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【创新设计】-版高中数学1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球同步训练苏教版必修2eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,面积为eq\r(3),则这个圆锥的母线长为________.解析设母线长为x,则eq\r(3)=eq\f(\r(3),4)x2,故x=2.答案22.圆台的上、下底面半径分别为2和4,则它的中截面半径为________.解析由中位线定理,r=eq\f(2+4,2)=3.答案33.矩形ABCD中,AB=5,AD=2,以AB为轴旋转一周,所得圆柱的轴截面面积为________.解析r=2,h=5,故轴截面面积为(2+2)×5=20.答案204.有下列命题:①用平行于圆锥底面的平面截圆锥,截面和底面之间的部分是圆台;②以直角梯形的一腰为轴,另一腰为母线的旋转面是圆台的侧面;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;④圆台的母线延长后交于一点.其中为真命题的是________.解析本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的特点,关键是理解这三种几何体的特点.由概念知,①③④正确.答案①③④5.有下列命题:①圆柱的母线与轴垂直;②圆锥的母线长等于底面圆直径;③圆台的母线与轴平行;④球的直径必过球心其中为真命题的是________.解析①圆柱的母线与轴平行;②圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系;③圆台的母线延长线与轴相交.故①②③都是假命题,④是真命题.答案④6.将边长为4cm和8cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,求圆柱的轴截面的面积.解当以4cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8=2πr,∴2r=eq\f(8,π).∴S轴截面=4×eq\f(8,π)=eq\f(32,π)(cm)2.当以8cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR=4,2R=eq\f(4,π).∴S轴截面=8×eq\f(4,π)=eq\f(32,π)(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为eq\f(32,π)cm2.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是________.解析由于截面平行于圆锥的轴,故只能是①⑤.答案①⑤8.设M、N是球O的半径OP上的两点,且NP=MN=OM,分别过点N、M、O作垂直于OP的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为________.解析由题意知,M、N是OP的三等分点,三个圆的面积之比即为半径的平方之比.在球的轴截面图中易求得R2-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,3)))2=eq\f(8R2,9),R2-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2R,3)))2=eq\f(5R2,9),故三个圆的半径的平方之比为eq\f(5,9)R2∶eq\f(8,9)R2∶R2,所以面积之比为5∶8∶9.答案5∶8∶99.有下列四个命题:①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体;②以直角三角形的一边为旋转轴,旋转所得几何体是圆锥;③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交;④圆锥的轴截面是等腰三角形.其中错误的命题是________.解析因旋转轴未定所以①不正确,因为以斜边为轴旋转时所得的几何体不是圆锥所以②不正确,因为圆台的任两条母线延长一定相交所以③不正确,命题④正确.答案①②③10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4,母线长为10cm,则圆锥的母线长为________.解析如图,∵O1B1∶OB=1∶4,∴SB1∶SB=1∶4,即eq\f(SB-BB1,SB)=eq\f(1,4).∴eq\f(SB-10,SB)=eq\f(1,4),解得SB=eq\f(40,3).故圆锥的母线长为eq\f(40,3)cm.答案eq\f(40,3)cm11.一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)用x表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x为何值时,S最大?解(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r,由已知得eq\f(6-x,6)=eq\f(r,2),∴r=eq\f(6-x,3),∴S=2×eq\f(6-x,3)×x=-eq\f(2,3)x2+4x(0<x<6).(2)当x=-eq\f(4,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,3))))=3时,S最大.12.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体,用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.解轴截面如图所示,被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C=R,设圆锥的截面圆的半径O1D=x∵OA=AB=R,∴△OAB是等腰直角三角形.又∵CD∥OA,则CD=BC,∴x=l,∴所求截面面积S=πR2-πl2=π(R2-l2).13.(创新拓展)在有太阳的某个时刻,一个大球放在水平地面上,球的影子伸到距离球与地面接触点10m处,同一时刻一根长eq\r(3)m的木棒垂直于地面,且影子长1m,求此球的半径.解如图①,O′B即为球在光线照射下的影子,可知光线AB应与球相切,且A为切点,O′B=10m.由垂直于地面的木棒被光线照射得影子长为1m,且木棒长为eq\r(3)m,如图②,可知
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