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文档简介
2015考研数学二真题及答案
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,
只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答博纸指定位置
上.
(1)下列反常积分收敛的是()
⑻r^dx
J2X
J2xlnx
⑻r^dx
J2/
【答案】(D)
【解析】,3^=-(4+1)£一,则
r+ooXl+oocc
J—:dx=-(x+=3"2-lim(x+l)e~x=3e~'.
(2)函数〃x)=lim(l+吧在(-8,内)内()
(A)连续
(B)有可去间断点
(0有跳跃间断点
(D)有无穷间断点
【答案】⑻
22
♦,x].sin/X
【解析】/(%)=lim(l+=ex,%wO,故/(%)有可去间断
点x=0.
a1
xcos—,x>0
⑶设函数/(%)=</(1>0,4>0),若/(力在
0,x<0
x=0处连续则:()
(A)6Z—/?>0(B)O<«-^<1
(C)a-/3>2(D)0<a-^<2
【答案】(A)
【解析】尤<0时,r(^)=O£(O)=O
xacos
人=limcos上
力⑼=嚼p
X3+x
x>0时,/'(%)=O/TcosJ+(—sin:(一夕
=ax01_1cos-^+/3严一2,sin3
/'(X)在x=0处连续则:f:(o)=/(()=go=s得
of—1>0
axa~lcos-^r-+。£_左\sin|=0
r(o)=噂/(力=噂
xpxp)
得:a-^-l>0,答案选择A
⑷设函数/■(£)在(-00,40。)内连续,其中二阶导数/■"(%)的图形
如图所示,则曲线y=f(x)的拐点的个数为
)
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
【答案】(0
【解析】根据图像观察存在两点,二阶导数变号.则拐点个数为2个。
(5)设函数/("一)满足/卜+-口=——/,则与
(A),0
(B)0,1
(C)--,0
(D)0,-^
【答案】(D)
【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.
^u=x+y,v=—,则x='—,y=』匕,AffiJf(x+y,—)=%2-y2
X1+V1+VX
为
u2(l-v)
/3,v)=故
1+v
df_2w(l-v)df_2M之
du1+v9dv(1+v)2
因哈
=.故选(D)
W=1=0,U=1
V=1dvV=12
⑹设。是第一象限由曲线2盯=1,4町=1与直线y=x,
y=底围成的平面区域,函数在。上连续,则
\\f(x,y)dxdy=)
D
711
(A)][[。]呼。/(rcos6,sine)rdr
42sin26
71]
(B)JJd6rs[2。ycosrsinQiydr
40sin26
兀1
(C)gdejsinyy(rcos0,rsinOylr
42sin26
(D)jjdgjjsiye/(rcos8/sin。协
4-sin26
【答案】(B)
【解析】根据图可得,在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为
J。上工,一「1
。=〈(几。)
43<2sin29
所以
冗[
||于(x,y)dxdy=|Jd。]小野/(rcos8,rsin0)rdr
D4近sin20
故选B.
fl)
11)
(7)设矩阵A=12a,b=d.若集合O={1,2},则线
2
J4aJ
性方程组AA有无穷多解的充分必要条件为:
()
(A)a史O,d史O(B)。e。,deQ
(C)ae。,deQ(D)ae。,deQ
【答案】D
【解析】
qii1、(\11
(A,b)=12adf01a-1d-1
J4a2d2)1°0(a—l)(a—2)
由r(A)=r(A,»<3,故a=l或a=2,同时2=1或d=2。故选⑺)
(8)设二次型/(4,范,巧)在正交变换x=Py下的标准形为
2丁;+贡一%,其中尸=(q,箪,刍,若。=&,-e3。2则
/=(苞,%2,£)在正交变换x=。下的标准形为:
()
(A)+y2(B)2y:+一
(C)—%—%'(D)2y;++y;
【答案】(A)
【解析】由X=今,故/=x,Ax=/(P'AP)、=2y:+£-£.且
,200、
PTAP=010
、00-17.
