2015-2016年考研数学二真题及答案

2015考研数学二真题及答案

一、选择题：18小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，

只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答博纸指定位置

上.

(1)下列反常积分收敛的是()

⑻r^dx

J2X

J2xlnx

⑻r^dx

J2/

【答案】(D)

【解析】，3^=-(4+1)£一，则

r+ooXl+oocc

J—：dx=-(x+=3"2-lim(x+l)e~x=3e~'.

(2)函数〃x)=lim(l+吧在(-8,内)内()

(A)连续

(B)有可去间断点

(0有跳跃间断点

(D)有无穷间断点

【答案】⑻

22

♦,x].sin/X

【解析】/(%)=lim(l+=ex,%wO,故/(%)有可去间断

点x=0.

a1

xcos—,x>0

⑶设函数/(%)=</(1>0,4>0),若/(力在

0,x<0

x=0处连续则：()

(A)6Z—/?>0(B)O<«-^<1

(C)a-/3>2(D)0<a-^<2

【答案】(A)

【解析】尤<0时,r(^)=O£(O)=O

xacos

人=limcos上

力⑼=嚼p

X3+x

x>0时，/'(%)=O/TcosJ+(—sin：(一夕

=ax01_1cos-^+/3严一2,sin3

/'(X)在x=0处连续则：f：(o)=/(()=go=s得

of—1>0

axa~lcos-^r-+。£_左\sin|=0

r(o)=噂/(力=噂

xpxp)

得:a-^-l>0,答案选择A

⑷设函数/■(£)在(-00,40。)内连续，其中二阶导数/■"(%)的图形

如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为

)

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

【答案】（0

【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个。

（5）设函数/（"一）满足/卜+-口=——/,则与

(A),0

(B)0,1

(C)--,0

(D)0,-^

【答案】(D)

【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.

^u=x+y,v=—,则x='—,y=』匕，AffiJf(x+y,—)=%2-y2

X1+V1+VX

为

u2(l-v)

/3,v)=故

1+v

df_2w(l-v)df_2M之

du1+v9dv(1+v)2

因哈

=.故选(D)

W=1=0,U=1

V=1dvV=12

⑹设。是第一象限由曲线2盯=1,4町=1与直线y=x,

y=底围成的平面区域，函数在。上连续，则

\\f(x,y)dxdy=)

D

711

(A)][[。]呼。/(rcos6，sine)rdr

42sin26

71]

(B)JJd6rs[2。ycosrsinQiydr

40sin26

兀1

(C)gdejsinyy(rcos0,rsinOylr

42sin26

(D)jjdgjjsiye/(rcos8/sin。协

4-sin26

【答案】(B)

【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为

J。上工,一「1

。=〈(几。)

43<2sin29

所以

冗[

||于(x,y)dxdy=|Jd。]小野/(rcos8,rsin0)rdr

D4近sin20

故选B.

fl)

11)

(7)设矩阵A=12a,b=d.若集合O={1,2},则线

2

J4aJ

性方程组AA有无穷多解的充分必要条件为：

()

(A)a史O,d史O(B)。e。,deQ

(C)ae。,deQ(D)ae。,deQ

【答案】D

【解析】

qii1、(\11

(A,b)=12adf01a-1d-1

J4a2d2)1°0(a—l)(a—2)

由r(A)=r(A,»<3,故a=l或a=2,同时2=1或d=2。故选⑺)

(8)设二次型/(4,范，巧)在正交变换x=Py下的标准形为

2丁；+贡一%，其中尸=(q,箪，刍，若。=&,-e3。2则

/=(苞,%2，£)在正交变换x=。下的标准形为：

()

(A)+y2(B)2y：+一

(C)—%—%'(D)2y；++y；

【答案】(A)

【解析】由X=今,故/=x,Ax=/(P'AP)、=2y：+£-£.且

,200、

PTAP=010

、00-17.

