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文档简介
【创新设计】-版高中数学1.2.3.3简单的线面角及点面线面距离同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面解析依题可知∠B1AB=60°,平面A1B1C1D1∥平面ABCD,A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴B1B即为A1C1到底面ABCD的距离.B1B=eq\r(3).答案eq\r(3)2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为eq\r(2),底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________.解析作BD⊥AC于点D,连接C1D,则BD⊥平面ACC1A1,∴∠BC1D为所求,sin∠BC1D=eq\f(BD,BC1)=eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))=eq\f(1,2),∴∠BC1D=30°.答案30°3.如图,在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,PA=AB=a,PB=PD=eq\r(2)a,AC=a,则直线PC与底面ABCD所成角的大小为________.解析∵PA=AB=a,PB=eq\r(2)a,即PA2+AB2=PB2,∴PA⊥AB,同理可证PA⊥AD,又AD∩AB=A,∴PA⊥平面ABCD,则∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角,∵AC=a,∴∠PCA=45°.答案45°4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A解析如图,取A1C1的中点D,可知B1D⊥平面ACC1A1,则∠DAB1为AB1与侧面ACC1A1所成的角.sin∠DAB1=eq\f(B1D,AB1)=eq\f(\f(\r(3),2)AB,\r(2)AB)=eq\f(\r(6),4).答案eq\f(\r(6),4)5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1与平面ABC1D解析作A1E⊥AD1于点E,则A1E⊥平面ABC1D1,且点E为AD1的中点,sin∠A1C1E=eq\f(A1E,A1C1)=eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)6.如图,已知AB是圆O的直径,C为圆上一点,AB=2,AC=1,P为⊙O所在平面外一点,且PA垂直于圆O所在平面,PB与平面所成的角为45°.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)求点A到平面PBC的距离.(1)证明∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是圆O的直径,C为圆上一点,∴BC⊥AC.又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.(2)解如图,过点A作AD⊥PC于点D,∵BC⊥平面PAC,AD⊂平面PAC,∴BC⊥AD,∴AD⊥平面PBC.∴AD即为点A到平面PBC的距离.∴依题意知∠PBA为PB与平面ABC所成角,即∠PBA=45°,∴PA=AB=2,AC=1,可得PC=eq\r(5).∵AD·PC=PA·AC.∴AD=eq\f(2×1,\r(5))=eq\f(2\r(5),5),即点A到平面PBC的距离为eq\f(2\r(5),5).eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是AD的中点,G为AB上一点,若CF⊥FG,则∠C1FG解析如图,∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CC1⊥FG,,CF⊥FG,,CC1∩CF=C,))∴FG⊥平面C1CF.又∵C1F⊂平面C1CF,∴FG⊥C1F,即∠C1FG=eq\f(π,2).答案eq\f(π,2)8.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是2和4,则A,B的中点P到平面α的距离是________.解析若A,B在α同侧,如图①,则P到α距离为3;若A,B在α异侧,如图②,则P到α距离为PO′-OO′=3-2=1.答案3或19.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面是边长为2的菱形,且∠ABC=45°,PA=AB,则直线AP与平面PBC所成角的正切值为________.解析作AE⊥BC于点E,则BC⊥平面PAE,故∠APE为所求.AE=ABsin45°=eq\r(2),∴tan∠APE=eq\f(AE,PA)=eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)10.正三棱锥P-ABC的高为2,侧棱与底面所成角为45°,则点A到侧面PBC的距离是________.解析如图,取BC中点D,作AE⊥PD于点E,则AE为所求.由∠PAO=45°,PO=2,可求PA=2eq\r(2),AO=2,AD=3,PD=eq\r(5),由PD·AE=PO·AD,可得AE=eq\f(6,5)eq\r(5).答案eq\f(6,5)eq\r(5)11.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:CD⊥AE;(2)证明:PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P-ABCD中,因PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,故PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB又∵AB⊥AD,AB⊥平面PAD,又∵PD⊂平面PAD.∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.12.如图,已知P为矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,Q为AP的中点,AB=3,BC=4,PA=2,求:(1)点Q到直线BD的距离;(2)点P到平面BQD的距离.解(1)∵PA⊥平面ABCD,∴QA⊥BD过A作AH⊥BD于点H,连接QH.∵QA⊥BD,BD⊥AH,QA∩AH=A.∴BD⊥平面AHQ.∴BD⊥QH,∴QH即为Q点到直线BD的距离.在Rt△BAD中,BA=3,AD=4,∴BD=5,∴AH=eq\f(12,5).在Rt△QAH中,QH=eq\r(QA2+AH2)=eq\r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))2)=eq\f(13,5).∴点Q到直线BD的距离为eq\f(13,5).(2)连接DQ、BQ.∵PA和平面BQD相交于Q点,且Q是PA的中点,∴点P到平面BQD的距离即为点A到平面BQD的距离.在平面AQH内过点A作AE⊥QH,交QH于点E,由(1)BD⊥平面AHQ,BD⊂平面BQD,∴平面AHQ⊥平面BQD.则AE即为点A到平面BQD的距离.在Rt△QAH中,AE=eq\f(QA·AH,QH)=eq\f(1×\f(12,5),\f(13,5))=eq\f(12,13).即点P到平面BQD的距离为eq\f(12,13).13.(创新拓展)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m(1)试确定m的值,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3eq\r(2);(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q,使得对任意的m,D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP解(1)连接AC,设AC∩BD=O,AP与平面BDD1B1交于点G,连接OG.因为PC∥B1B,B1B⊂平面BDD1B1,所以PC∥平面BDD1B1,平面BDD1B1∩平面APC=OG,故OG∥PC,所以OG=eq\f(1,2)PC=eq\f(m,2).又AO⊥DB,AO⊥BB1,DB∩BB1=B,所以AO⊥平面BDD1B1.故∠AGO即为AP与平面BDD1B1所成的角.在Rt△AOG中,tan∠AGO=eq\f(AO,GO)=eq\f(\f(\r(2),2),\f(m,2))=3eq\r(2),即m=eq\f(1,3).故当m=eq\
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