高中数学立体几何典型题练习（共26题附参考答案）

高中数学立体几何典型题练习

班级考号姓名总分—

一、单选JS

1.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高

为边长的正方形面积等于该四棱锥T侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面

正方形的边长的比值为（

。孥D.国

422

2.已知工仅。为球。的球面上的三个点，为A.48c的外接圆,若。Q的面积为“，

AB=BC=AC=OO,,则球〃的表面积为（）

A.64KB.48aC.36殖D.32n

3.如图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为”,在

俯视图中对应的点为.V,则该端点在侧视图中对应的点为（）

N

A.£B.FC.GD.H

4.已知M8C是面积为9f的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若球。的表面积为16

4

〃，则。到平面48c的距离为（）

A.QB.1C.lD.”

42

1

5.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（

7

A.6+472B.4+472C.6+2&D.4+26

二、填空题

6.如图，在三棱锥A46U的平面展开图中,AC=1,AB=AD=4i,ABLAC.ABA.AD.z

CAE=30°,则coszra=.

Pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

6：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

Pa：若直线/U平面a,直线m_L平面a,则mjJ.

则下述命题中所有真命题的序号是_________.

①四人Pa②PSP：③Py④…、Vf

8.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为

2

三、解答题

9.如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，立为底面直径，花=“8c是底面

的内接正三角形，〃为以)上一点,PO=£l>O.

O

(1)证明：AO平面。8C;

(2)求二面角8-PC-E的余弦值.

10.如图，已知三棱柱Q8C-4瓦G的底面是正三角形，侧面8&GU是矩形，M./V分别为

BC.51G的中点，。为4”上一点，过SG和P的平面交力8于£，交47于月

(1)证明：AAX\\MN,且平面A\AMNlEB\C\F;

(2)设。为5151G的中心，若4。11平面E氏QF,且AO=AB,求直线瓦£与平面A.AMN

所成角的正弦值.

3

n.如图，在长方体"CO-48c冏中，点£1分别在棱上，且2。£・皿，B2F队.

(1)证明：点G在平面4".内；

(2)若$8=2,AD=\,/K=3，求二面角八卬-4的正弦值.

12.如图，四边形「曲力为正方形，£户分别为“),8C的中点，以"为折痕把△加•(•折起，

使点C到达点P的位置,且PFJ.BF.

(1)证明：平面抬尸，平面ABFD；

(2)求。P与平面.457•0所成角的正弦值.

4

13.如图，在三棱锥尸-48C中,AB=BC=S,PA=PB=PCaAC=A,。为彳C的中点.

(1)证明：。0」平面.48。；

(2)若点”在棱8c上,且二面角"-P/-C为3(T,求PC与平面4W所成角的正弦值.

14如图边长为2的正方形48(。所在的平面与半圆弧而所在平面垂直，”是加上异于C,

。的点.

(1)证明：平面AMD1平面BMC；

(2)当三棱锥M-18c体积最大时，求面M48与面A/CD所成二面角的正弦值.

5

15.如图,在四棱推P-A8CD中,AB//CD,目/8,记=/(7»=90.

(1)证明：平面平面PAD；

(2)若PA=PAAB=DC.4叩=90,求二面角Q-P8-C的余弦值

16.如图，四棱锥P-ABCD中，到面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底”⑺，

ABBC=-AD.ZBAD=2ABe=90;E蓬PD的中点.

(1)证明：直线(3〃平面；

(2)点M在棱PC上，且直线网与底面48(7)所成角为45,求二面角M-48-O的余弦值.

6

17如图在以A#£Q£尸为顶点的五面体中面ABEF为正方形AF=2FD/AFD=90,

(1)证明：平面ABEFJ■平面EFDC；

(2)求二面角E-8C-A的余弦值.

18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD.CD

±,AE=CF=；,EF交BD于点H.将9EF沿EF折到-D'EF的位置,OD'=g.

(I)证明Q'H_L平面ABCD.(n)求二面角B-DA-C的正弦值.