U00、
Q=P001=PC
、0-10,
,200、
QTAQ=CT(PTAP)C=0-10
、00b
所以/=/Ax=V(QTAQ)y=2y;—£+y;。选(A)
二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题
里指定位置上.
⑼]x一=arct+an/t则/U丘---------------------
【答案】48
【解析】今=%=厘=3(1+咛
/dt1+/
d[3(l+』)2]/
察/卬+小=%/=+=.+力
/dt1+产
(10)函数=在x=0处的〃阶导数/"(0)=
【答案】〃(八—l)(ln2厂2
【解析】根据莱布尼茨公式得:
/(")(0)=戏2(2吓1)=^^2(ln2)n-2=“(於l)(ln2)i
x=o2
(11)设/(尤)连续,必无)=[力,若0⑴q@'($=,则/⑴=
【答案】2
【解析】已知e(x)=尤「『⑺办,求导得夕'(X)=J;/⑺由+2%",),故
有0(1)=J)⑺力=1,
^(1)=1+2/(1)=5,则/(1)=2,
(⑵设函数y=y(力是微分方程y'+y-2y=0的解,且在x=0处
y(x)取得极值3,则y(x)=。
【答案】e-2x+2ex
【解析】由题意知:丁(。)=3,/(0)=0,由特征方程:力之+丸一2=0解
得4=1,42二—2
所以微分方程的通解为:y=ae*+Ge2代入y(o)=3,y'(0)=0解得:
G=2C?=1
解得:y=2ex+e-2A
(13)若函数Z=z(x,y)由方程ex+2y+3z+xyz=l确定,则dz(0小
【答案】一如+2力)
【解析】当x=0,y=0时Z=O,则对该式两边求偏导可得
(3/+2y+3z+孙)丝=_yz_e%+2y+3Z
dx
x+2y+3zx+2y+3z
(3e+xy)-=-xz-2eo将(0,0,0)点值代入即有
dy
dz1dz2
瓦(0,0)——1标(0,0)——丁
121
则可得dzI”o)=—1dx—]dy———+2dy).
(14)若3阶矩阵A的特征值为2,—2,1,B=A2-A+E^其中片为3阶单
位阵,则行列式恸=.
【答案】21
【解析】A的所有特征值为2,-2,1.5的所有特征值为3,7,1.
所以151=3x7x1=21。
三、解答题:15〜23小题,共94分.请将解答写在等㈱纸指定位置上.解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
设函数/(x)=x+aln(并光升bxsin,g(x)=履3.若/(龙)与g(龙)在
%-0时是等价无穷小,求。力,女的值.
【答案】a=—1,k=—,b=—
32
【解析】
方法一:
Jx3X3
因为ln(lx)—x——+,sinx—x——+c>(x3),
那么,
(l+tz)x+(/?-^)x12+J%+。(九)
X+a
1-lim九)-HmI"。+sinx=lim
%-。g(%)、-。kx3x->0kx3
1+Q=0a=l
可得:,力—区二0,所以,
2
3
方法二:
由题意得
x+aln(l+x)+/?xsinx
a。g(%)%'。
a,.7
1+—+PSHIX+/?XCOSX
=lim——1+x
x->03k£
由分母lim3A;x2=0,得分子lim(l+—^+Z?sinx+Z?xcosx)
%-»0Xf0l+x
=lim(l+a)=0,求得c;
xf0
fz、1------——hbsinx+bxcosx
于是1=lim=lim—9------------------------
g(x)%'。3左£
x+/7(l+x)sinx+bx(l+x)cosx
=lim
x—>03^(1+x)
%+Z?(l+x)sin%+bx(l+x)cosx
=lim
x->03k£
l+/2sinx+/7(l+x)cosx+Z?(l+x)cosx+Z?xcosx-Z?x(l+x)sinx
=lim
x->06kx
由分母lim6g;=0,得分子
xf0
lim[l+Z?sinx+2Z?(1+x)cosx+Zzxcos九一fcv(l+x)sinx]
