湘教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程检测卷含答案

第3章圆锥曲线与方程(满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抛物线y=-12x2的焦点坐标是A.0,18 B.-18,0 2.方程(2x+3y-1)x-3=0所表示的曲线是A.一条直线和一条射线 B.两条射线C.两条线段 D.两条直线3.过抛物线C:y2=6x的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E:x2a2-y2=1(a>0)所截得的线段的长度为22,则双曲线A.2 B.5+12 C.724.若F1,F2是双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x216+y225=1的共同焦点,点P是两曲线的一个交点,A.y=±22x B.y=±24x C.y=±73x D.y=±5.已知直线x-2y-3=0过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点为P,A.x245+y236=1 B.xC.x227+y218=1 D.6.如图,在底面半径和高均为22的圆锥中,AB、CD是底面圆的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点,已知过CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于()A.5 B.1 C.104 D.7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,B是椭圆C的上顶点,直线x=13c与直线BF2交于点A,若∠AF1F2A.55 B.33 C.228.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,圆F1与双曲线的渐近线相切,过F2且与圆F1A.815 B.3 C.43二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知方程x24-t+y2tA.当1<t<4时,曲线C是椭圆B.当t>4或t<1时,曲线C是双曲线C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则1<t<5D.若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则t>410.如图,记椭圆C1:x225+y29=1,C2:y225+x29=1内部重叠区域(阴影部分)A.P到(-4,0),(4,0),(0,-4),(0,4)四点的距离之和必为定值B.曲线C关于直线y=x,y=-x均对称C.曲线C所围区域的面积必小于36D.曲线C的总长度必大于6π11.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的投影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是()A.∠CFD=90°B.△CMD为等腰直角三角形C.直线AB的斜率为±3D.△AOB的面积为412.已知l1,l2是双曲线T:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线,直线l经过T的右焦点F,且l∥l1,l交T于点M,交l2于点Q,A.△FOQ与△OQN的面积相等B.若T的焦距为4,则点M到两条渐近线的距离之积的最大值为1C.若FM=MQ,则T的渐近线方程为y=±xD.若|FM||FQ|∈12,三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若双曲线y2-x2b2=1(b>0)的渐近线方程为y=±33x,则焦点到渐近线的距离是14.已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点A为C的左顶点,C上的点与点F2之间的最小距离为2.过原点O的直线l交C于P,Q两点,直线QF1交AP于点B,且15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C和C的一条渐近线分别相交于P,Q两点(P,Q在同一象限内),若P为线段QF的中点,且|PF|=316.已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求满足下列条件的曲线的方程:(1)离心率为34,长轴长为8的椭圆的标准方程(2)与椭圆x224+y240=1有相同焦点,且经过点(1,18.(12分)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点,若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.19.(12分)某团队在O点西侧、东侧20千米处分别设有A,B两站点,测量距离时发现一点P满足|PA|-|PB|=20千米,且以O点为原点,东侧为x轴正半轴,北侧为y轴正半轴建立平面直角坐标系,点P在点O的北偏东60°方向上.(1)求点P的坐标;(2)该团队又在O点南侧、北侧15千米处分别设有C,D两站点,测量距离时发现一点Q满足|QA|-|QB|=30千米,|QC|-|QD|=10千米,求|OQ|(精确到1米)和Q点的位置(精确到1°).20.(12分)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为π3的直线交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且|AF|=|FC|,|BC|=2,O为坐标原点(1)求抛物线C的方程;(2)直线l交抛物线C于D,E两点,且D,E两点位于x轴两侧,直线l与x轴交于点M,若OD·OE=4,求S△DFO+S△DOE的最小值.21.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,右焦点为(1)求椭圆C的方程;(2)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M,N,直线MA、NA分别与直线x=9交于点P,Q,记线段PQ的中点为G,求证:|FG|=1222.