U00、

Q=P001=PC

、0-10,

,200、

QTAQ=CT(PTAP)C=0-10

、00b

所以/=/Ax=V(QTAQ)y=2y；—£+y；。选(A)

二、填空题：914小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答题

里指定位置上.

⑼]x一=arct+an/t则/U丘---------------------

【答案】48

【解析】今=%=厘=3（1+咛

/dt1+/

d[3（l+』）2]/

察/卬+小=%/=+=.+力

/dt1+产

（10）函数=在x=0处的〃阶导数/"（0）=

【答案】〃（八—l）（ln2厂2

【解析】根据莱布尼茨公式得：

/（"）（0）=戏2（2吓1）=^^2（ln2）n-2=“（於l）（ln2）i

x=o2

（11）设/（尤）连续，必无）=[力，若0⑴q@'（$=，则/⑴=

【答案】2

【解析】已知e（x）=尤「『⑺办，求导得夕'（X）=J；/⑺由+2%",），故

有0（1）=J）⑺力=1,

^(1)=1+2/(1)=5,则/(1)=2,

(⑵设函数y=y(力是微分方程y'+y-2y=0的解，且在x=0处

y(x)取得极值3,则y(x)=。

【答案】e-2x+2ex

【解析】由题意知：丁(。)=3,/(0)=0,由特征方程：力之+丸一2=0解

得4=1,42二—2

所以微分方程的通解为：y=ae*+Ge2代入y(o)=3,y'(0)=0解得：

G=2C?=1

解得：y=2ex+e-2A

(13)若函数Z=z(x,y)由方程ex+2y+3z+xyz=l确定，则dz(0小

【答案】一如+2力)

【解析】当x=0,y=0时Z=O,则对该式两边求偏导可得

(3/+2y+3z+孙)丝=_yz_e%+2y+3Z

dx

x+2y+3zx+2y+3z

(3e+xy)-=-xz-2eo将(0,0,0)点值代入即有

dy

dz1dz2

瓦(0,0)——1标(0,0)——丁

121

则可得dzI”o)=—1dx—]dy———+2dy).

(14)若3阶矩阵A的特征值为2,—2,1,B=A2-A+E^其中片为3阶单

位阵，则行列式恸=.

【答案】21

【解析】A的所有特征值为2,-2,1.5的所有特征值为3,7,1.

所以151=3x7x1=21。

三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在等㈱纸指定位置上.解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

设函数/(x)=x+aln(并光升bxsin,g(x)=履3.若/(龙)与g(龙)在

%-0时是等价无穷小，求。力,女的值.

【答案】a=—1,k=—,b=—

32

【解析】

方法一：

Jx3X3

因为ln(lx)—x——+,sinx—x——+c>(x3),

那么，

(l+tz)x+(/?-^)x12+J%+。(九)

X+a

1-lim九)-HmI"。+sinx=lim

%-。g(%)、-。kx3x->0kx3

1+Q=0a=­l

可得：，力—区二0,所以,

2

3

方法二：

由题意得

x+aln(l+x)+/?xsinx

a。g(%)％'。

a,.7

1+—+PSHIX+/?XCOSX

=lim——1+x

x->03k£

由分母lim3A;x2=0,得分子lim(l+—^+Z?sinx+Z?xcosx)

%-»0Xf0l+x

=lim(l+a)=0,求得c；

xf0

fz、1------——hbsinx+bxcosx

于是1=lim=lim—9------------------------

g(x)%'。3左£

x+/7(l+x)sinx+bx(l+x)cosx

=lim

x—>03^(1+x)

%+Z?(l+x)sin%+bx(l+x)cosx

=lim

x->03k£

l+/2sinx+/7(l+x)cosx+Z?(l+x)cosx+Z?xcosx-Z?x(l+x)sinx

=lim

x->06kx

由分母lim6g;=0,得分子

xf0

lim[l+Z?sinx+2Z?(1+x)cosx+Zzxcos九一fcv(l+x)sinx]

