4召+〃&，当几+〃=2时，|万的最小值为

9.若函数/(力=归—a|—l的值域为[-1,+8),则实数〃的取值范围为.

10.已知cos(a+p)=cosa+cos力，则cosa的最大值为.

11.祖晒原理：''幕势既同，则积不容异”。即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面

的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.有一个球形瓷碗，它

可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8,高为2,利用祖唯原理可求得该球形瓷碗的体积为.

12.设函数/(x)=Jlnx+x-a(aeR,e为自然对数的底数)，若曲线y=cosx上存在点使

/(/(%))=%成立，则”的取值范围是.

二、选择题(本大题共4题，满分20分)

13.下列说法中正确的是().

A.平行于同一直线的两个平面平行B.垂直于同一直线的两个平面平行

C.平行于同一平面的两条直线平行D.垂直于同一平面的两个平面平行

14.假设4、8是两个事件，且尸（A）＞0,P（B）＞0,则下列结论一定成立的是（）.

A.P（AB）＜P（B|A）B.P（AB）=P（A）P（B）

C.「（8|A）=尸（A|8）D.P（8）=P（3|A）

15.已知二次函数/（x）的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g（x）的图象，则不等式

g（x）＞log2x的解集是（）.

A.（-00,2）B.（2,+00）C.（0,2）D.（0,1）

16.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数丁=Asinof,我们听到

的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数/（x）=sinx+gsin2x,则下列

结论正确的个数有（）.

①“X）的图象关于直线X=7l对称；②“X）在-号上是增函数；

③的最大值为手；④若〃内）｛2）=-1|，则|西-乩「手

A.1B.2C.3D.4

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17.研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义.中国明确提出

节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一.中国某地区从

2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表.（注：汽车总销量指新能源汽车销量

与非新能源汽车销量之和）

年份2015201620172018201920202021

新能源汽车销量占比1.5%2%3%5%8%9%20%

3车W泊勤万阳

•.()

5.(»5,(»S.-7—5.K

206—20172(11H201920202021年份

(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；

(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分

布列和数学期望.

r2v2

18.己知椭圆G：J+==1(。＞万＞0)的右焦点厂与抛物线c,的焦点重合，G的中心与的顶点重

a~b

合，过尸且与X铀垂直的直线交G于A、8两点，交G于C、。两点，且|Cq=g|AB|.

(1)求G的离心率：

(2)若G的四个顶点到。2的准线距离之和为12,求G与C2的标准方程.

19.在如图所示的多面体中，AB//CD,四边形ACFE为矩形，AB=AE=1,AD=CD=2.

(1)求证：平面ABE〃平面CDF；

(2)设半面BEfc平面C£＞F=/,AB±AD,AE_L平面ABC。，求二面角B-/-C的正弦值.

20.已知函数/(x)=e"(依2一x+i).

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线的方程；

(2)若函数/(x)在x=0处取得极大值，求。的取值范围;

(3)若函数/(X)存在最小值，直接写出。的取值范围.

21.对于数列｛4｝,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称｛《,｝为P数列.

⑴若｛q｝的前"项和S“=3"+2,试判断｛a,,｝是否是P数列，并说明理由；

(2)设数列%,4，的，…，4。是首项为一1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求4的取值范

围；

(3)设无穷数列｛4｝是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列｛2｝,｛1｝是从｛凡｝中取出部分项按原

来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为(，T2,求｛《,｝是P数列时a与q所满足的条件，并证明

命题“若a>0且工=(，则｛%｝不是P数列”.

2022-2023年八校高三上开学考

答案

一、填空题

1.【答案】[-1,+00)

2.【解析】在复平面内，复数z对应的点为(1,一1),

所以z(l+i)=(l—i)(l+i)=l—[2=2.

3•【解析】展开式的通项公式为4+1=。；(«广(7：丫=(一1)'。》竽，

令号=2,解得r=0,即/的系数为故选B.

2

4.【解析】双曲线。：,一丁=1(m>0)的一条渐近线为百x+冲=0,

LI机

则仅=Vm，解得m=3则双曲线的方程为土一丁=1,

3

则。=用1=2,其焦距2c=4.

2%=4+S2

5•【解析】设%=q"i,由题意得,

鸟=15

2a1q=2q+/q

即<q,解得q=2,q=1.

i-q

6.【解析】圆炉十y2-2工—2y=0的圆心(1,1),

直线/:以=1是圆x2+y?-2工-2丁=0的一条对称轴，得〃+b=l,

则土电]=，，当且仅当a=b=，时，取等号,

I2J42

所以曲的最大值为1.

