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文档简介
【创新设计】-版高中数学1.3.2空间几何体的体积同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1.已知正三棱锥S-ABC,D、E分别为底面边AB、AC的中点,则四棱锥S-BCED与三棱锥S-ABC的体积之比为________.解析两锥体高相等,因此VS-BCED∶VS-ABC=SBCED∶SABC=3∶4.答案3∶42.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,如果AB=AC=eq\r(13),BB1=BC=6,E、F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,那么多面体BB1C1CEF的体积为________.解析△ABC中,BC边上的高h=eq\r(\r(13)2-32)=2,V柱=eq\f(1,2)BC·h·BB1=eq\f(1,2)×6×2×6=36,∴VE-ABC+VF-A1B1C1=eq\f(1,6)V柱=6,故VBB1C1CEF=36-6=30.答案303.在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为________.解析如图所示,过BC作EF的直截面BCG,作面ADM∥面BCG,取BC的中点为O,连结GO、FO.FO=eq\f(\r(3),2),FG=eq\f(1,2).∴GO=eq\r(FO2-FG2)=eq\f(\r(2),2),∴S△BCG=eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)=eq\f(\r(2),4),V1=VBCG-ADM=S△BCG·AB=eq\f(\r(2),4),V2=2VF-BCG=2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)=eq\f(\r(2),12).∴V=V1+V2=eq\f(\r(2),3).答案eq\f(\r(2),3)4.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若截面△BC1D解析由题意,设AB=a,AA1=b,再由eq\f(1,2)BD·DC1=6可得a2+eq\f(b2,4)=12.又由BC2+CCeq\o\al(2,1)=BCeq\o\al(2,1)得a2+b2=24,可得a=2eq\r(2),b=4,∴V=eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2×4=8eq\r(3).答案8eq\r(3)5.已知正方体的体对角线长等于2eq\r(3)cm,它的顶点中有4个在半球O的底面上,另外4个在半球O的表面上,那么半球O的体积为________cm3.解析过正方体的对角面作截面如图.设半球O的半径为R.∴A1C=2eq\r(3)cm,又∵AB2+AC2+AAeq\o\al(2,1)=A1C2∴3AAeq\o\al(2,1)=12.A1A=2cm,AC=2eq\r(2)cm.∴A1O=R=eq\r(A1A2+AO2)=eq\r(4+2)=eq\r(6)(cm).∴V=eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3=eq\f(4,3)π×(eq\r(6))3×eq\f(1,2)=4eq\r(6)π(cm3).答案4eq\r(6)π6.已知四面体ABCD中,AB=CD=eq\r(13),BC=AD=2eq\r(5),BD=AC=5,求四面体ABCD的体积.解析以四面体的各棱为对角线还原为长方体.如图.设长方体的长、宽、高分别为x、y、z.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2=13,,y2+z2=20,,x2+z2=25,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,y=2,,z=4.))∵VD-ABE=eq\f(1,3)DE·S△ABE=eq\f(1,6)V长方体.同理VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=eq\f(1,6)V长方体.∴V四面体ABCD=V长方体-4×eq\f(1,6)V长方体=eq\f(1,3)V长方体.而V长方体=2×3×4=24.∴V四面体ABCD=8.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7.在球面上有四点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,则球的体积为________.解析把三棱锥P-ABC“补”成棱长分别为a、b、c的长方体,显然该长方体仍内接于原来的球,且球的直径等于长方体的对角线,即2R=l,其中l2=a2+b2+c2.于是R=eq\f(l,2)=eq\f(1,2)eq\r(a2+b2+c2),V球=eq\f(4π,3)R3=eq\f(π,6)(a2+b2+c2)eq\f(3,2).答案eq\f(π,6)(a2+b2+c2)eq\f(3,2)8.一个多面体的体积为V,其内切球的半径为R,则其表面积为________.解析以多面体内切球球心为顶点,底面为底面,则可组成若干棱锥,这些棱锥体积之和为V=eq\f(1,3)×R(S1+S2+…+Sn)=eq\f(1,3)×S·R,∴S=eq\f(3V,R).答案eq\f(3V,R)9.(·新课标)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2eq\r(3),则棱锥O-ABCD的体积为________.解析可以求得球心O到矩形ABCD所在平面的距离为2,因此V棱锥O-ABCD=eq\f(1,3)×6×2eq\r(3)×2=8eq\r(3).答案8eq\r(3)10.球面上有三点A、B、C,任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一,且过这三点的截面圆的面积为4π,则此球的体积为________.解析设球心为O,球的半径为R,由已知可得:∠AOB=∠BOC=∠AOC=eq\f(π,2),∴AB=BC=CA=eq\r(2)R.∵截面圆的半径为2,∴eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)×eq\r(2)R=2,R=eq\r(6).∴V=eq\f(4,3)πR3=eq\f(4,3)π×6eq\r(6)=8eq\r(6)π.答案8eq\r(6)π11.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成两部分,求这两部分的体积之比.解截面EB1C1F将三棱柱分成两部分,一部分是三棱台AEF-A1B1C1,另一部分是一个不规则几何体,故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得.设棱柱的底面积为S,高为h,则△AEF的面积为eq\f(1,4)S,由于V1=VAEF-A1B1C1=eq\f(1,3)·h·(eq\f(S,4)+S+eq\f(S,2))=eq\f(7,12)hS,剩余的不规则几何体的体积为V2=V-V1=hS-eq\f(7,12)hS=eq\f(5,12)hS,所以两部分的体积之比为V1∶V2=7∶5.12.如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=eq\f(3,2),EF与平面AC的距离为2,求该多面体的体积.解将多面体ABCDEF补形成三棱柱BCF-ADG,再将这个三棱柱补成四棱柱ABCD-HKFG,如图.则V三棱柱=eq\f(1,2)V四棱柱=eq\f(1,2)×9×2=9.又VE-AGD=eq\f(1,6)V三棱柱=eq\f(1,6)×9=eq\f(3,2),从而VABCDEF=V三棱柱-VE-ADG=9-eq\f(3,2)=eq\f(15,2).13.(创新拓展)已知正三棱锥V-ABC(底面是等边三角形,顶点在底面的射影是底面的中心)的主视图,俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2eq\r(3),求该三棱锥的表面积与体积.解由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,且VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2eq\r(3),取BC的中点D,连接VD,则VD=eq\r(VB2-BD2)=eq\r(42-\r(3)2)=eq\r(13),∴S△VBC=eq\f(1,2)×VD×BC=eq\f(1,2)×eq\r(13)×2eq\r(3)=eq\r(39),S△ABC=eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)=3eq\r(3),∴三棱锥V-ABC的表面积为3S△VBC+S△ABC=3eq\r(39)+3eq\r(3)=3(eq\r(39)+eq\r(3)).点V在底面ABC上的射影为H,则A,H,D三点
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