19.如图，四棱椎P-ABCD中，PAJL底面ABCD,ADnBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,

M为线段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中点.

(I)证明乂W1平面「人8;

(n)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

7

20.(2015新课标全国I理科)如图，四边形ABCD为菱形，〃宛■二鹿。。，£/是平面ABCD

同T!l的两点，5£±sjz®ABCD.ABCD.BE=2DF,AE1.EC.

A

(1)证明：平面/4£UL平面AFC;

(2)求直线与直线。所成角的余弦值.

21.如图，长方体.48(7)-48co中，,48=16,&C5Q,“严X,点E,歹分别在

上，4£=。/=4.过点£,尸的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；

(D)求苴线//与平面a所成角的正弦值.

8

22.(本小题满分12分)

如图，三棱柱中，侧面为菱形，.<J-BC.

(I)证明："=世；

(II)若U叫，"皿=601B=BC,求二面角，-4瓦/的余弦值

23.如图，四棱维P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA,平面ABCD,E为PD的中点.

(1)证明：PBH平面AEC

(2)设二面角D-AE-C为60°.AP=1,AD=百,杉棱锥E-ACD09^

9

24.如图，直四棱柱的底面是菱形，加1=4,AB=2,N84。=60°,E,M,

N分别是80,85,4。的中点.

(1)证明：AW"平面CXDE;

(2)求二面角W的正弦值.

25.如图，长方体ABCD-Ax^CxDx的底面为8。是正方形，点£在棱上，8£LECX.

(1)证明：8R平面ESG；

(2)若AE=AXE,求二面角的正弦值

10

26图1是由矩形ADEB,Rt“8c和菱形8FGC组成的T平面图形其中AB^l,BE=BF=2,

N咫U=60°,将其沿AB,8U折起使得8£与8尸质合，连结P6,如图2.

(1)证明：图2中的4C,G,。四点共面，且平面Q8UL平面8CGE;

(2)求图2中的二面角8-CG-V的大小.

11

附：参考答案

1.C3.A5.C

2.A4,C6.—~

4

【分析】

在△〃王.中，利用余弦定理可求得，可得出竹，利用勾股定理计算出伙;BD，可得出8尸，

然后在4BCF中利用余弦定理可求得cosN尸。的值.

【详解】

VAB1AC,AB=+,AC=\,

由勾股定理得BC=J/8、/C?=2,

同理得80=后,/.BF=BD=K,

在△/(7£中，AC=\,AE=AD=+.ZC/IE=30,

G1

由余弦定理得C£：=.4C：+d£：-2/C.4£CQS3O=l+3-2x|x73*—=1

2

・♦.CF=C£=I,

在△比?,•中,81=2,BF^4b,CF=I,

CFjBC：-BF‘1+4-6」

由余弦定理得BS/尸rs=

2CFBC_2x1x2_一；

故答案为：q.

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.

7.①®@

【分析】

利用两交线直线确定一个平面可判断命题P,的真假；利用三点共线可判断命题P：的真假；利用

异面直线可判断命豌P，的真假，利用线面垂通的定义可判断命题人的真假.再利用复合命题的

真假可得出结论.

12

【详解】

对于命题门，可设/，与相交，这两条直线确定的平面为a；

若/，与/，相交，则交点.4在平面。内，

同理，4与4的交点8也在平面。内，

所以，X8ua,即，,ua,命题四为真命题；

对于命题生，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命为线命题；

对于命题小，空间中两条直线相交.平行或异面，

由余弦定理得CE2=AC1+AE1-24C-J£cos3<r=l+3-2xlx73x^=|,

2

/.CF=CE=l,

在>中，BC=2,BF=4b,CF=\,

-4-6I

由余弦定理得cosN/十方==

2Cr-BC2x1x2-4

故答案为：

4

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.

7.®®®

【分析】

利用两交线直线确定一个平面可判断命题A的真假；利用三点共线可判断命题P、的真假；利用

异面直线可判断命题〃的鼻假，利用线面垂直的定义可判断命题人的K假.再利用复合命题的

真假可得出结论.