Xfo

=lim(l+2Z?cosx)=0,

xf0

求得6=-4；

2

进一步，b值代入原式

〃、1--sinx-(l+x)cosx--xcosx+—x(l+x)sinx

1=lim丁%=lim——----------------------------------------------------------

g(x)%一。6kx

——cosx-cosx+(l+x)sinx——cosx+—xsinx+—(l+x)sinx+—xsinx+—x(l+x)cosx

=lim----------------------------------------------------------------------------------------------------------

io6k

1

='，求得k=—1

6k3

(16)(本题满分10分)

设A〉0,D是由曲线段y=Asinx(0Kx除及直线y=0,x所围成

的平面区域，匕，匕分别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若

匕=匕，求A的值。

O

【答案】一

n

【解析】由旋转体的体积公式，得

717C万1o

7if2(x)dx=£»(Asin犬了公=——°；'公

4

71

V2=『2时(x)dx=-2必「显cosx=2JIA

Q

由题V=V,,求得A=—.

TC

(17)(本题满分11分)

已知函数/(x,y)满足f^(.x,y>=&什ef,<'(x,0)=(x+l)e*,

f(Q,y)^y2+2y,求f(x,y)的极值。

【答案】极小值/(0,—1)=—1

【解析】&(羽丁)=2(丁+1)靖两边对丫积分，得

y)=2(gy2+y)ex+0(x)=(丁+2y)ex+(p{x},

故f：(x,O)=e(x)=(x+l)ex,

求得9(x)=e*(x+1),

故f；(x，y)=(/+2y)ex+ex(l+x)，两边关于x积分，得

f(x,y)=(j2+2y)eA+jex(l+x)dx

=(/+2yK+j(l+xW

=(y2+2y)ex+(1+x)ex-Jexdx

=(V+2y)ex+(1+x)ex-ex+C

-(y2+2y)ex+xex+C

由/(0,y)=、2+2y+©=/+2丁，求得C=0.

所以/(x,y)=(/+2y)eA+xex.

人f：=(/+2y)e'+e'+xe'=0(x=0

令<[f；,=(2y+2)ex=0，求得[<y=-l.

又《=(/+2y)靖+2e*+x",

x

/=2(y+M，f；y=2e,

当x=0,y=-1时，

A=如0「1)=1,B=&(0,-1)=0,C=/；(0,-l)=2,

AC-B2>0,/(0,—1)=-1为极小值.

(18)(本题满分10分)

2

计算二重积分Jjx(x+y)公力，其中£)={(%y),2+,2<2,y>x

12

【答案】---

【解析】jjx(x+y)dxdy=jjx2dxdy

DD

=2-x2)Jx

o

sin?£2

"J/----------72%=&sii22

二2A/2—xdx——=2F2sintlcostdt——

0o5

u=2t

/=2cf4sin222tdt——r-=f2sin2u2du——7T=2-----

J。5J。545

(19)(本题满分11分)

己知函数=产力，求/(无)零点的个数?

【答案】2个

令/'(x)=0,得驻点为x=g,

在(-哈；)，/(X)单调递减，在(g,+8),/(x)单调递增

故/(J)为唯一的极小值,也是最小值.

+/2出―Jl+/dt

4

224

在d』)，<Jl+t,故J：\ll+t2dt-J；A/1+tdt<0

222

从而有/(—)<0

lim/(x)=lim[[+>dt+[Jl+tdt]=+oo

x—>-ooX—>-ooJxJl

limf(x)=lim[f/dt+\Jl+tdt]=lim[fA/1+tdt-[+»dt]

X—>+oox—>+ooJxJl%f+ooJlJl

［Jl+tdt2x\ll+x2

考虑lim—~==-=lim—/=+oo,所以limf(x)=+oo.

02

z+01Az力ZMVI+x

所以函数f(x)在S,g)及(g,+8)上各有一个零点,所以零点个数为2.