Xfo
=lim(l+2Z?cosx)=0,
xf0
求得6=-4;
2
进一步,b值代入原式
〃、1--sinx-(l+x)cosx--xcosx+—x(l+x)sinx
1=lim丁%=lim——----------------------------------------------------------
g(x)%一。6kx
——cosx-cosx+(l+x)sinx——cosx+—xsinx+—(l+x)sinx+—xsinx+—x(l+x)cosx
=lim----------------------------------------------------------------------------------------------------------
io6k
1
=',求得k=—1
6k3
(16)(本题满分10分)
设A〉0,D是由曲线段y=Asinx(0Kx除及直线y=0,x所围成
的平面区域,匕,匕分别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积,若
匕=匕,求A的值。
O
【答案】一
n
【解析】由旋转体的体积公式,得
717C万1o
7if2(x)dx=£»(Asin犬了公=——°;'公
4
71
V2=『2时(x)dx=-2必「显cosx=2JIA
Q
由题V=V,,求得A=—.
TC
(17)(本题满分11分)
已知函数/(x,y)满足f^(.x,y>=&什ef,<'(x,0)=(x+l)e*,
f(Q,y)^y2+2y,求f(x,y)的极值。
【答案】极小值/(0,—1)=—1
【解析】&(羽丁)=2(丁+1)靖两边对丫积分,得
y)=2(gy2+y)ex+0(x)=(丁+2y)ex+(p{x},
故f:(x,O)=e(x)=(x+l)ex,
求得9(x)=e*(x+1),
故f;(x,y)=(/+2y)ex+ex(l+x),两边关于x积分,得
f(x,y)=(j2+2y)eA+jex(l+x)dx
=(/+2yK+j(l+xW
=(y2+2y)ex+(1+x)ex-Jexdx
=(V+2y)ex+(1+x)ex-ex+C
-(y2+2y)ex+xex+C
由/(0,y)=、2+2y+©=/+2丁,求得C=0.
所以/(x,y)=(/+2y)eA+xex.
人f:=(/+2y)e'+e'+xe'=0(x=0
令<[f;,=(2y+2)ex=0,求得[<y=-l.
又《=(/+2y)靖+2e*+x",
x
/=2(y+M,f;y=2e,
当x=0,y=-1时,
A=如0「1)=1,B=&(0,-1)=0,C=/;(0,-l)=2,
AC-B2>0,/(0,—1)=-1为极小值.
(18)(本题满分10分)
2
计算二重积分Jjx(x+y)公力,其中£)={(%y),2+,2<2,y>x
12
【答案】---
【解析】jjx(x+y)dxdy=jjx2dxdy
DD
=2-x2)Jx
o
sin?£2
"J/----------72%=&sii22
二2A/2—xdx——=2F2sintlcostdt——
0o5
u=2t
/=2cf4sin222tdt——r-=f2sin2u2du——7T=2-----
J。5J。545
(19)(本题满分11分)
己知函数=产力,求/(无)零点的个数?
【答案】2个
令/'(x)=0,得驻点为x=g,
在(-哈;),/(X)单调递减,在(g,+8),/(x)单调递增
故/(J)为唯一的极小值,也是最小值.
+/2出―Jl+/dt
4
224
在d』),<Jl+t,故J:\ll+t2dt-J;A/1+tdt<0
222
从而有/(—)<0
lim/(x)=lim[[+>dt+[Jl+tdt]=+oo
x—>-ooX—>-ooJxJl
limf(x)=lim[f/dt+\Jl+tdt]=lim[fA/1+tdt-[+»dt]
X—>+oox—>+ooJxJl%f+ooJlJl
[Jl+tdt2x\ll+x2
考虑lim—~==-=lim—/=+oo,所以limf(x)=+oo.
