湘教版高中数学选择性必修第一册第4章计数原理4-2 4-3组合课件

1.排列的定义包含两个过程:(1)取出元素:从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同

的元素(可分成m步,一步取一个、不放回地取);(2)按序排列:把这m个不同的元素

按照一定的顺序排成一列.因此,两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素及其

排列顺序完全相同.2.组合是从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,不论次序地构成一组.两个

组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同.4.2排列4.3组合1|

排列与组合概念的理解1.排列数公式(1)

=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(常用来求值);(2)

=

(常用来化简或证明).2.组合数公式(1)

=

=

;(2)

=

;(3)

=

反映对称性,当m>

时,通常将

转化为

;(4)

=

+

.2

|

排列数公式与组合数公式1.同一个排列中,同一个元素可以重复出现吗?不可以.2.在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列发生变化吗?发生.排列是有顺序的,元素位置发生变化,排列就会发生变化.

知识辨析1.求解此类问题时要注意对公式的选择与灵活应用.2.解有关排列数、组合数的方程或不等式的步骤1与排列数、组合数有关的计算

典例1

(1)

+

+

+…+

等于

(

)A.

B.

C.

-1

D.

-1(2)解方程:3

=5

;(3)解不等式:

>

.C解析

(1)

+

+

+…+

=

+

+

+

+…+

-

=

+

+

+…+

-1=…=

+

-1=

-1.(2)由排列数公式和组合数公式,知原方程可化为3·

=5·

,则

=

,即(x-3)(x-6)=40,解得x=11或x=-2.易知x≥7,则x=11.(3)由

>

得

⇒

⇒

⇒6≤n<10.因为n∈N+,所以原不等式的解集为{6,7,8,9}.

典例2化简求值:(1)

;(2)

+

+

+…+

(n≥2且n∈N+).解析

(1)

=

=

=3.(2)∵

=

-

,∴

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=1-

.1.“在”与“不在”问题解决此类问题,常用的方法是特殊位置(元素)分析法,遵循的原则是优先排特

殊位置(元素),即需先满足特殊位置(元素)的要求,再处理其他位置(元素),如果有

两个及以上的约束条件,那么在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件;当直

接求解困难时,可考虑用间接法解题.2.“相邻”与“不相邻”问题(1)当元素被要求相邻时,通常采用“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体并与

其他元素进行排列.(2)当元素被要求不相邻时,通常采用“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排

列,再将不相邻元素插在前面元素形成的空中.2有限制条件的排列问题 3.“定序”问题在排列问题中,某些元素已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑其

顺序.在具体的计算过程中,可采用“除阶乘法”解决,即n个元素的全排列中有m

(m≤n)个元素的顺序固定,则满足题意的排法有

种.

典例1

7名师生站成一排照相留念,其中有1名老师,4名男学生,2名女学生.分别求满足下列情况的不同站法的种数.(1)老师必须站在中间或两端;(2)2名女学生必须相邻而站;(3)4名男学生互不相邻;(4)4名男学生身高都不等,且按从高到低的顺序站.解析

(1)先考虑老师,有

种站法,再考虑其余6人,有

种站法,故不同站法的种数为

=2160.(2)2名女学生相邻而站,有

种站法,将她们视为一个整体并与其余5人全排列,有

种站法,所以不同站法的种数为

=1440.(3)先排老师和女学生,有

种站法,再在老师和女学生站位的空(含两端)中插入男学生,每空一人,则插入方法有

种,所以不同站法的种数为

=144.(4)在7人全排列的所有站法中,4名男学生不考虑身高顺序的站法有

种,而从高到低顺序站有从左到右和从右到左2种,所以不同站法的种数为2×

=420.

典例2用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个:(1)无重复数字且个位数字不是5的六位数?(2)无重复数字且为5的倍数的五位数?(3)无重复数字的六位数?若这些六位数按照从小到大的顺序排成一列数,则2401

35是该列数的第几项?解析

(1)解法一(间接法):0在十万位或5在个位上时都有

种情况,0在十万位且5在个位上时有

种情况.故符合题意的六位数共有

-2

+

=504(个).解法二(直接法):当个位数字为0时,符合题意的六位数有

个;当个位数字不为0时,符合题意的六位数有

个.故符合题意的六位数共有

+

=504(个).(2)符合题意的五位数可分为两类:第一类,个位数字是0的五位数,有

个;第二类,个位数字是5的五位数,有

个.故符合题意的五位数的个数为

+

=216.(3)符合题意的六位数共有

-

=600(个),其中十万位数字为1的有

个,十万位数字为2,万位数字为0或1或3的共有3

个,∵

+3

+1=193,∴240135是该列数的第193项.易错警示

含有数字“0”的排列问题隐含了数字“0”不能在首位的条件,应将

其视为有限制条件的元素优先排列问题.若在一个题目中,除了数字“0”以外还

有其他受限制的数字,则应考虑受限制的数字对位置的选择会不会影响数字

“0”对位置的选择,若有影响,则应分类讨论.1.分组问题的求解策略(1)非均匀不编号分组:将n个不同元素分成m(m≤n)组,每组元素数目均不相等,依

次记为m1,m2,…,mm,不考虑各组间的顺序,不管是否分尽,分法种数N=

·

·

·…·

.(2)均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m(m≤n)组,假定其中r组元素个

数相等,不管是否分尽,其分法种数为

(其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).若再有k组均匀分组,则应再除以

.(3)非均匀编号分组:将n个不同元素分成m(m≤n)组,各组元素数目均不相等,且考

虑各组间的顺序,其分法种数为N·

(其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).(4)均匀编号分组:将n个不同元素分成m(m≤n)组,其中r组元素个数相等且考虑各3分组与分配问题组间的顺序,其分法种数为

·

(其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).2.相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,那么可看作排成一行的小

球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的

方法对应着小球放入盒子的一种方法,此方法称为隔板法.隔板法专门用于解决

相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有

种方法.可理解为(n-1)个空中插入(m-1)块板.

典例1把10个相同的小球分别放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数不小于盒子的编号数,则不同的方法共有

15

种.解析

在编号为2,3的两个盒子中分别放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球,则

问题变为求把7个相同的小球分别放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少

放一个小球的不同方法的种数,由隔板法可知共有

=15种方法.

典例2按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法?(1)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(2)分成三份,一份4本,另外两份每份1本.解析

(1)先从6本书中选择1本,有

种方法,再从剩余5本书中选择2本,有

种方法,还剩3本书全选,有

种方法,所以总共有

=60种方法,再在此基础上进行分配,所以有

=360种方法.(2)从6本书中选择4本书的方法有

种,从剩余2本书中选择1本书的方法有

种,因为在最后2本书的选择中发生了重复,所以分配方法共有

=15(种).解决排列、组合问题首先要区分是排列问题还是组合问题,有序则用排列知

识求解,无序则用组合知识求解,要遵循两个原则:(1)按元素(或位置)的性质进行分类;(2)按事情发生的过程进行分步.4排列、组合的综合问题

典例如图,一个正方形花圃被分成5部分.(1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、

绿4种颜色的花可选,问有多少种不同的种植方法?(2)若在这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同

的放法?ABCDE解析

(1)先给A部分种植,有4种不同的种植方法;再给B部分种植,有3种不同的种

植方法;最后给C部分种植,分两类:①若C与B相同,则D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有4×3×1×2

×2=48种不同的种植方法;②若C与B不同,则