(20)(本题满分10分)

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与

该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃

的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30℃,若要将该物体的温度继续

降至21℃,还需冷却多长时间？

【答案】30min

【解析】设/时刻物体温度为x(t),比例常数为k(>0),介质温度为m,则

一=-k(x-m),从而%(%)=。£一"十加，

dt

x(0)=120,m=20,所以C=100,即x«)=100e，+20

又1(2)=30,所以左=21nl0,所以x(/)=」^+20

2100'T

当X=21时，t—1,所以还需要冷却30min.

(21)(本题满分10分)

已知函数/(x)在区间［a,+oo］上具有2阶导数，/(«)=0,/(%)>0,

/"(^)>0,设b>a,曲线y=/(x)在点(仇/■("))处的切线与x轴的交

点是(天,0),证明a<x()<b。

【证明】根据题意得点(仇/(加)处的切线方程为y—/3)=/'S)(x—b)

于(b)

令y=0,得

f'(b)

因为/'(x)>0所以/(x)单调递增，又因为/(a)=0

所以/(b)>0,又因为/'出)>0

所以-华^<6

『出)

又因为%-黑，而在区间(a,b)上应用拉格朗日中值定理有

—f(a)=/,©，e(a,b)

b-a

所以……-符倦-瑞小瑞普

因为/“(X)>。所以/'(X)单调递增

所以rs)>rC)

所以七一。〉0,即x()>a,所以结论得证.

(22)(本题满分11分)

"a10、

设矩阵A=1a-1且A3=o.

101a}

(1)求。的值；

(2)若矩阵X满足X—X4?—AX+AXf=E，E为3阶单位阵，求X.

【答案】<20-1、

〃=0,X=—11—1

「1f

【解析】

a10010

(I)A3=(9=>|A|=0^>1a-11-a2a—l="3=Ona=o

01a-Q1a

(II)由题意知

X-XA2-AX+AXA2=E=>X(E-A2)-AX(E-A2)=E

=>(E-A)X(E-A2)=E=>X=(E-Ay1(E-A2)-I=[(E-A2)(E-A)]-1

=>X=(E-A2-A)-1

'0-1P

E-A2-A=-111

-1-12

\7;

'0-1IM00、'1-1-IM-10、

-11IM10T0-11M00

、—

、—1-12M01;1-12M017

<1-1-IM)-10、<1-1-IM)-10、

f01-1M100T01—1M100

-21M)-1b100-1M2-1b

‘1-10M0-1>0OM1-2、

T01OM1-1T01OM1-1

、00IM1-ly、00IM1—1,

,31-2、

X=11-1

(21-1J

（23）（本题满分11分）

’02-3、(1-20、

设矩阵A=-13-3相似于矩阵B=0b0

1-2a)N3b

（1）求a,b的值;

（2）求可逆矩阵p,使尸-1转为对角阵.

【答案】

(1)a=4,Z?=5；

(2)

,2-3-1

P=10-1

、0117

【解析】(I)A~3n"(A)="(3)n3+a=l+b+l

02-31-20

|川=忸|=>-13-30b0

1-2a031

a-b=-la=4

2a—b—3b=5

(II)

（

f02-3、100、(-12-3、

A=-13-3010+-i2-3=E+C

1-237\00Li-237

12—3、5

C=-12-3=-1(1-23)

1-23J

c的特征值4=4=o,4=4

4=0时(0E—Qx=0的基础解系为只=(2,1,0产;/=(-3,0,l)r

/l=5时(4E—C)x=0的基础解系为5=(-1,-1,1)T

A的特征值4=1+4:1,1,5

/2-3-P

令？=©&，3)=10-1

I。11J

(1)

PlAP=1

、5,

2016考研数学二真题及答案

一、选择题1—8小题.每小题4分，共32分.

1.当xf0+时，若ln«l+2x),(1—cosxW均是比x高阶的无穷小,

则a的可能取值范围是()

(A)(2,+oo)(B)(1,2)(C)(―,1)(D)(0,—)

11-2

【详解】lna(l+2x)~2"x",是a阶无穷小，(l—cosx)。~二X。是一

-a

2a

a>1

阶无穷小，由题意可知,2

—>1

a

所以a的可能取值范围是(1,2),应该选(B).