02
z+01Az力ZMVI+x
所以函数f(x)在S,g)及(g,+8)上各有一个零点,所以零点个数为2.
(20)(本题满分10分)
已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与
该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为120℃的物体在20℃
的恒温介质中冷却,30min后该物体降至30℃,若要将该物体的温度继续
降至21℃,还需冷却多长时间?
【答案】30min
【解析】设/时刻物体温度为x(t),比例常数为k(>0),介质温度为m,则
一=-k(x-m),从而%(%)=。£一"十加,
dt
x(0)=120,m=20,所以C=100,即x«)=100e,+20
又1(2)=30,所以左=21nl0,所以x(/)=」^+20
2100'T
当X=21时,t—1,所以还需要冷却30min.
(21)(本题满分10分)
已知函数/(x)在区间[a,+oo]上具有2阶导数,/(«)=0,/(%)>0,
/"(^)>0,设b>a,曲线y=/(x)在点(仇/■("))处的切线与x轴的交
点是(天,0),证明a<x()<b。
【证明】根据题意得点(仇/(加)处的切线方程为y—/3)=/'S)(x—b)
于(b)
令y=0,得
f'(b)
因为/'(x)>0所以/(x)单调递增,又因为/(a)=0
所以/(b)>0,又因为/'出)>0
所以-华^<6
『出)
又因为%-黑,而在区间(a,b)上应用拉格朗日中值定理有
—f(a)=/,©,e(a,b)
b-a
所以……-符倦-瑞小瑞普
因为/“(X)>。所以/'(X)单调递增
所以rs)>rC)
所以七一。〉0,即x()>a,所以结论得证.
(22)(本题满分11分)
"a10、
设矩阵A=1a-1且A3=o.
101a}
(1)求。的值;
(2)若矩阵X满足X—X4?—AX+AXf=E,E为3阶单位阵,求X.
【答案】<20-1、
〃=0,X=—11—1
「1f
【解析】
a10010
(I)A3=(9=>|A|=0^>1a-11-a2a—l="3=Ona=o
01a-Q1a
(II)由题意知
X-XA2-AX+AXA2=E=>X(E-A2)-AX(E-A2)=E
=>(E-A)X(E-A2)=E=>X=(E-Ay1(E-A2)-I=[(E-A2)(E-A)]-1
=>X=(E-A2-A)-1
'0-1P
E-A2-A=-111
-1-12
\7;
'0-1IM00、'1-1-IM-10、
-11IM10T0-11M00
、—
、—1-12M01;1-12M017
<1-1-IM)-10、<1-1-IM)-10、
f01-1M100T01—1M100
-21M)-1b100-1M2-1b
‘1-10M0-1>0OM1-2、
T01OM1-1T01OM1-1
、00IM1-ly、00IM1—1,
,31-2、
X=11-1
(21-1J
(23)(本题满分11分)
’02-3、(1-20、
设矩阵A=-13-3相似于矩阵B=0b0
1-2a)N3b
(1)求a,b的值;
(2)求可逆矩阵p,使尸-1转为对角阵.
【答案】
(1)a=4,Z?=5;
(2)
,2-3-1
P=10-1
、0117
【解析】(I)A~3n"(A)="(3)n3+a=l+b+l
02-31-20
|川=忸|=>-13-30b0
1-2a031
a-b=-la=4
2a—b—3b=5
(II)
(
f02-3、100、(-12-3、
A=-13-3010+-i2-3=E+C
1-237\00Li-237
12—3、5
C=-12-3=-1(1-23)
1-23J
c的特征值4=4=o,4=4
4=0时(0E—Qx=0的基础解系为只=(2,1,0产;/=(-3,0,l)r
/l=5时(4E—C)x=0的基础解系为5=(-1,-1,1)T
A的特征值4=1+4:1,1,5
/2-3-P
令?=©&,3)=10-1
I。11J
(1)
PlAP=1
、5,
2016考研数学二真题及答案
一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.
