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文档简介
【创新设计】-版高中数学1.2.4.3两平面垂直的性质同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1.对于直线m、n和平面α、β、γ,有如下四个命题:①若m∥α,n⊥m,则n⊥α;②若m⊥α,n⊥m,则n∥α;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;④若m⊥α,m⊂β,则α⊥β.其中正确命题的个数是________.解析对于①,不能断定n与α内两相交直线都垂直,故①错误;对于②,当nα时亦适合条件n⊥m,故②错误;对于③,如教室相邻墙面都与天花板面垂直,但它们并不平行,故③错误;④是面面垂直的判定定理,正确.综上,只有④正确.答案12.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的序号是________.解析①中若两直线平行,则结论错误;②正确;在空间中③错误;④正确.答案②④3.已知平面α、β、γ,直线l、m,且l⊥m,α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,给出下列四个结论:①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④β⊥α,则其中正确的个数是________.解析根据线面、面面垂直的判定与性质知②、④正确.答案24.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列结论正确的序号是________.①平面ABD⊥平面ABC②平面ADC⊥平面BDC③平面ABC⊥平面BDC④平面ADC⊥平面ABC解析由平面图形易知∠BDC=90°,∵平面ABD⊥平面BCD,CD⊥BD,∴CD⊥平面ABD.∴CD⊥AB.又AB⊥AD,CD∩AD=D,∴AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC.答案④5.在平面几何中,有真命题:如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,则这两个角相等或互补.某同学将此结论类比到立体几何中,得一结论:如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直,那么这两个二面角相等或互补.你认为这个结论________.(填“正确”或“错误”)解析如图,平面ABC1D1⊥平面BCC1B1,平面CDD1C1⊥平面ABCD,而二面角AC1D1C为45°,二面角ABCC1答案错误6.在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=eq\r(2),AB=AC.证明:AD⊥CE. 证明:如图所示,作AO⊥BC,垂足为O,连接OD,由于AO⊥BC且平面ABC⊥平面BCDE,所以AO⊥底面BCDE,且O为BC中点,由eq\f(OC,CD)=eq\f(CD,DE)=eq\f(1,\r(2))知,Rt△OCD∽Rt△CDE,从而∠ODC=∠CED,于是CE⊥OD.又∵CE⊥AO,AO∩OD=O,∴CE⊥平面AOD.∵AD⊂平面AOD,∴AD⊥CE.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是________.①AB∥m②AC⊥m③AB∥β④AC⊥β解析如图所示.AB∥l∥m,故①成立;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m,故②成立;AB∥l⇒AB∥β,故③成立.故选④.答案④8.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列命题:①若m⊂β,α⊥β,则m⊥α;②若m∥α,m⊥β,则α⊥β;③若α⊥β,α⊥γ,则β⊥γ;④若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β.上面命题中,真命题的序号是________.解析逐一将假命题排除可得正确答案.①错,当m⊂α时,则m⊥α为假命题;②对,当m∥α,m⊥β,则有m∥n,n⊂α且n⊥β,所以α⊥β;③错,由α⊥β,α⊥γ,β与γ垂直没有传递性,则β⊥γ为假命题;④错,由α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n得α∥β或者α与β相交;所以真命题的序号是②.答案②9.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是________.解析过点K作KM⊥AF于M点,连接DM,易得DM⊥AF,与折前的图形对比,可知由折前的图形中D、M、K三点共线,且DK⊥AF,于是△DAK∽△FDA,∴eq\f(AK,AD)=eq\f(AD,DF),∴eq\f(t,1)=eq\f(1,DF),∴t=eq\f(1,DF).∵DF∈(1,2),∴t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))10.下列命题中正确的序号为________.①直线a、b、c互相平行且都与直线l相交,则a、b、c在同一平面内;②平面α⊥β,γ⊥β,α∩γ=a,则a⊥β;③平面α⊥β,γ⊥β,α∩β=a,γ∩β=b,且a∥b,则α∥γ;解析对于①,如图,∵a∥b,故a、b可以确定一个平面α.设l与a、b、c分别交于A、B、C,则A∈α,B∈α,∴l⊂α∵a∥c,故a、c可以确定一个平面β,∴A∈β,C∈β,即l⊂β.于是α∩β=a,α∩β=l,即平面α与β有两条相交的公共直线a、l,故α与β是同一个平面,所以a、b、c在同一平面内.由此可知命题①正确.对于命题②,如图所示,设α、γ分别与β相交于m、n.在α内作b⊥m,在β内作c⊥n.∵α⊥β,γ⊥β,∴b⊥β,c⊥β,于是b∥c.又b⊄γ,∴b∥γ,而b⊂α,α∩γ=a,∴b∥a,但b⊥β,故a⊥β.由此可知命题②正确.对于命题③,如图所示,分别在平面α、γ内作直线a′⊥a,b′⊥b.∵α⊥β,γ⊥β,∴a′⊥β,b′⊥β,∴a′∥b′,从而a′∥γ,又a∥b,∴α∥γ,而a′和a是α内的两条相交直线,故α∥γ,由此可知命题③正确.答案①②③11.如图所示,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=eq\r(2),CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.解(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=eq\f(1,2)AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)如图所示,连接FG.因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1所以四边形CEFG是菱形.所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.12.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=eq\r(2)AA1,点D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DE⊥AE.(1)证明:平面ADE⊥平面ACC1A1(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值.解(1)由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C∵DE⊂平面A1B1C1,∴DE⊥AA1而DE⊥AE,AA1∩AE=A,∴DE⊥平面ACC1A1∵DE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACC1A1(2)如图所示,设F是AB的中点,连接DF、DC1、C1F由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及点D是A1B1的中点知,A1B1⊥C1D,A1B1⊥DF∵C1D∩DF=D,∴A1B1⊥平面C1DF.而AB∥A1B1,∴AB⊥平面C1DF.∵AB⊂平面ABC1,∴平面ABC1⊥平面C1DF.过点D作DH⊥C1F于点H则DH⊥平面ABC1.连接AH,则∠HAD是直线AD和平面ABC1所成的角.由已知AB=eq\r(2)AA1,不妨设AA1=eq\r(2),则AB=2,DF=eq\r(2),DC1=eq\r(3),C1F=eq\r(5),AD=eq\r(AA\o\al(2,1)+A1D2)=eq\r(3),DH=eq\f(DF·DC1,C1F)=eq\f(\r(2)×\r(3),\r(5))=eq\f(\r(30),5).∴sin∠HAD=eq\f(DH,AD)=eq\f(\r(10),5),即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为eq\f(\r(10),5).13.(创新拓展)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB的中点,过A,D,N的平面交PC于M,E为AD的中点.求证:(1)EN∥平面PDC;(2)BC⊥平面PEB;(3)平面PBC⊥平面ADMN.证明(1)因为AD∥BC,BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,所以AD∥平面PBC,又平面ADMN∩平面PBC=MN,所以AD∥MN,所以MN∥BC.因为N为PB的中点,所以M为PC的中点,所以MN∥BC,且MN=eq\f(1,2)BC.又E为AD的中点,所以四边形DENM为平行四
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