2.下列曲线有渐近线的是

(A)y=x+sinx(B)y=x2+sinx(C)j=x4-sin—'(D)

x

..1

y=x2j+sm—

x

1y1

【详解】对于y=x+sin—,可知lim上=1且lim(y-％)=limsin—=0,

“XX—>oo%X—>00X—>ooX

所以有斜渐近线y=x

应该选(C)

3.设函数/(x)具有二阶导数，g(x)=/(0)(l-x)+/(l)x,则在［0,1］上

()

(A)当r(x)N0时，/(x)>g(x)(B)当r(x)>0时，

f(x)<g(x)

(C)当/"(x)N0时，/(x)>g(x)(D)当/"(x)N0时，

f(x)<g(x)

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.

【详解1】如果对曲线在区间［见切上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接

做出判断.显然g(x)=/(0)(1-“)+/⑴x就是联接(0,7(0)),(1,/⑴)

两点的直线方程.故当/"(x)>0时，曲线是凹的，也就是/(x)<g(x),

应该选(D)

【详解2】如果对曲线在区间加上凹凸的定义不熟悉的话，可令

F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(l-x)-f(l)x,则F(0)=F(l)=0,

且歹‘'(x)=r'(x),故当r'(x)No时，曲线是凹的，从而

F(x)<F(O)=F(l)=O,BPF(x)=f(x)-g(x)<0,也就是

f(x)<g(x),应该选(D)

4.曲线|"=：+7'上对应于f=l的点处的曲率半径是()

y=£+4/+1

(A)叵(B)叵(C)io7io(D)5如

50100

|j"|

【详解】曲线在点(x,/(x))处的曲率公式K=一^^,曲率半径

v(i+y2)3

.,dxdy,办2f+4,2

本题m中一=2t,—=2t+4,所以—=-----=1+-

dtdtdxItt

_2_

d2y1

dx2It3

1

对应于r=l的点处V=3,V'=-1，所以爪=亍^^=一「,曲率

7d+y2）3io丽

半径R=」~=IO"5.

K

应该选（C）

身=

5.设函数/(x)=arctanx,若f(x)=,则lim)

Xf0X2

(B)

(A)1t（C）I(D)

3

1

【详解】注意（1)/'(x)=(2)

1+X2

x—>0时,arctanx=x-jx3+o(x3).

由于小)3(“所以可知小)=金=—=丁

x-arctanx

片=

(arctanx)2

(x-jX3)+O(X3)

A..x-«rxtanx1

Inn—=Inn----------------=lim

iox—。x(arctanx)x->0X33

6.设"(x,y)在平面有界闭区域〃上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数,

222

且满d足u三及d三u+d”u=0,则().

dxdydx2dy2

(A)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域〃的边界上；

(B)〃(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域〃的内部；

(C)〃(x,y)的最大值点在区域，的内部，最小值点在区域〃的边界上;

(D)〃(x,y)的最小值点在区域2的内部，最大值点在区域〃的边界上.

【详解】u(x,y)在平面有界闭区域〃上连续，所以〃(x,y)在D内必然有

aa

最大值和最小值.并且如果在内部存在驻点(x0,j0),也就是《=F=°，

dxdy

d2ua2

在这个点处A==笠=三:，由条件，显然

dxdydxdydydx

AC-B2<0,显然〃(x,y)不是极值点，当然也不是最值点，所以〃(x,y)

的最大值点和最小值点必定都在区域，的边界上.

所以应该选(A).

0b0

00b

7.行列式等于

00

00

(A)(ad-be)2(B)—(ad-'Ac)?(C)u^d—b2c~(D)

-a2d~+b-c2

【详解】

0ab0

a0ba0b

a00bbab

=-a00+b0c0=-ad+bc=-(ad-be)2

0c0

00

00

应该选(B).