【详解】

对于命题四，可设/，与/,相交，这两条直线确定的平面为"；

若/，与/，相交，则交点X在平面〃内，

同理，/，与4的交点8也在平面“内，

13

命题小为假命题;

对于命题〃，若直线小，平面a,

则，”垂直于平面a内所有直线，

直线/u平面a，，直线〃直线/,

命题PA为真命题.

综上可知，Pi,Pa为真命题,Pi,Pi为假命题,

P,人P,为真命题，PSP2为假命题,

fVPi为真命题，fVf为真命题.

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力,

属于中等题.

8.争

【分析】

将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.

【详解】

易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示,

其中8c=2,”=/C=3,且点M为8c边上的中点，

设内切圆的圆心为。，

由于4忖=>/32-产=2近，故"w=$2x2应=2&,

14

设内切圆半径为r,则：

S^ABC=S^OB+S^BOC+S^OC=1x/!Bxr+lxfiCx/-+1x^Cxr

=；x(3+3+2)xr=2&,

解得：-*,其体积：y=2"=叵兀.

233

故答案为：专”.

【点睛】

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点

的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方

体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，

正方体的体对角线长等于球的直径.

9.(1)证明见解析；(2)乎.

【分析】

(1)要证明PA1平面PBC,只需证明PALPB,PAIPC即可；

(2)以。为坐标原点，04为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平

面的法向量为G,平面PCE的法向量为蓝，利用公式cos＜同片＞=言与计算即可得到答

案.

【详解】

(1)由题设，知为等边三角形，设.4£=1,

则00=立,CO=BO=\-AE=\,所以尸0=逅00=也,

22264

PC=yJPO2+OC2=—,PB=\IPO2+OB2=—,

44

又为等边三角形,则一^=20/,所以氏4=也，

sm602

PA2-bPB2=^=AB2,则//尸8=90°,所以P4上PB,

15

同理2I_LPC,又PCCPB=P,所以P/_L平面P8C;

（2）过。作ON118c交力8于点/V,因为尸O_L平面/8c,以。为坐标原点，OA为x轴，

ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则叫,O,O）,P（O,O，¥）,B（一界,o）,c（T邛,0）,

斤=（4-手，-半），而=（-;,乎,-孚）,而=（-;,0

•-T）'

4444442

设平面PC8的一个法向量为"=区,必,21）,

f«PC=0L-xt-V3yt-V2Zj=0Q■，旦

咋方=。，得心+-o-，得〒=-1,凹=0,

所以〃=（"0，-l）,

设平面PCE的一个法向量为m=（x2,y2,z2）

Lm-PC=01一x,—5/3y,—A/ZZ,=0

由稿.而=0,得i二2”五，令“2=1,得二2=-/2，乃

所以正=（1,当,-应）

---zrm2V2275

cos</w,n>=——="=-----；=—=----

故1〃卜向Gxg05,

,贝（JCOS。=2^.

设二面角8-PC-E的大小为e

【点晴】

16

本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运

算能力，是一道容易题.

10.(1)证明见解析；(2)噜.

【分析】

(1)由切”分别为8c,4孰的中点，MN//CQ,根据条件可得小〃叫，可证MN/A44,要

证平面EB£F1平面A,AMN,只需证明EF1平面A、AMN即可；

(2)连接MP,先求证四边形CW"是平行四边形，根据几何关系求得E尸，在4G截取

B©=EP，由(1)BC工平面44MN,可得N0W为8E与平面.4/MV所成角，即可求得答

案.