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=2x+m,判断直线l和椭圆C的位置关系;(3)设直线l':y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于A,B两点,若以OA,OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上,求证:平行四边形OAPB的面积为定值.答案与解析1.D由y=-12x2得x2=-2y,则2p=2,即p=1,所以p2=12.因为抛物线x2=-2y的焦点在y轴的负半轴上,所以其焦点坐标为0,-2.A由(2x+3y-1)x-3=0可得2x+3y-1=0或x-3=0.当2x+3y-1=0时,x-3≥0,此时曲线为射线;当x-3=0,即x=3时,(2x+3y-1)·x-3=0恒成立,此时曲线为直线.3.D抛物线C的焦点为32,0.对于方程x2a2-y2=1(a>0),令x=32,可得y=±94a2-1,所以294a2-1=22,所以a=32,又4.B椭圆的焦点坐标为(0,±3),所以在双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)中,有a2+b2=9.设点P在第一象限,F1为上焦点,则|PF2|=|F1F2|=6,|PF1|=10-|PF2|=4,所以在双曲线中,2a=|PF2|-|PF1|=6-4=2,所以a=1,代入a2+b2=9,得b=22(负值舍去),所以双曲线的渐近线方程为y=±ab5.D设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x12a2+y12b2=1①,x22a2+y22b2=1②,①-②得x12-x22a2+y12-y22b2=0,整理可得y1-y2x1-x2·y0x0=-b26.A如图1所示,过点E作EH⊥AB,垂足为H,设F为抛物线的焦点,连接PF.因为E是母线PB的中点,圆锥的底面半径和高均为22,所以|OH|=|EH|=2,所以|OE|=2.在平面CED内建立平面直角坐标系,如图2所示.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),易得点C的坐标为(2,22),代入抛物线方程可得8=2p·2,所以p=2,所以F(1,0),即|EF|=1.易得|PB|=4,所以|PE|=2,所以∠PEO=90°,所以抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为|PE|2+|EF图1图27.A如图,由题意知B(0,b),F2(c,0),所以直线BF2的方程为xc+y联立x=13c,xc+yb=1,解得x=13c,y=23b,即A13c,23b.设直线x=13c与x轴交于点M,则|F1M|=43c,|MA|=23b.因为∠AF1F2=π48.C如图所示,渐近线l的方程为y=-ba即bx+ay=0,点F1(-c,0)到l的距离为|AF1|=|-bc|b2+a2=b,所以|OA|=|OF1|2-|设BF2与l的交点为C,因为BF2与圆F1相切,且BF2⊥l,所以C为BF2的中点,易得|OC|=b2,则cos∠COF2=|OC||OF2|=b2c,又cos∠AOF1=cos∠COF2,所以ac=b2c,9.BC当曲线C是椭圆时,4-t>0,t-1>0,4-t≠t-1,解得1<t<52或52<t<4,故A错误;当曲线C是双曲线时,(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,故B正确;若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则4-t>0,t-1>0,4-t>t-1,解得1<t<52,10.BCD设F1,F2分别是椭圆C1的左、右焦点,F3,F4分别是椭圆C2的上、下焦点,则F1(-4,0),F2(4,0),F3(0,4),F4(0,-4),当|PF1|+|PF2|=10时,|PF3|+|PF4|不是定值,A错误;用(y,x)替换椭圆方程x225+y29=1中的(x,y)得y225+x29=1,反之亦然,因此两个椭圆关于直线y=x对称,同理,它们也关于直线y=-x对称,因此曲线C关于直线y=x,y=-x对称,B正确;由椭圆方程知,曲线C在直线x=±3,y=±3围成的正方形内部,而正方形的面积为(2b)2=36,故曲线C所围区域的面积必小于36,C正确;由椭圆的性质可知,曲线C上的点到原点距离的最小值为3,曲线C在以原点O为圆心,3为半径的圆的外部,而圆的周长为2π×3=6π,11.AC如图,过点M向准线l作垂线,垂足为N,易知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).易知|AF|=|AC|,所以∠AFC=∠ACF,又因为∠OFC=∠ACF,所以∠OFC=∠AFC,所以FC平分∠OFA,同理,FD平分∠OFB,所以∠CFD=90°,故A正确;假设△CMD为等腰直角三角形,则12因为|AF|=3|BF|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=4|BF|,所以|MN|=2|BF|,所以|CD|=2|MN|=4|BF|,所以|CD|=|AB|,显然不成立,故B错误;设直线AB的方程为x=my+1,联立y2=4x,x=my+1,可得y2-4my-4=0,所以y1+所以m2=13,所以1m=±3,所以直线AB的斜率为±3,故C不妨设m=33,则y1+y2=433,y1y2=-4,所以|y1-y2|=4332+16=833,所以S△AOB=12.AC由题可知,F(c,0),不妨记l1:y=bax,l2:y=-bax.由l∥l1可得l的方程为y=ba(x-c),与l2的方程联立可解得xQ=c2,yQ=-bc2a,即点Qc2,-bc2a.