高中数 1.3.2空间几何体的体积同步训练 苏教版必修2

【创新设计】-版高中数学1.3.2空间几何体的体积同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．已知正三棱锥S－ABC，D、E分别为底面边AB、AC的中点，则四棱锥S－BCED与三棱锥S－ABC的体积之比为________．解析两锥体高相等，因此VS－BCED∶VS－ABC＝SBCED∶SABC＝3∶4.答案3∶42．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，如果AB＝AC＝eq\r(13)，BB1＝BC＝6，E、F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，那么多面体BB1C1CEF的体积为________．解析△ABC中，BC边上的高h＝eq\r(\r(13)2－32)＝2，V柱＝eq\f(1,2)BC·h·BB1＝eq\f(1,2)×6×2×6＝36，∴VE－ABC＋VF－A1B1C1＝eq\f(1,6)V柱＝6，故VBB1C1CEF＝36－6＝30.答案303．在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．解析如图所示，过BC作EF的直截面BCG，作面ADM∥面BCG，取BC的中点为O，连结GO、FO.FO＝eq\f(\r(3),2)，FG＝eq\f(1,2).∴GO＝eq\r(FO2－FG2)＝eq\f(\r(2),2)，∴S△BCG＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，V1＝VBCG－ADM＝S△BCG·AB＝eq\f(\r(2),4)，V2＝2VF－BCG＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),12).∴V＝V1＋V2＝eq\f(\r(2),3).答案eq\f(\r(2),3)4．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D解析由题意，设AB＝a，AA1＝b，再由eq\f(1,2)BD·DC1＝6可得a2＋eq\f(b2,4)＝12.又由BC2＋CCeq\o\al(2,1)＝BCeq\o\al(2,1)得a2＋b2＝24，可得a＝2eq\r(2)，b＝4，∴V＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2×4＝8eq\r(3).答案8eq\r(3)5．已知正方体的体对角线长等于2eq\r(3)cm，它的顶点中有4个在半球O的底面上，另外4个在半球O的表面上，那么半球O的体积为________cm3.解析过正方体的对角面作截面如图．设半球O的半径为R.∴A1C＝2eq\r(3)cm，又∵AB2＋AC2＋AAeq\o\al(2,1)＝A1C2∴3AAeq\o\al(2,1)＝12.A1A＝2cm，AC＝2eq\r(2)cm.∴A1O＝R＝eq\r(A1A2＋AO2)＝eq\r(4＋2)＝eq\r(6)(cm)．∴V＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\r(6))3×eq\f(1,2)＝4eq\r(6)π(cm3)．答案4eq\r(6)π6．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．解析以四面体的各棱为对角线还原为长方体．如图．设长方体的长、宽、高分别为x、y、z.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝2，,z＝4.))∵VD－ABE＝eq\f(1,3)DE·S△ABE＝eq\f(1,6)V长方体．同理VC－ABF＝VD－ACG＝VD－BCH＝eq\f(1,6)V长方体．∴V四面体ABCD＝V长方体－4×eq\f(1,6)V长方体＝eq\f(1,3)V长方体．而V长方体＝2×3×4＝24.∴V四面体ABCD＝8.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则球的体积为________．解析把三棱锥P－ABC“补”成棱长分别为a、b、c的长方体，显然该长方体仍内接于原来的球，且球的直径等于长方体的对角线，即2R＝l，其中l2＝a2＋b2＋c2.于是R＝eq\f(l,2)＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)，V球＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(π,6)(a2＋b2＋c2)eq\f(3,2).答案eq\f(π,6)(a2＋b2＋c2)eq\f(3,2)8．一个多面体的体积为V，其内切球的半径为R，则其表面积为________．解析以多面体内切球球心为顶点，底面为底面，则可组成若干棱锥，这些棱锥体积之和为V＝eq\f(1,3)×R(S1＋S2＋…＋Sn)＝eq\f(1,3)×S·R，∴S＝eq\f(3V,R).答案eq\f(3V,R)9．(·新课标)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2eq\r(3)，则棱锥O－ABCD的体积为________．解析可以求得球心O到矩形ABCD所在平面的距离为2，因此V棱锥O－ABCD＝eq\f(1,3)×6×2eq\r(3)×2＝8eq\r(3).答案8eq\r(3)10．球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为4π，则此球的体积为________．解析设球心为O，球的半径为R，由已知可得：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝eq\f(π,2)，∴AB＝BC＝CA＝eq\r(2)R.∵截面圆的半径为2，∴eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)×eq\r(2)R＝2，R＝eq\r(6).∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×6eq\r(6)＝8eq\r(6)π.答案8eq\r(6)π11.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．解截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF－A1B1C1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．设棱柱的底面积为S，高为h，则△AEF的面积为eq\f(1,4)S，由于V1＝VAEF－A1B1C1＝eq\f(1,3)·h·(eq\f(S,4)＋S＋eq\f(S,2))＝eq\f(7,12)hS，剩余的不规则几何体的体积为V2＝V－V1＝hS－eq\f(7,12)hS＝eq\f(5,12)hS，所以两部分的体积之比为V1∶V2＝7∶5.12.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF与平面AC的距离为2，求该多面体的体积．解将多面体ABCDEF补形成三棱柱BCF－ADG，再将这个三棱柱补成四棱柱ABCD－HKFG，如图．则V三棱柱＝eq\f(1,2)V四棱柱＝eq\f(1,2)×9×2＝9.又VE－AGD＝eq\f(1,6)V三棱柱＝eq\f(1,6)×9＝eq\f(3,2)，从而VABCDEF＝V三棱柱－VE－ADG＝9－eq\f(3,2)＝eq\f(15,2).13．(创新拓展)已知正三棱锥V－ABC(底面是等边三角形，顶点在底面的射影是底面的中心)的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2eq\r(3)，求该三棱锥的表面积与体积．解由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2eq\r(3)，取BC的中点D，连接VD，则VD＝eq\r(VB2－BD2)＝eq\r(42－\r(3)2)＝eq\r(13)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×VD×BC＝eq\f(1,2)×eq\r(13)×2eq\r(3)＝eq\r(39)，S△ABC＝eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，∴三棱锥V－ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3eq\r(39)＋3eq\r(3)＝3(eq\r(39)＋eq\r(3))．点V在底面ABC上的射影为H，则A，H，D三点