8.设a”4，%是三维向量，则对任意的常数无，/，向量/+左％，a2+

线性无关是向量区,4，用线性无关的

(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件

(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件

【详解】若向量线性无关，则

0、

对任意

(a1+ka3,<z2+la3)=(即％，。3)。1=(al,a2,ai)K,

苫

的常数上,/,矩阵K的秩都等于2,所以向量/+左％，%+以3一定线性

无关.

而当见时，对任意的常数向量%+左%，

%+，4线性无关，但线性相关；故选择(A).

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横

线上）

H1,

9.I—；------ax=_______.

J-°°X-+2x4-5

【详解】

f11,ridx

I—；-------dx=I----------

J-°°x+2x+5J-00(x+1)+4

10.设/(x)为周期为4的可导奇函数，且/'(x)=2(x—l),xe[o,2],则

/(7)=.

【详解】当xw[0,2]时，/(x)=12(x-l)dx=x2-2x+C,由/(0)=0

可知。=0,即/(x)=Y-2x；/(x)为周期为4奇函数，故

/(7)=/(-1)=/(1)=1.

7

11.设z=z(x,y)是由方程e?%+x++z=z确定的函数，则

---.

7

【详解】设F(x,y,z)=e2yz+x+y2+z--,

2yz2yz

Fx=l,Fy=2ze+2y,Fz=2ye+1,当x=y=g时，z=Q，

dz_Fx_1dzFy

=

dx~~l\~~2'~dy~~Fz2

22

12.曲线L的极坐标方程为r=6,则L在点（r,6）=—,一处的切线方

I22）

程为.

【详解】先把曲线方程化为参数方程《x=r（二e）cos八6八=Ocos八O，于是在

y=r（e）sine=esin6

八兀”cdy,sine+6cos6,2皿>人上

6=一处，x=Q,y=—,—I=-----------------I=一一，则L在点

22dxIcos。—Ssine?兀

(7T7T\冗29jr

(r,6)=—,一处的切线方程为y----=-----(X—0),即7=-----x-\—・

V22J27in2

13.一根长为1的细棒位于工轴的区间［0,1］上，若其线密度

p（x）=-x2+2x+l,则该细棒的质心坐标x=

11

_Jxp(x)dx£(―x3+2x2+x)dx

【详解】质心坐标X=T----------12_H

-

[p(x)dxJ(_x+2x+Y)dx520

Jo3

14.设二次型/（巧，*2，*3）=X：一X；+2。跖*3+4*2*3的负惯性指数是1，

则。的取值范围是

【详解】由配方法可知

/(x1,x2,x3)=xf-xf+2axlx3+4x2x3

=(X]+ux^)~一(x。—2x-j1+(4―a1)xg

由于负惯性指数为1,故必须要求4一。2N0,所以。的取值范围是［-2,2］.

三、解答题

15.（本题满分10分）

J-1)—t)dt

求极限lim----------------------.

X->4-0001

x2ln(l+-)

x

【分析工先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极

限.

【详解】

「(尸(6-1)-力西「(尸(〃-1)-/)近1

lim-----------------------=lim-----------------------=lim(x2(ex-1)-x)

Xf+81Xf+8YXf00

xo2ln(l+-)”

x

16.(本题满分10分)

已知函数y=j(x)满足微分方程x2+J2J'=1-V,且y(2)=0,求y(x)

的极大值和极小值.

【详解】

解：把方程化为标准形式得到(l+y2)半=1-*2,这是一个可分离变量的

1.1,

一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：—V+x—一—+c,

33

由y(2)=0得C=:,

1,1,2

即Bn_V3+V=X---X34---.

333

令◎=!_「=o,得x=±i,且可知

dx1+j

d2y二―2x(l+y2)2—2y(l--)2

dx2(1+J2)3

当x=l时，可解得y=l,y'=-l<0,函数取得极大值y=l；

当x=-l时，可解得y=0,/'=2>0,函数取得极小值y=0.