对于y=ba(x-c),令x=0,可得y=-bca,即点N0,-bca,所以S△FOQ=12×c×bc2a=bc24a,S△OQN=12×c2×bca=bc24a,所以S△FOQ=S△OQN,A正确;设M(x0,y0),则x02a2-y02b2=1,即b2x02-a2y02=a2b2,所以点M到两条渐近线的距离之积为|bx0-ay0|a2+b2·|bx0+ay0|a2+b2=|b2x02-a2y02|a2+b2=a2b2a2+b2,因为T的焦距为4,所以c=2,所以a2b2a2+b2=a2b24,因为4=a2+b2≥2ab,所以ab≤2,所以a2b2≤4,所以a2b2a2+b2=a2b24≤13.答案3;4解析易得a=1,渐近线方程为y=±abx=±1bx=±∴1b=33,即b=3,∴焦点到渐近线的距离d=±c易得c=a2+b2=14.答案x29+解析如图,连接OB,AQ,因为O,B分别为PQ,PA的中点,所以OB是△PAQ的中位线,所以OB∥AQ,所以△OF1B∽△AF1Q,所以|OB||AQ|=|OF1||AF1|=12,即ca-c=12,所以a=3c.因为C上的点与点F215.答案x23-y解析由双曲线方程可得F(c,0),一条渐近线的方程为y=bax.由|PF|=33,可得Pc,33.由P为线段QF的中点可得Qc,233.将Q的坐标代入渐近线的方程,得233=bca,整理得43=(c2-a2)c2a2,即4a2=3c4-3a2c2①.因为点P在双曲线上,所以c2a2-13b2=1,所以由①②可得3c4-7a2c2+4a4=0,因为c>a,所以c2=43a2③由②③解得c2=4,a2=3,故b2=1,所以双曲线的方程为x23-y16.答案3x+6y+4=0解析由A(2,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,得22=2p×2,解得p=1,故抛物线方程为y2=2x.易知过点A(2,2)且与圆(x-2)2+y2=1相切的直线的斜率存在,设其方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,则圆心(2,0)到切线的距离d=|2k-0+2-2k|k2+1=1,解得k=±3.不妨设直线联立y-2=3(x-2),y2=2x,得3x2+(43-14)x+16-83=0,故xAxB=16-833,又xA=2,∴xB=8-433,∴yB=23-63.联立y-2=-3(x-2),y2=2x,得3x2-(43+14)x+16+83=0,故xAxC=16+833,又xA=2,∴xC=8+433,∴yC=-23-63,∴y17.解析(1)由题意得2a=8,e=ca=34,解得a=4,c=3,则b=a2-c2=若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为x216+若椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为y216+综上,椭圆的标准方程为x216+y27=1或y2(2)易知椭圆的焦点为(0,4)和(0,-4),所以双曲线的焦点为(0,4)和(0,-4).(6分)设所求双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则a由双曲线经过点(1,15),得15a2-1b2=1联立①②,解得a2=12,b2=4,故双曲线的标准方程为y18.解析(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx(c>0),其中c=a2不妨设A,C在第一象限,由题意可得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a,C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去)或ca=(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c设M(x0,y0),则x024又因为y02=4cx0,所以x024易知C2的准线方程为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,所以x0=5-c,(10分)代入(*)得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y19.解析(1)易知点P在以A,B为焦点的双曲线上,设其标准方程为x2a2-y由题意可得a=10,c=20,所以b2=300,所以双曲线的标准方程为x2100-y2易得直线OP:y=33x,且P在第一象限.联立x2100-y2300=1,y=33x(2)由|QA|-|QB|=30可知,点Q在以A,B为焦点的双曲线上,设其为C1,标准方程为x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0),易知a1=15,c1=20,所以b12=175,由|QC|-|QD|=10可知,点Q在以C,D为焦点的双曲线上,设其为C2,标准方程为y2a22-x2b22=1(a2>0,b2>0),易知a2=5,c2=15,所以b22=200,两双曲线方程联立,结合题意可得Q1440047所以|OQ|≈19米.设OQ与x轴所成的角为α,则tanα=2975471440047,解得α≈24°,故Q点在O点的北偏东66°方向上20.解析(1)如图所示,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为A1,过点B作准线的垂线,垂足为B1.设准线与x轴交于点G.易知∠AFx=∠CBB1=π3∴|BB1|=1,∴|BF|=1,(2分)∴|AF|=|CF|=|BC|+|BF|=3,∴|GF|=12|AA1|=12|AF|=32,∴∴抛物线C的方程为y2=3x.(4分)(2)不妨设D(x1,y1),E(x2,y2)(y1>0,y2<0),lDE:x=my+t.联立x=my+t∴y1+y2=3m,y1y2=-3t,(6分)∴OD·OE=x1x2+y1y2=y123·y22∴y1y2=3(舍去)或y1y2=-12,∴-3t=-12,∴t=4,∴M(4,0).(9分)∴S△DFO+S△DOE=12|OF|·y1+12|OM|·(y1-y2)=3y18+2(y1-y2)=19y18-2y2≥2198y1×(-2y2)=2194×12=257,当且仅当198∴S△DFO+S△DOE的最小值为257.(12分)21.解析(1)由题意得ca=13,a所以椭圆C的方程为x29+y2(2)证明:如图,设直线l的方程为x=ty+1,点M(x1,y1),N(x2,y2),联立x=ty+1,x