高中数 1.2.2.2异面直线所成角同步训练 苏教版必修2

【创新设计】-版高中数学1.2.2.2异面直线所成角同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则异面直线AC与A1B1所成的角为________．解析∵过点A的直线AB∥A1B1，∴异面直线AC与A1B1所成的角，即为相交直线AC与AB所成的角，并且易知AC与AB所成的角为45°.因此，也可知异面直线AC与A1B1所成的角为45°.答案45°2．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为________对．解析如图，在连接正方体各顶点的所有直线中，只有相邻面上的面对角线才能构成“理想异面直线对”，并且只有2对，则所有的“理想异面直线对”的对数为4×2×2(上下面与四个相邻侧面的对数)＋4×2(四个侧面的对数)＝24(对)．故填24.答案243．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B1与BC解析异面直线A1B1与BC所成的角，即为相交直线AB与BC所成的角．∵AB与BC所成的角为90°.∴异面直线A1B1与BC所成的角也为90°.答案90°4．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.答案(1)60°(2)45°5．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________．解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案①③6．如图，已知不共面的直线a，b，c相交于点O，M、P是直线a上两点，N、Q分别是b，c上的点．求证：MN和PQ是异面直线．证明假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为α.∵M、P∈α，M、P∈a，∴a⊂α.∵O∈α，N∈α且O∈b，N∈b，∴b⊂α.同理c⊂α，∴a，b，c共面于α，与a、b、c不共面矛盾．∴MN、PQ是异面直线．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，E、F分别是AB，CD的中点．若EF＝eq\f(\r(2),2)AD，则异面直线AD与BC所成的角为________．解析如图所示，设G是AC的中点，连结GE，FG.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴FG∥AD且FG＝eq\f(1,2)AD，EG∥BC且EG＝eq\f(1,2)BC.∴GE与GF所成的锐角(或直角)为AD与BC所成的角．∵AD＝BC，∴EG＝FG＝eq\f(1,2)AD.又∵EF＝eq\f(\r(2),2)AD，则在△EFG中，EG2＝eq\f(1,4)AD2，FG2＝eq\f(1,4)AD2，EF2＝eq\f(1,2)AD2，∴EF2＝EG2＋FG2.∴∠EGF＝90°，即AD与BC所成的角为90°.答案90°8．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM答案90°9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1解析延长CA至点M，使AM＝CA，则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角，连结BM，易知△BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60°.答案60°10．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D解析因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角或其补角．因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝eq\r(B1C\o\al(2,1)＋MC\o\al(2,1))＝eq\r(2)，故tan∠MA1B1＝eq\f(B1M,A1B1)＝eq\r(2).即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为eq\r(2).答案eq\r(2)11．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝eq\r(3)，且AD⊥BC，对角线BD＝eq\f(\r(13),2)，AC＝eq\f(\r(3),2)，求AC和BD所成的角．解取AB，CD，AD的中点E，G，F，连接EF，FG，GE，则∠EFG(或其补角)为BD与AC所成的角，且EF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(13),4)，FG＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),4).再取AC的中点H，连接EH、HG，则EH∥BC，HG∥AD.EH＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)，HG＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2).∵AD⊥BC，∴EH⊥HG，∴EG2＝EH2＋HG2＝1.在△EFG中，EG2＝EF2＋FG2＝1，∴∠EFG＝90°，∴AC与BD所成的角为90°.12．已知正四棱锥S－ABCD(底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心)的侧棱长与底面边长都相等，E为SB的中点，求AE、SD所成角的余弦值．解如图所示，连接AC、BD，设其交点为O，连接EO，依题意，EO綉eq\f(1,2)SD，∴∠AEO或其补角为AE，SD所成的角，设AB＝SA＝2a，在正△SAB中，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(3)a，∵AE＝CE，且O为AC中点∴EO⊥AC.在Rt△AEO中，∠AOE＝90°，∴cos∠AEO＝eq\f(EO,AE)＝eq\f(a,\r(3)a)＝eq\f(\r(3),3).∴AE与SD所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3).13．(创新拓展)如图所示，E，F分别是三棱锥A－BCD所在棱上的点，已知AB＝CD＝3，eq\f(AE,ED)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，EF＝eq\r(5)，求AB和CD所成角的大小．解取BD上点G，使eq\f(BG,GD)＝eq\f(1,2)，则由eq\f(AE,ED)＝eq\f(BG,GD)＝eq\f(BF,FC)可得EG∥AB，GF∥CD，所以∠EGF即为AB和CD所成的角或其补角．因为eq\f(EG,