17.(本题满分10分)

设平面区域D=j(x,j)|l<x2+j2<4,x>0.j>0).计算

xsin(^7^2+J2),,

--------------------dxdy

x+y-------------«

nD

【详解】由对称性可得

rj.xsin(^7^2+J2)rpsin(^7^2+J2)

dxd=^2^

Yx+yJ/x+y

2

1内11(%/炉+/)/lf7jnf./3

=----------------------dxd=——d夕rsm^rrfr=——

2JJ12JoJi4

18.(本题满分10分)

设函数/(H)具有二阶连续导数，z=f(excosy)满足

a27a?7

衿+衿=(4z+e*coy^e2x.若"0)=0,尸(0)=0,求/®的表达

oxdy

式.

【详解】

设“=e*cosy,贝!lz=f(u)=f(excosy),

07a?7

『=八"?-4=/"(«>2xcos2j+f\uyexcosy；

OXox

dzd~70。

¥=~fWsi"'后=『"‘in"八"cosy；

22

dzdz79

由条件+丁r=(4z+e*cosy)e2"

ox-dy~

可知

/"(〃)="(〃)+w

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程.

对应齐次方程的通解为：

2uU

/(«)=Cxe+C,e--其中G，g为任意常数.

对应非齐次方程特解可求得为y*=-.

2u2a

故非齐次方程通解为f(u)=C,e+C2e--^u.

将初始条件/(0)=0,/'(0)=0代入，可得G=」,C，=一二.

1616

所以/(〃)的表达式为f(u)=^e2u-^e-2u--u.

19.(本题满分10分)

设函数f(x),g(x)在区间限司上连续，且/(%)单调增加，0<g(x)<l,

证明：

(1)04Jg(t)dtWx-a,xG[a㈤；

(2)r+^a8t)df(x)dx<Cf(x)g(x)dx.

JaJa

【详解】

(1)证明：因为O<g(x)«l,所以JOrfx<Jg(t)dt<JIdtxG\a9b].

即0<Jg(t)dt<x-a,xG\a^b].

(2)令方(x)=[Xf(u)g(u)du-[a+^8t)dtf(u)du,

JaJa

则可知b(a)=O,且F'(x)=/(x)g(x)—g(x)/(a+J〃g⑺叼，

因为04/g(/)d/4*-a,且/(x)单调增加，

所以/(a+Jg(t)dt^<f(a+x-a)=f(x).从而

F'(x)=/(x)g(x)-g(x)f^a+，g(f)df)>f(x)g(x)-g(x)f(x)=0

,xe\a,b\

也是F(x)在[a,在单调增加,则是(》)N4(a)=0,即得到

+g,,)(Zf

r£y(x)jx<Cf(x)g(x)dx.

JaJa

20.(本题满分11分)

设函数〃x)=^^,xe[0,l]，定义函数列

1+X

/1(x)=/(x),/2(x)=/(71(x)),•>/n(x)=/(/n_1(x))9...

设S〃是曲线)=/〃(%),直线x=l,y=O所围图形的面积.求极限

limnSn.

n—>oo

【详解】

X

X1+XX,

fl(x)==

1+X]IXl+2x

1+x

X

f(x)=

3l+3x

X

利用数学归纳法可得/〃(x)=

1+nx

氤八力」六但如中，

rcr(Aln(l+明]

InnnS=Inn1----------=1.

8nn-»oolnJ

21.(本题满分11分)

已知函数f(x,y)满足%=2(y+1),且/(j,j)=(j+1)2-(2-j)lnj,

Sy

求曲线/(x,y)=0所成的图形绕直线j=-l旋转所成的旋转体的体积.

【详解】

由于函数f(x,y)满足g=2(y+1),所以/(x,y)=y2+2y+C(x),

dy

其中C(x)为待定的连续函数.

又因为/(y,y)=(y+l)2-