1.当xf0+时,若ln«l+2x),(1—cosxW均是比x高阶的无穷小,
则a的可能取值范围是()
(A)(2,+oo)(B)(1,2)(C)(―,1)(D)(0,—)
11-2
【详解】lna(l+2x)~2"x",是a阶无穷小,(l—cosx)。~二X。是一
-a
2a
a>1
阶无穷小,由题意可知,2
—>1
a
所以a的可能取值范围是(1,2),应该选(B).
2.下列曲线有渐近线的是
(A)y=x+sinx(B)y=x2+sinx(C)j=x4-sin—'(D)
x
..1
y=x2j+sm—
x
1y1
【详解】对于y=x+sin—,可知lim上=1且lim(y-%)=limsin—=0,
“XX—>oo%X—>00X—>ooX
所以有斜渐近线y=x
应该选(C)
3.设函数/(x)具有二阶导数,g(x)=/(0)(l-x)+/(l)x,则在[0,1]上
()
(A)当r(x)N0时,/(x)>g(x)(B)当r(x)>0时,
f(x)<g(x)
(C)当/"(x)N0时,/(x)>g(x)(D)当/"(x)N0时,
f(x)<g(x)
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.
【详解1】如果对曲线在区间[见切上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接
做出判断.显然g(x)=/(0)(1-“)+/⑴x就是联接(0,7(0)),(1,/⑴)
两点的直线方程.故当/"(x)>0时,曲线是凹的,也就是/(x)<g(x),
应该选(D)
【详解2】如果对曲线在区间加上凹凸的定义不熟悉的话,可令
F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(l-x)-f(l)x,则F(0)=F(l)=0,
且歹‘'(x)=r'(x),故当r'(x)No时,曲线是凹的,从而
F(x)<F(O)=F(l)=O,BPF(x)=f(x)-g(x)<0,也就是
f(x)<g(x),应该选(D)
4.曲线|"=:+7'上对应于f=l的点处的曲率半径是()
y=£+4/+1
(A)叵(B)叵(C)io7io(D)5如
50100
|j"|
【详解】曲线在点(x,/(x))处的曲率公式K=一^^,曲率半径
v(i+y2)3
.,dxdy,办2f+4,2
本题m中一=2t,—=2t+4,所以—=-----=1+-
dtdtdxItt
_2_
d2y1
dx2It3
1
对应于r=l的点处V=3,V'=-1,所以爪=亍^^=一「,曲率
7d+y2)3io丽
半径R=」~=IO"5.
K
应该选(C)
身=
5.设函数/(x)=arctanx,若f(x)=,则lim)
Xf0X2
(B)
(A)1t(C)I(D)
3
1
【详解】注意(1)/'(x)=(2)
1+X2
x—>0时,arctanx=x-jx3+o(x3).
由于小)3(“所以可知小)=金=—=丁
x-arctanx
片=
(arctanx)2
(x-jX3)+O(X3)
A..x-«rxtanx1
Inn—=Inn----------------=lim
iox—。x(arctanx)x->0X33
6.设"(x,y)在平面有界闭区域〃上连续,在D的内部具有二阶连续偏导数,
222
且满d足u三及d三u+d”u=0,则().
dxdydx2dy2
(A)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域〃的边界上;
(B)〃(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域〃的内部;
(C)〃(x,y)的最大值点在区域,的内部,最小值点在区域〃的边界上;
(D)〃(x,y)的最小值点在区域2的内部,最大值点在区域〃的边界上.
【详解】u(x,y)在平面有界闭区域〃上连续,所以〃(x,y)在D内必然有
aa
最大值和最小值.并且如果在内部存在驻点(x0,j0),也就是《=F=°,
dxdy
d2ua2
在这个点处A==笠=三:,由条件,显然
dxdydxdydydx
AC-B2<0,显然〃(x,y)不是极值点,当然也不是最值点,所以〃(x,y)
的最大值点和最小值点必定都在区域,的边界上.