【详解】

(l)vM，N分别为8C,4G的中点，

又4力〃网

MN//AA,

在A/IBC中，M为8c中点，则力M

又;侧面防CC为矩形，

・•・BCLBB,

・・•MN//BB1

MN1BC

由MNcAM=M,MM/A/u平面片/MN

/.BC±平面A、AMN

又「B\CJBC,且8£<z平面48C,BCu平面/BC,

.・.4G〃平面力8c

又•・・B£u平面，且平面平面,48C=E/

17

・・・B\CJ/EF

...EFI/BC

又BC1平面A}AMN

.・.£尸，平面

,/EFu平面EBgF

・•・平面石JL平面44WN

・・•AO//平面EB£F,平面AONPc平面EBlClF=NP

・•・AO//NP

根据三棱柱上下底面平行，

其面ANMAc平面ABC=/A/,面A}NMAc平面A^C}=A、N

・•・ON//AP

故：四边形ON"是平行四边形

设△力8C边长是（加＞0）

可彳导:ON=AP,NP=AO=AB=6m

・・・。为△44G的中心，且△4名G边长为6加

/.ON=；x6xsin60°=6m

故：ON=AP=®

・・・EF//BC

18

APEP

_EP

•・访二T

解得：EP=m

在B£«B、Q=EP=m,WQN=2m

•••B]Q=EP且B、Q〃EP

四边形是平行四边形，

B.E//PQ

由(1)5.C,，平面//MN

故乙QPN为4E与平面//MN所成角

2222

在放△0PN，根据勾股定理可得：PQ=ylQN+PN=7(2W)+(6/»)=2V10/H

QN2mVio

sin/QPN=

PQ~2厢mTo-

•••直线与平面4/M/V所成角的正弦值：等.

【点睛】

本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线

面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.

11.(1)证明见解析；(2)年.

【分析】

(1)连接C£、C,F,证明出四边形4£G尸为平行四边形，进而可证得点G在平面，4E尸内；

(2)以点G为坐标原点，CQnG4、GC所在直线分别为X、-z轴建立空间直角坐标系

G-,利用空间向量法可计算出二面角A-EF-A.的余弦值，进而可求得二面角A-EF-A,

的正弦值.

【详解】

19

(1)在棱CG上取点G,使得GG=gcG,连接。G、FG、QE、C,F,

在长方体力BCD-中，ADUBC^AD=BC,BB/CC、且BB、=CC,,

122

'.C,G=-CG,BF=ZFB、，；.CG=qCC、=qBB[=BF且CG=BF,

所以，四边形8CG/为平行四边形，则/尸〃OG且/f=OG,

同理可证四边形。EQG为平行四边形，C、E〃DG且C、E=DG,

•••QE//AF且QE=AF,则四边形，4EC尸为平行四边形，

因此，点G在平面力£户、内；

(2)以点G为坐标原点，。口、G4、GC所在直线分别为x、人二轴建立如下图所示的空

间直角坐标系G-孙z,

则4(2,1,3)、4(2,1,0)、£(2,0,2)、户(0,1,1),

施=(0,-1,-1),赤=(-2,0,-2),羽=(0,-1,2),乖=(-2,0,1),

设平面ZE尸的法向量为/=(王,凹，4),

[m-AE=0f-v,-z,=0—..

由——，得I'取4=7，得士=%=1，则"=I11，

|[/H/4F=0(-2xi-2zl=0

设平面4防的法向量为7=(々,8,z?),

[7?•AXE=0f-y^+2z,=0一z、

由一，得；2取Z2=2，得0=1,%=4，则〃=1,4,2,

|[小4/=0[-2X2+Z2=0

20

B

J

么

---m-n3v7

cos<n>=m=-7=~T==—

同v3xV217，

设二面角.4-EF-4的平面角为〃，则|cos6|=?,sine=，l-cos2=半.

因此，二面角A-EF-A］的正弦值为手.

【点睛】

本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算

能力，属于中等题.

12.(1)证明见解析；(2)£.

4

【分析】

(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BF1PF,BF1EF,又因为PF(}EF=F,

利用线面垂直的判定定理可以得出8尸，平面尸££，又BFu平面ABFD，利用面面垂直的判定

定理证得平面PEF，平面48/Z)；

21

(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面力即D的

法向量，设。户与平面48用所成角为e,利用线面角的定义，可以求得

uucrUUT£p-

sind=vmawy=-4==—»得到结果.

