高中数 1.2.3.3简单的线面角及点面线面距离同步训练 苏教版必修2

【创新设计】-版高中数学1.2.3.3简单的线面角及点面线面距离同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面解析依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴B1B即为A1C1到底面ABCD的距离．B1B＝eq\r(3).答案eq\r(3)2．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为eq\r(2)，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________．解析作BD⊥AC于点D，连接C1D，则BD⊥平面ACC1A1，∴∠BC1D为所求，sin∠BC1D＝eq\f(BD,BC1)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(1,2)，∴∠BC1D＝30°.答案30°3.如图，在底面为菱形的四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝a，PB＝PD＝eq\r(2)a，AC＝a，则直线PC与底面ABCD所成角的大小为________．解析∵PA＝AB＝a，PB＝eq\r(2)a，即PA2＋AB2＝PB2，∴PA⊥AB，同理可证PA⊥AD，又AD∩AB＝A，∴PA⊥平面ABCD，则∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，∵AC＝a，∴∠PCA＝45°.答案45°4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A解析如图，取A1C1的中点D，可知B1D⊥平面ACC1A1，则∠DAB1为AB1与侧面ACC1A1所成的角．sin∠DAB1＝eq\f(B1D,AB1)＝eq\f(\f(\r(3),2)AB,\r(2)AB)＝eq\f(\r(6),4).答案eq\f(\r(6),4)5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1与平面ABC1D解析作A1E⊥AD1于点E，则A1E⊥平面ABC1D1，且点E为AD1的中点，sin∠A1C1E＝eq\f(A1E,A1C1)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)6.如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面所成的角为45°.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)求点A到平面PBC的距离．(1)证明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是圆O的直径，C为圆上一点，∴BC⊥AC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)解如图，过点A作AD⊥PC于点D，∵BC⊥平面PAC，AD⊂平面PAC，∴BC⊥AD，∴AD⊥平面PBC.∴AD即为点A到平面PBC的距离．∴依题意知∠PBA为PB与平面ABC所成角，即∠PBA＝45°，∴PA＝AB＝2，AC＝1，可得PC＝eq\r(5).∵AD·PC＝PA·AC.∴AD＝eq\f(2×1,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，即点A到平面PBC的距离为eq\f(2\r(5),5).eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是AD的中点，G为AB上一点，若CF⊥FG，则∠C1FG解析如图，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CC1⊥FG，,CF⊥FG，,CC1∩CF＝C，))∴FG⊥平面C1CF.又∵C1F⊂平面C1CF，∴FG⊥C1F，即∠C1FG＝eq\f(π,2).答案eq\f(π,2)8．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是________．解析若A，B在α同侧，如图①，则P到α距离为3；若A，B在α异侧，如图②，则P到α距离为PO′－OO′＝3－2＝1.答案3或19．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的菱形，且∠ABC＝45°，PA＝AB，则直线AP与平面PBC所成角的正切值为________．解析作AE⊥BC于点E，则BC⊥平面PAE，故∠APE为所求．AE＝ABsin45°＝eq\r(2)，∴tan∠APE＝eq\f(AE,PA)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)10．正三棱锥P－ABC的高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是________．解析如图，取BC中点D，作AE⊥PD于点E，则AE为所求．由∠PAO＝45°，PO＝2，可求PA＝2eq\r(2)，AO＝2，AD＝3，PD＝eq\r(5)，由PD·AE＝PO·AD，可得AE＝eq\f(6,5)eq\r(5).答案eq\f(6,5)eq\r(5)11．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB又∵AB⊥AD，AB⊥平面PAD，又∵PD⊂平面PAD.∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.12．如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，Q为AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，求：(1)点Q到直线BD的距离；(2)点P到平面BQD的距离．解(1)∵PA⊥平面ABCD，∴QA⊥BD过A作AH⊥BD于点H，连接QH.∵QA⊥BD，BD⊥AH，QA∩AH＝A.∴BD⊥平面AHQ.∴BD⊥QH，∴QH即为Q点到直线BD的距离．在Rt△BAD中，BA＝3，AD＝4，∴BD＝5，∴AH＝eq\f(12,5).在Rt△QAH中，QH＝eq\r(QA2＋AH2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))2)＝eq\f(13,5).∴点Q到直线BD的距离为eq\f(13,5).(2)连接DQ、BQ.∵PA和平面BQD相交于Q点，且Q是PA的中点，∴点P到平面BQD的距离即为点A到平面BQD的距离．在平面AQH内过点A作AE⊥QH，交QH于点E，由(1)BD⊥平面AHQ，BD⊂平面BQD，∴平面AHQ⊥平面BQD.则AE即为点A到平面BQD的距离．在Rt△QAH中，AE＝eq\f(QA·AH,QH)＝eq\f(1×\f(12,5),\f(13,5))＝eq\f(12,13).即点P到平面BQD的距离为eq\f(12,13).13．(创新拓展)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m(1)试确定m的值，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3eq\r(2)；(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP解(1)连接AC，设AC∩BD＝O，AP与平面BDD1B1交于点G，连接OG.因为PC∥B1B，B1B⊂平面BDD1B1，所以PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC＝OG，故OG∥PC，所以OG＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(m,2).又AO⊥DB，AO⊥BB1，DB∩BB1＝B，所以AO⊥平面BDD1B1.故∠AGO即为AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，tan∠AGO＝eq\f(AO,GO)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(m,2))＝3eq\r(2)，即m＝eq\f(1,3).故当m＝eq\