所以应该选(A).
0b0
00b
7.行列式等于
00
00
(A)(ad-be)2(B)—(ad-'Ac)?(C)u^d—b2c~(D)
-a2d~+b-c2
【详解】
0ab0
a0ba0b
a00bbab
=-a00+b0c0=-ad+bc=-(ad-be)2
0c0
00
00
应该选(B).
8.设a”4,%是三维向量,则对任意的常数无,/,向量/+左%,a2+
线性无关是向量区,4,用线性无关的
(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件
(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件
【详解】若向量线性无关,则
0、
对任意
(a1+ka3,<z2+la3)=(即%,。3)。1=(al,a2,ai)K,
苫
的常数上,/,矩阵K的秩都等于2,所以向量/+左%,%+以3一定线性
无关.
而当见时,对任意的常数向量%+左%,
%+,4线性无关,但线性相关;故选择(A).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横
线上)
H1,
9.I—;------ax=_______.
J-°°X-+2x4-5
【详解】
f11,ridx
I—;-------dx=I----------
J-°°x+2x+5J-00(x+1)+4
10.设/(x)为周期为4的可导奇函数,且/'(x)=2(x—l),xe[o,2],则
/(7)=.
【详解】当xw[0,2]时,/(x)=12(x-l)dx=x2-2x+C,由/(0)=0
可知。=0,即/(x)=Y-2x;/(x)为周期为4奇函数,故
/(7)=/(-1)=/(1)=1.
7
11.设z=z(x,y)是由方程e?%+x++z=z确定的函数,则
---.
7
【详解】设F(x,y,z)=e2yz+x+y2+z--,
2yz2yz
Fx=l,Fy=2ze+2y,Fz=2ye+1,当x=y=g时,z=Q,
dz_Fx_1dzFy
=
dx~~l\~~2'~dy~~Fz2
22
12.曲线L的极坐标方程为r=6,则L在点(r,6)=—,一处的切线方
I22)
程为.
【详解】先把曲线方程化为参数方程《x=r(二e)cos八6八=Ocos八O,于是在
y=r(e)sine=esin6
八兀”cdy,sine+6cos6,2皿>人上
6=一处,x=Q,y=—,—I=-----------------I=一一,则L在点
22dxIcos。—Ssine?兀
(7T7T\冗29jr
(r,6)=—,一处的切线方程为y----=-----(X—0),即7=-----x-\—・
V22J27in2
13.一根长为1的细棒位于工轴的区间[0,1]上,若其线密度
p(x)=-x2+2x+l,则该细棒的质心坐标x=
11
_Jxp(x)dx£(―x3+2x2+x)dx
【详解】质心坐标X=T----------12_H
-
[p(x)dxJ(_x+2x+Y)dx520
Jo3
14.设二次型/(巧,*2,*3)=X:一X;+2。跖*3+4*2*3的负惯性指数是1,
则。的取值范围是
【详解】由配方法可知
/(x1,x2,x3)=xf-xf+2axlx3+4x2x3
=(X]+ux^)~一(x。—2x-j1+(4―a1)xg
由于负惯性指数为1,故必须要求4一。2N0,所以。的取值范围是[-2,2].
三、解答题
15.(本题满分10分)
J-1)—t)dt
求极限lim----------------------.
X->4-0001
x2ln(l+-)
x
【分析工先用等价无穷小代换简化分母,然后利用洛必达法则求未定型极
限.
【详解】
「(尸(6-1)-力西「(尸(〃-1)-/)近1
lim-----------------------=lim-----------------------=lim(x2(ex-1)-x)
Xf+81Xf+8YXf00
xo2ln(l+-)”
x
16.(本题满分10分)
已知函数y=j(x)满足微分方程x2+J2J'=1-V,且y(2)=0,求y(x)
的极大值和极小值.
