苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4-3-1等比数列的概念4-3-2等比数列的通项公式练习含答案

4.3等比数列4.3.1等比数列的概念4.3.2等比数列的通项公式基础过关练题组一等比数列的概念及其应用1.(2024上海外国语大学附属中学期中)已知a,b,c,d成等比数列,给出下列三个数列:(1)a2,b2,c2,d2;(2)ab,bc,cd;(3)a-b,b-c,c-d,其中一定是等比数列的有()A.0个B.1个C.2个D.3个2.(多选题)(2024江苏南通如东期中)已知数列{an},{bn}都是等比数列,则下列数列中一定是等比数列的是()A.{anbn}B.{an+bn}C.anbnD.{an题组二等比数列的通项公式3.(2023江苏苏州常熟抽测)已知正项等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7,则q+d=()A.4B.0C.-4D.24.(2024江苏徐州期中)已知等比数列{an}的首项为3,则“a9<a11”是“a11<a14”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2024江苏高邮调研)已知{an}为等比数列,公比q≠1,a1=12,且3a1,2a2,a3成等差数列,则通项公式an=6.(2024江苏南京航空航天大学苏州附属中学月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,∀n∈N*,都有Sn=23an−13,若1<Sk<9,k题组三等比中项7.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则abA.±128.(2024江苏扬州宝应期中)已知等差数列{an}满足a1=-8,a2=-6.若将a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为()A.-1B.0C.1D.29.(2024江苏徐州铜北中学学情调研)已知等差数列{an}(an≥0)的前n项和为Sn,若13,S3+1,S9成等比数列,则S6S题组四等比数列的性质10.(2024江苏苏州星海实验中学月考)在等比数列{an}中,a4a5=2,a8a9=32,则a6a7=()A.64B.±8C.-8D.811.(2024江苏百校大联考)在等比数列{an}中,a7=6,则a5+4a9的最小值是()A.12B.24C.36D.4812.(2024山东济南莱芜第一中学月考)已知正项等比数列{an}中,a2a2023=4,则log2a1+log2a2+…+log2a2024=()A.1012B.2024C.21012D.2202413.(多选题)(2023江苏南通如皋期中)已知数列{an}为等比数列,则()A.数列a2,a4,a8成等比数列B.数列a1a2,a3a4,a5a6成等比数列C.数列a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列D.数列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列能力提升练题组一等比数列的概念、通项公式及其应用1.(2023江苏盐城第一中学调研)已知数列{an}满足a1=2,an+1=an4,则aA.220B.224C.21024D.240962.(2024辽宁大连八中期中)已知等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为()A.32B.16C.128D.643.(2023吉林辽源第五中学月考)已知数列{an}满足a1=1,a2=132,aA.2-12B.2-10C.2-9D.2-84.(多选题)(2024江苏南通海安高级中学阶段测试)已知数列{an},{bn}的项数均为k(k为确定的正整数,k≥2),若a1+a2+…+ak=2k-1,b1+b2+…+bk=3k-1,则()A.a1=1B.{bn}中可以有(k-1)项为1C.bnD.bn5.(多选题)(2024江苏盐城期中)已知数列{an}满足an+2an-1=kn,n∈N*,n≥2,则()A.当k=0且a1≠0时,{an}是等比数列B.当k=1时,anC.当k=-2时,anD.当k=-3且a1=-3时,an6.(多选题)(2024江苏苏州中学期中)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,且满足a4=27,an+1=2Sn+c,则()A.q=3B.c=1C.a1=3D.若bn=an2023,则当b1b2…b7.(2024江苏无锡锡东高级中学阶段性考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=5,{bn}是等比数列,满足anbn=(n+1)2n,则Sn=.