HP\\DP^V34

【详解】

(1)由已知可得,BELPF,BELEF,又PFC\EF=F,所以平面尸£尸.

又BFu平面ABFD,所以平面PEF1平面ABFD；

(2)作/7/J.E/,垂足为〃.由(1)得，PH工平面4BFD.

以，为坐标原点，而的方向为｝‘轴正方向，|旃|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系

H-xyz.

由(1)可得,DEJ.PE.又DP=2,DE=\,所以PE=百又PF=1,EF=2,^PEIPF.

可得PH=—―,EH=.

22

则H(OOO),尸0,0用,0'1,-：0),而=1,|,曰，丽=(0,0,等为平面的法向

量.

iIILWIIIU3

HPDP

设DP与平面ABFD所成角为。,则sin。=titwtOT|="&7===亘

HP\\DP\V34

所以分与平面,。所成角的正弦值为去

22

【点睛】

该题考杳的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的

求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证

明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角

的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.

13.(1)证明见解析；(2)£.

4

【分析】

(1)根据等腰三角形性质得垂直AC,再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB,最后

根据线面垂直判定定理得结论；

(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面外例一个法向量,

利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得

用坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面01例法向量夹角，最后根据线面角与向量夹

角互余得结果.

【详解】

(1)因为”=CP=4C=4,。为/C的中点，所以0P1/C,且QP=26.

连结。8.

因为/18=8C=交/C,

2

所以为等腰直角三角形，

目OBSC,OB=g.4C=2

由OP^+OB'=PB?知P0工OB.

由尸_L/C知。平面/8C.

(2)如图，以。为坐标原点，话的方向为•'轴正方向，建立空间直角坐标系。一k2.

23

由已知得0(0,0,0),8(2,0,0),/(0,-2,0),C(0,2,0)/(0,0,2扬，后=(0,2,273)

UU1

取平面的法向量08=(2.0,0).

UUU1

设历(。,2-。,0)(0＜。42),则"Af=(凡4一a,0).

设平面PAM的法向量为"=(xj,z).

.—---2y+2Gz=0

由".五=。"〃=。得|二4一叨二0

可取2n=(6(。-4),岛,-。)

26(〃-4)__

所以cos〈O8•万〉=2麻-4)2+3/+。2.由已知得COS〈O8E=E

2百|口-4|G-4

所以=V.解得”-4(舍去)，a=-

2yl3(a-4)2+3a2+a2

8yli473

所以万=

亍'亍'-5

又定=(0,2,-26)，所以cos〈无，/=立

4

所以PC与平面4M所成角的正弦值为?

【点睛】

利用法向量求解空间线面角的关键在于"四破"：第一，破"建系关"，构建恰当的空间直角

坐标系；第二，破"求坐标关"，准确求解相关点的坐标；第三，破"求法向量关"，求出平

面的法向量；第四，破"应用公式关".

24

14.（1）见解析

（2）竽

【分析】

（1）先证BC_L平面CMD彳导BC_LCM,再证CM_LMD,进而完成证明.

（2）先建立空间直角坐标系，然后判断出M的位置,求出平面MAB和平面MCD的法向量,

进而求得平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.

【详解】

解：（1）由题设知，平面C7W。，平面28U。交线为CA因为BC±平面所以

8d平面CMD.故BC±DM.

因为〃为加上异于C,。的点，且为直径，所以DMJ.CM.

又8CnC7M=C所以平面

而。用u平面力例，故平面力例。_L平面BMC.

（2）以。为坐标原点，次的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

当三棱锥例-48C体积最大时，例为国的中点.

由题设得。（0，。，0），4（2,0,0），8（2,2,0）,C（0,2,0）,M（0,1,1）,

JA7=（-2,1,1）,J5=（O,2,O）,DJ=（2,0,0）

设〃=（x,乂z）是平面例28的法向量厕

\,n-=0,i-2x+y+z=0,

叫2a

可取〃=(1,0,2).