4

7.【解析】在△ABC中,

AB_AC_AC_AC

由正弦定理得,

sinZACBsinZABCsin2ZACB2sinZACB-cosZACB

54

因为A3=—AC,所以cos/AC3=—,

85

4

因为CZ）平分ZACB,所以cosZACB=2coso2ZDCB-1=—,

5

解得COSZDCB=±M0（舍负）,

故cos/DCS的值为

1010

8.【解析】当;l+〃=2时，〃一百=(2—1招+=(X—1招+(2—丸)舄,

/o、2[

则忸_司=("1)2+(2—为2=2卜_引+-,

当丸=|时，B—剧的最小值为日.

9.【解析】令g(x)=|2，—a|,

因为函数/(x)=|2'-«|-l的值域为［-1,+00),

所以g(x)=,—4的值域为［0,+oo),

又y=2*的值域为(0,+8),所以a>0.

10.【解析】因为8$(二+/7)=(：0$二+8$/?,

所以(cosa-l)cos尸一sinasinJ3=cosa，

所以J(cosa-1)2+(-sina)-sin(/?+^)=cosa,

所以卜in(£+尹)|二1------------------41，

{(cosa-l)+(-sina)

所以cos?a+2cosa-2<0,解得一14cos。W百一1,

所以cosa的最大值为6-1.

11.【解析】设瓷碗所在球的半径为R,WiJ(/?-2)2+42=/?2,得R=5,

设从瓷碗截面圆心处任意竖直距离为〃，则瓷碗的截面面积为兀［52-(3+")2

构造一个圆柱减去一个圆台的模型，

V=K—%、=兀/52.2-(兀§一兀了卜^八

12.【解析】由曲线y=cosxe［-l,l］上存在点

使得/(/(%))=%,即为e［T，l］，

下面证明/(%)=%，因为/(x)=^nx+x-a在定义域上严格增，

假设/(%)=C>%,则/(/(%))=/(C)>.f(yo)=C>y。，

不满足/(/(%))=%,同理/(y°)=C<%,不满足/(/(%))=%，

所以/(%)=%，那么函数f(x)=\J\nx+x-ae[-1,1],

即函数/(x)=x在xw[—1,1]有解，所以数x+%—°二炉,

即lnx+x—f=a,xe[-l,l],令/z(x)=ln%+x-x2,

则/(x)=L+1—2x=二(X二l)(2x+l).>0,网整严格增,

XX

又〃（1）=0,所以aWO,所以4的取值范围是（-8,01

二、选择题

13•【解析】平行于同一直线的两个平面相交或平行，故A不正确；

由平面平行的判定定理得垂直于同一直线的两个平面平行，故B正确;

平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故C不正确；

垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故D不正确.

故选B.

14.【解析】对于A,因为尸（同.）二所以P（AB）=P（8|A）尸（A）,

因为0<P（A）Wl,所以P（A6）〈尸（叫A）,故选项A正确;

对于B,因为题中未说明事件A、8是否相互独立，故选项B错误;

对于C,因为。（同力=瑞1,P（A|6）=箫L

只有当尸（A）=P（B）时，才有尸（B|A）=P（A忸）,

但题中未说明尸（A）与P（B）是否相等，故选项C错误;

因为P（B|A）=需

对于D,

当事件A与事件B相互独立时，则有P（8）=P（B\A）,

题中未说明事件A、B是否相互独立，故选项D错误.

故选A.

15.【解析】设=+版+c（a＜。）,

由图象得/(0)=1，/(—2)=0,则c=l,4a—2人+1=0,

所以/（彳）=以2+（2a+g

x+\,

将“X）的图象向右平移2个单位长度得到函数

+(2a+；

g(x)=a(x-2)2（x—2）+1的图象，由g（2）=l,

又y=log2》在（0,2）上严格增，且log?」。，log22=l,

由图像得不等式g（x）＞log2x的解集为（0,2）.故选C.

16.【解析】①因为/(2;i-x)=sin(2兀一x)+gsin2(2兀-x)=-sinx-gsin2x=-/(x),

所以/（x）的图象不关于直线工=兀对称，错误;

②/'(%)=cosx+cos2x-2cos2x+coscosx-1)(cosx+1),

当工£—,一时，cosX2则ra）＞o.

44冬

所以/（X）在-出上是增函数,正确;

③令/'（x）=0得cosx=g,在一个周期内不妨取x=±方,

兀3G所以/（力的最大值为手，正确;

一§「一丁

④若/（%）/（工2）=_招，不妨取/（%）=¥，/（々）=一手，

1O44

Ojr

则打一x21mm=手，正确.故选C.

三、解答题

17.（1）由汽车销量图得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，

则这一年该地区汽车总销量不小丁5.5万辆的概率为.