8.(2024江苏镇江期中)已知数列{an}对任意n∈N*满足an+1=3a(1)如果数列{an}为等差数列,求a1;(2)如果a1=32①是否存在实数λ,使得数列1a②求数列{an}的通项公式.题组二等比数列的性质及综合应用9.(2024重庆第八中学月考)记等比数列{an}的前n项积为Tn,若a1·a5·a12为确定的常数,则下列各数为常数的是()A.T7B.T8C.T10D.T1110.(2024江苏张家港梁丰高级中学模拟)若{an}为等差数列,Sn是其前n项和,且S11=223π,{bn}为等比数列,b5·b7=π24,则tan(a6A.311.(多选题)(2024辽宁大连第八中学期中)设等比数列{an}的公比为q,其前n项积为Tn,且a1>1,a89a90>1,(a89-1)·(a90-1)<0,则下列结论正确的是()A.0<q<1B.a89a91>1C.T90是{Tn}中最大的项D.使Tn>1成立的最大正整数n等于17812.(2024浙江宁波北仑中学期初考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S11>S10>S12,若bn=2023an,数列{bn}的前n项积为Tn,则使Tn>1的最大正整数n为13.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a2=27,且a5+6a4=a2a3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2log3an,Sn是数列{bn}的前n项和,求使得Sn≥270成立的正整数n的最小值.14.(2023江苏南京外国语学校期中)设同时满足条件:①bn+bn+22≥bn+1;②bn≤M(n∈N*,M是常数)的无穷数列{bn}叫作P数列,已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=aa(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2Snan+1,若数列{b

答案与分层梯度式解析4.3等比数列4.3.1等比数列的概念4.3.2等比数列的通项公式基础过关练1.C设数列a,b,c,d的公比为q(q≠0),则a,b,c,d均不为0,且ba对于(1),b2a2=c2b2=d2c2对于(2),bcab=ca=q对于(3),a-b=a(1-q),b-c=b(1-q)=aq(1-q),c-d=aq2(1-q),当q≠1时,a-b,b-c,c-d成等比数列,且公比为q,但当q=1时,a-b=b-c=c-d=0,不是等比数列.故选C.2.AC设数列{an},{bn}的公比分别为q1,q2(q1,q2≠0).对于A,an+1bn+1anbn=an对于B,不妨取an=(-1)n,bn=(-1)n+1,满足{an},{bn}都是等比数列,但an+bn=(-1)n+(-1)n+1=(-1)n-(-1)n=0,故数列{an+bn}不一定是等比数列,B不满足条件;对于C,an+1bn+1÷对于D,不妨取an=(-2)n,bn=2n,满足数列{an},{bn}都是等比数列,当n=2k,k∈N*时,an-bn=(-2)n-2n=(-2)2k-22k=4k-4k=0,故数列{an-bn}不一定是等比数列,D不满足条件.故选AC.3.A由b2故选A.4.B设等比数列{an}的公比为q,由a9<a11,得3q8<3q10,即q2>1,∴q>1或q<-1,当q<-1时,a11-a14=3q10(1-q3)>0,即a11>a14,充分性不成立;当a11<a14时,3q10<3q13,∴q>1,则q8<q10,即3q8<3q10,故a9<a11,必要性成立.故“a9<a11”是“a11<a14”的必要不充分条件,故选B.5.答案12·3解析由题意得4a2=3a1+a3,即4a1·q=3a1+a1q2,∴q2-4q+3=0,解得q=1或q=3,又q≠1,∴q=3,∴an=12·3n-16.答案4解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=23(an-an-1即an=-2an-1,又a1=S1=23a1所以{an}是首项为-1,公比为-2的等比数列,则an=-(-2)n-1,Sn=23因为1<Sk<9,所以1<(-2)k-13<9,即4<(-2)k<28,k7.D由题意得a=1+32=2,b=±1×4=±2,所以ab易错警示同号的两个数的等比中项有两个,且它们互为相反数,不能默认是正数.8.A设{an}的公差为d.因为a1=-8,a2=-6,所以d=a2-a1=2,则an=2n-10,所以a4=-2,a5=0,设a1,a4,a5都加上x,得到的三个新数依次为x-8,x-2,x,则(x-8)x=(x-2)2,解得x=-1.故选A.9.答案5解析由题意得(S3+1)2=13S9,所以(3a2+1)2=13×92(a1+a9),即(3a2故S6S3当且仅当a2=13时取等号,则S10.D设{an}的公比为q(q≠0).由等比数列的性质得(a6a7)2=a62·a72=(a4a8)(a5a9)=a4a由a6a7=a4a5q4=2q4>0,可得a6a7=8.故选D.11.B设{an}的公比是q,则a9=a7q2,a7=a5q2.因为a7=6>0,所以a5>0,a9>0.由等比数列的性质可得a5a9=a7则a5+4a9≥24a5a9=4a7=24,当且仅当a5=4a912.B由等比数列的性质得a1a2024=a2a2023=a3a2022=…=a1012a1013=4,故log2a1+log2a2+…+log2a2024=log2(a1a2…a2023a2024)=log2[(a1a2024)(a2a2023)…(a1012a1013)]=log241012=1012log24=1012×2=2024.