25

方是平面例。的法向量，因此

cos〃,E=q^i=在

同以5

sinn.DJ=

5

所以面例48与面所成二面角的正弦值是竽

【点睛】

本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考

查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化

为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题.

15.(1)见解析；(2)-g.

【详解】

(1)由已知/B/Pu/COPugO0,得CDrPD.

由于AB//CD,故AB1.PD,从而平面PAD.

又ABu平面PAB,所以平面以8_L平面PAD.

(2)在平面PAD内作PF1AD,垂足为F,

由(1)可知，,平面P/O,故,可得"，平面.48。.

以厂为坐标原点，石的方向为x轴正方向，|而|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

F-xyz.

26

由(1)及已知可得4与0,0,P0,0，*),

所以卮=卜¥，1，-#)，Cfi=(>/2,0,0),而，丽=(0，1，0).

设』=(xj,z)是平面PC8的法向量，则

fn-PC=0,\~^-x+y-^-z=0,

即2-2

5c8=。，g=o.

可取)=(0、-1,-丹

设而=(x,_y,z)是平面E48的法向量,则

「而•PN=0,1—X-^-Z=0,一/ini'

居.荏=0即2/0可取吁(1,。』).

Iy,

/___\万而V3

则8s…丽］，

所以二面角A-PB-C的余弦值为-，.

【名师点睛】

高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：

①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；

②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；

27

③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标

是解题的关键.

16.(1)见解析；(2)当

【详解】

试题分析：(1)取口的中点尸，连结E尸，8尸，由题意证得CEIIBF,利用线面平行的判

断定理即可证得结论；(2)建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：而=(0,-6,2),

7=(0,0,1),然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M-N8-Z)的余弦值为萼.

试题解析：(1)取口中点尸，连结E尸，BF.

因为E为PO的中点，所以EF//4D,EF=由NBAD=NABC=90。彳导BC//4D,又

BC=-AD

2

所以EF&8C四边形8cM为平行四边形，CE/IBF.

又BFu平面产,CES平面P/8,故CE〃平面P/JB

(2)

由已知得8/_L/D,以A为坐标原点，前的方向为X轴正方向，|而|为单位长，建立如图所示

的空间直角坐标系A-xyz,则

则4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),尸(0,1,6)，

斤=(1,0,-矶方=(1,0,0)则

BM=(x-Ly,z\PM=(x,j-1,z-6)

因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而G=(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以

28

则瓯讣sin45。，"J'"当

即(X-l)2+y2-z2=0

又M在棱PC上，设两=APC,则

x==l,z=y/5--JiA

X=l+——X=1------

22

由①，②得〈y=i（舍去My=i

瓜瓜

lz=-Tlz=T

所以，从而AM=I-¥，1,当）

设加山。**。）是平面ABM的法向量,则

（mAM=0[（2-72）X0+2y0+V6z0=0

s—即S''

[/n-AB=0|[x0=0

_l/---\nvnV10

所以可取m=（0,-瓜2）.于是es（，"，"）=™=-

因此二面角M-AB-D的余弦值为粤

点睛:(1)求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利

用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算.

(2)设m,〃分别为平面a,颂法向量，则二面角西<6,〃>互补或相等，故有|cos0

|=|cos<m,〃>|=丽.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

17.(1)见解析；(2)-誓

【解析】

试题分析：(I)证明AF，平面EFDC,结合AFu平面RF，可得平面BFJ■平面EFDC.(II)

建立空间坐标系，利用向量求解.

试题解析：(I)由已知可得AFLDF,AFLFE,所以AF1平面EFCC.

29

又AFu平面RF,故平面RF1平面EFDC.

（口）过。作DGEF,垂足为G,由（I）知DG，平面RF.

以G为坐标原点，灰的方向为x轴正方向，|不|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-

xyz.

由(I)知NDFE为二面角D-AF-E的平面角，故NDFE=60。，则|DF|=2,\DG\=3,可

得4(140),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,V3).