7

（2）由图表得新能源汽车2015-2021年的销量如下表：

年份2015201620172018201920202021

新能源汽年销量0.06250.1120.1680.2750.4560.541.16

新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个,

则随机变量X可能取值为0,1,2,

2

C10=警嘴?—2）吟得

唳刈亏21*x=i)

<012、

所以X的分布列为1010J_

而2?21>

所以皿X]=0XW+1XW+2XL=±

L」2121217

18.【解析】（1）由题意设抛物线。2的方程为y2=4cx,焦点坐标F为（c、,0）,

因为AB_Lx轴，将x=c代入抛物线的方程得V=4c2,

所以3=2c,所以弦长|C4=4c,

(M)/,2

将x=c代入椭圆G的方程得y2=〃1---=—,所以|y=一,

aJa~a

2h2

所以弦长|AB|=——，

再由|Cq=g|A8|,得4c=(•子即3ac=2b°=2年一c?),

整理得2c2+3ac-2a2=0,即2e2+3e-2=0,ee（0,l）,解得e=g,

所以G的离心率为：.

（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为（±a,0）,（0,+b）,

而抛物线的准线方程为x=-c,

由题意得2c+a+c+a—c=12»即Q+C=6,

由（1）得£=！，解得“=4,c=2,所以〃=/一。2=16—4=12,

a2

22

所以G的标准方程为^+―=1.C2的标准方程为V=8x.

19.【解析】因为四边形4CFE为矩形，所以C尸〃AE,

又AEu平面ABE,CbU平面A8E,所以C77〃平面ABE,

又因为AB〃CD,又ABu平面ABE,CD（Z平面ABE,

所以C£）〃平面ABE,

又CDcCF=C,CD、CFu平面C£>F,

所以平面ABE〃平面CDF.

（2）因为AEJ_平面ABC。，AB、AOu平面ABCQ,

所以AELAB,AE±AD,

又因为ABJ_AD,所以AB、AE.AO两两互相垂直,

以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,

则B(1,O,O),£(0,0.1),*2,2,1),

所以屁=(—1,0,1),而=(1,2,1),

设平面BEF的法向量为五=(x,y,z),

BE=0[―x+z=0

则《___，即《，

五百F=0[x+2y+z=0

令x=l,则y=-l,z-1,故方

因为A£>_L平面ABE,又平面ABE〃平面CCF,

所以AT>_L平面CDF,取平面8尸的一个法向量为妨=(0,1,0),

所以|cos伍砌=褊=力=9，

故二面角B-1-C的余弦值为且，正弦值为逅.

33

20.【解析】(1)函数/(X)=/(G：2—X+I),"0)=1.

/'(%)=-x+l+2o¥-1)="(尔—x+2ox),尸(0)=0,

所以曲线丁=/(可在点(0J(0))处的切线的方程为y—l=0.

(2)f(x)=xex[cix-1+2a),1⑼=0.

①当Q=0时，则/(同=一疝1

当x<0时，f'(x)>0,此时函数/(x)严格增;

当尤>0时，f(x)<0,此时函数/(x)严格减.

所以0是函数“X)的极大值点.

②当awO时，r(x)=oxe'(x—

令广(同=(),解得玉=0,/=上包，

下面对“分类讨论，

当a=g时，/(力=3%2/20,函数“X)在R上严格增，无极值点，舍去.

当时，x<0,列出表格：

22■

S，w)((),+℃)

XX2(工2，。)0

小)+0——0+

严格增极大值严格减极小值严格增

0为函数“X)的极小值点，舍去.

当。<0时・，x2<0,列出表格：

S，%)

X(*2，。)0(0,+co)

/,a)—0+0—

“X)严格减极小值严格增极大值严格减

0为函数〃力的极大值点，满足题意.

当0<。<!时，x,>0,列出表格：

2

X(F,0)0(。,七)%2（七,+00）

小)+0——0+

严格增极大值严格减极小值严格增

0为函数/(X)的极大值点，满足题意.

所以“的取值范围是1-00,L.

\2)

(3)结合(2)得当aWO或azg时，“X)不存在最小值.

例如”>g或。<0,0是函数“X)的极大值点，且"0)=1.

当x-—8时，无最小值，舍去.

当o<a<g时，，x->-oo时，，/(x)-。，w是极小值点，入2>。，

)1-2(7

满足ax^一%+2以2=0，x2=-----，

a

需要f'M==e*(ox；_%+1)=e*(1—2分2)=e*[1-2(1-2G)]<0,

解得0<a<—.

4

因此函数/(x)存在最小值，a的取值范围是(0,；.

21•【解析】(1)由S“=3"+2得a,+|=S.+「S.=2x3",

故4用-S“=3"-2〉0对一切正整数n都成立，

故｛4｝是P数列.

(2)由题意得，该数列的前〃项和为5“=-〃+/+i=T+〃",

由数列外,生，…，囚。是P数列，可知。2>&=q，故公差d>(),

S“—a,+1=5"2—1]+md)〃+i<o对满足中的每一个正整数〃都成立.

05〃2一11+_|4)〃+1<0对于〃=1,9都成立.

由5,92-9(1+别+1<0,得d〈点,