故选B.13.BD设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质知a4a2=q2,a8a4易知数列中每项都不为0,且a3a4a1a当数列{an}为1,-1,1,-1,1,…时,a1+a2=a3+a4=a5+a6=0,故C错误;易知数列的每项都不为0,且a4+a5+a6a1能力提升练1.C由an+1=an4,得an>0,故lnan+1=4lnan,又a故{lnan}是首项为ln2,公比为4的等比数列,则lnan=4n-1·ln2,所以lna6=45·ln2=ln21024,故a6=21024.故选C.2.D设等比数列{an}的公比为q.由题意得a2从而a1+a3=a1+a1q2=54a1=10,解得a1=8,故an=a1qn-1=24-n,则数列{an令an≥1,得n≤4,故(a1a2…an)max=a1a2a3a4=23×22×21×20=23+2+1+0=64.故选D.3.D由题意得数列an+1an当n≥2时,an=anan-1·an-1an-2·…·∵n=1时,21-8+7=1=a1,∴an=2n2-8n+7,故a5=225-40+7=24.AC由题意可得a1+a2+…+ak=2k-1①,a1+a2+…+ak-1=2k-1-1②,k≥2,①-②得ak=2k-1,k≥2,同理可得bk=2×3k-1,k≥2,对于A,a1+a2=22-1=3,a2=2,所以a1=1,故A正确;对于B,b1+b2=32-1=8,b2=2×3=6,所以b1=2,当n≥2时,bn=2×3n-1>2,故B错误;对于C,D,bkak=2×32k-1,所以当k≥2时,5.ACD对于A,当k=0时,an+2an-1=0,即an=-2an-1,又a1≠0,∴anan-1=-2,∴{an对于B,当k=1时,an+2an-1=1,∴an=-2an-1+1,则an-13=−2an−1+23=−2对于C,当k=-2时,an+2an-1=(-2)n,则an(-2)∴an(-2)n对于D,当k=-3时,an+2an-1=(-3)n,则an(-3)∴an又a1(-3)1−3=-3-3-3=-2≠0,∴a6.ABD因为an+1=2Sn+c,所以an=2Sn-1+c(n≥2),两式相减得an+1=3an(n≥2,n∈N*),故{an}的公比q=3,A正确;由a4=27,得a1·33=27,解得a1=1,C错误;an=3n-1,在an+1=2Sn+c中,令n=1,得a2=2S1+c=2a1+c=2+c=3,解得c=1,B正确;bn=an2023=3n-12023,则bn+1故数列{bn}是以12023令bn=3n-12023<1,得3n<6069,由37=2187<6069,38即b1<b2<…<b7<1<b8<…,故当b1b2…bn最小时,n=7,故D正确.故选ABD.7.答案n解析设等比数列{bn}的公比为q,由题意知q=2,∵S5=5a3=5,∴a3=1,则b3=(3+1)×2∴b1=8,bn=8·2n-1=4·2n,故anbn=an·4·2n=(n+1)2n,∴an=n+1∴Sn=n28.解析(1)由an+1=3an1+2an由{an}为等差数列,可得a1+9a当a1=0时,an=0,符合条件;当a1≠0时,1+91+8a1=61+2a1,整理得4a1当a1=1时,an=1,符合条件;当a1=14时,a2=12,a3=a3-a2≠a4-a3,不满足{an}为等差数列,舍去.综上可得,a1=0或a1=1.(2)①当a1=32时,1假设存在满足题意的λ,则1an+1所以23λ=2又因为1a1−1=−13≠0,所以数列1故存在实数λ=1符合题意.②由①知1an−1=−139.D设等比数列{an}的公比为q,则a1·a5·a12=a1·a1q4·a1q11=(a1q5)3为确定的常数,即a6为确定的常数.T7=a1a2…a6a7=a4T8=a1a2…a7a8=(aT10=a1a2…a9a10=(a5a6)5,不符合题意;T11=a1a2…a10a11=a6故选D.10.D因为{an}为等差数列,故S11=11(a1+a11因为{bn}为等比数列,b5·b7=b62=π2当b6=π2时,tan(a6+b6)=tan2当b6=-π2时,tan(a6+b6)=tan2所以tan(a6+b6)=33,故选D11.AD由a89a90>1,得a12·q177>1,所以q(a1·q88)又a1>1,(a89-1)(a90-1)<0,所以a89>1,a90<1,所以0<q<1,故A正确;由a89·a91=a由T90=T89·a90,0<a90<1,则T90<T89,故C错误;T178=a1·a2·…·a178=(a1·a178)·(a2·a177)·…·(a89·a90)=(a89·a90)89>1,T179=a1·a2·…·a179=(a1·a179)·(a2·a178)·…·(a89·a91)·a90=a90179<1,故D故选AD.12.答案21解析设等差数列{an}的公差为d,因为S11>S10>S12,所以a11=S11-S10>0,a11+a12=S12-S10<0,故a12<0,故d=a12-a11<0,则bnbn-1=2023an-an故{bn}为各项均为正数的等比数列,且是递减数列.又b11=2023a11>1,b12=2023a12<1,b11b故b1>b2>…>b11>1>b12>b13>…,所以T20=b1×b2×…×b20=b1×(b2b