由已知,AB//EF,所以A8〃平面EFDC.

又平面ABCDCl平面EFDC=0C,故AB//CD,CD//EF.

由BE//AF,可得BE，平面EF",所以ZCEF为二面角C-BE-F的平面角，

4EF=60°.从而可得C(-2,0,V3).

所以正=(1,0,V3),F=(0,4,0),AC=(-3,-4.V3),F=(-4,0,0).

设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，则

(n-EC=0即卜+V3z=0

U-B->=0"I4y=0

所以可取n=(3,0,-V3).

设m是平面RCD的法向量，则［m星=°,

同理可取m=(0,V3,4).则cos/n,m)==-4察.

同时19

故二面角E-BC-A的余弦值为一鬻.

【考点】垂直问题的证明及空间向量的应用

【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明

主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进

30

行推理，注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主.第二问一

般考查角度问题，多用空间向量法解决.

18.(I)详见解析；(口)^.

【解析】

试题分析：(I)证ACIIEF,再证D,H10H,最后证D,H1平面ABCD；(口)用向量法求

解.

试题解析：（I）由已知得4c"LB。，4。=。。，又由4E=C尸得第=若，故ACIIEF.

因此EFLHD,从而EFJ.DH.由AB=5/C=6得。0=BO=>/AB2-AO2=4.

由EF||4c裾=非=；所以OH=1,DH=DH=3.

于是。力2+。”2=32+12=10=D02,

故。，10H.

又CH1EF,而OHnEF=H,

所以OH1平面ABCD.

(II)如图，以H为坐标原点，麻的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H-xyz,则

H(0,0,0),4(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3),-四=(3.70)，前=(6,o,o),

AD'=(3,1,3).设"'=F'4)是平面ABD的法向量，则『•"=0,即,3：-^1=0

Im/ID=0(3勺+力+3与一0

f.

71坐=°,即

n-AD=0

31

Lr+竽二胃_n,所以可取n=(0,-3,1).于是cos<m,n>=售台==^==第,sin<

m,n>=誓.因此二面角B-DA-C的正弦值居等.

【考点】线面垂直的判定、二面角.

【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理;@anb,a_La=bJ_a;③a邛,

a±a=>a±|3;④面面垂直的性质.线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.求二面角最常用的

方法就是分别求出二面角的两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角

的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

19.(I)详见解析；(口)袈.

【详解】

(I)由已知得出/=23=2.

取8P的中点T，连接,由N为尸C中点知rvBC,rv=；8c=2.

又.IDBC,WN£AM，四边形/MAT为平行四边形，于是A/N〃/r.

因为XTu平面E1B,SINx平面尸W5,所以W平面尸.18.

(n)取BC的中点E,连结一江.由3=得.1EJC,从而一4£_3，且

AE=《AB：-BE，=J_1B：一(与2=#.

以/为坐标原点，AE的方向为•'轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H-由题意

知，

尸(0。4),37(0,2,0),C(75,2.O)，喈工2),

丽=(0.2,-4),丽=(乎,1,-2),而=(争,2).

设"=(x,y,z)为平面PMN的一个法向量，则

32

--八2y-4z=0,

n*PM=0,一

{一即{6cc

"•PN=0,-x+y-2z=0,

可取〃=(0,2,1).

于是卜os〈〃,而＞|=匕曰=迈

NI同网25•

【考点】

空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角.

【技巧点拨】

（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的

中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空

间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理.

20.（1）见解析；（2）率

【解析】试题分析：（I）连接BD,设BDCIAC=G，连接EG,FG,EF,在菱形ABCD中,

不妨设GB=1易证EG±AC,通过计算可证EG±FG，根据线面垂直判定定理可知EG_L平面

AFC,由面面垂直判定定理知平面AFC_L平面AEC;（口）以G为坐标原点，分别以旗，元

的方向为x轴，y轴正方向，|而|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz,利用向量法可求

出异面直线AE与CF所成角的余弦值.

33

试题解析：(I