【详解】
解:把方程化为标准形式得到(l+y2)半=1-*2,这是一个可分离变量的
1.1,
一阶微分方程,两边分别积分可得方程通解为:—V+x—一—+c,
33
由y(2)=0得C=:,
1,1,2
即Bn_V3+V=X---X34---.
333
令◎=!_「=o,得x=±i,且可知
dx1+j
d2y二―2x(l+y2)2—2y(l--)2
dx2(1+J2)3
当x=l时,可解得y=l,y'=-l<0,函数取得极大值y=l;
当x=-l时,可解得y=0,/'=2>0,函数取得极小值y=0.
17.(本题满分10分)
设平面区域D=j(x,j)|l<x2+j2<4,x>0.j>0).计算
xsin(^7^2+J2),,
--------------------dxdy
x+y-------------«
nD
【详解】由对称性可得
rj.xsin(^7^2+J2)rpsin(^7^2+J2)
dxd=^2^
Yx+yJ/x+y
2
1内11(%/炉+/)/lf7jnf./3
=----------------------dxd=——d夕rsm^rrfr=——
2JJ12JoJi4
18.(本题满分10分)
设函数/(H)具有二阶连续导数,z=f(excosy)满足
a27a?7
衿+衿=(4z+e*coy^e2x.若"0)=0,尸(0)=0,求/®的表达
oxdy
式.
【详解】
设“=e*cosy,贝!lz=f(u)=f(excosy),
07a?7
『=八"?-4=/"(«>2xcos2j+f\uyexcosy;
OXox
dzd~70。
¥=~fWsi"'后=『"‘in"八"cosy;
22
dzdz79
由条件+丁r=(4z+e*cosy)e2"
ox-dy~
可知
/"(〃)="(〃)+w
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程.
对应齐次方程的通解为:
2uU
/(«)=Cxe+C,e--其中G,g为任意常数.
对应非齐次方程特解可求得为y*=-.
2u2a
故非齐次方程通解为f(u)=C,e+C2e--^u.
将初始条件/(0)=0,/'(0)=0代入,可得G=」,C,=一二.
1616
所以/(〃)的表达式为f(u)=^e2u-^e-2u--u.
19.(本题满分10分)
设函数f(x),g(x)在区间限司上连续,且/(%)单调增加,0<g(x)<l,
证明:
(1)04Jg(t)dtWx-a,xG[a㈤;
(2)r+^a8t)df(x)dx<Cf(x)g(x)dx.
JaJa
【详解】
(1)证明:因为O<g(x)«l,所以JOrfx<Jg(t)dt<JIdtxG\a9b].
即0<Jg(t)dt<x-a,xG\a^b].
(2)令方(x)=[Xf(u)g(u)du-[a+^8t)dtf(u)du,
JaJa
则可知b(a)=O,且F'(x)=/(x)g(x)—g(x)/(a+J〃g⑺叼,
因为04/g(/)d/4*-a,且/(x)单调增加,
所以/(a+Jg(t)dt^<f(a+x-a)=f(x).从而
F'(x)=/(x)g(x)-g(x)f^a+,g(f)df)>f(x)g(x)-g(x)f(x)=0
,xe\a,b\
也是F(x)在[a,在单调增加,则是(》)N4(a)=0,即得到
+g,,)(Zf
r£y(x)jx<Cf(x)g(x)dx.
JaJa
20.(本题满分11分)
设函数〃x)=^^,xe[0,l],定义函数列
1+X
/1(x)=/(x),/2(x)=/(71(x)),•>/n(x)=/(/n_1(x))9...
设S〃是曲线)=/〃(%),直线x=l,y=O所围图形的面积.求极限
limnSn.
n—>oo
【详解】
X
X1+XX,
fl(x)==
1+X]IXl+2x
1+x
X
f(x)=
3l+3x
X
利用数学归纳法可得/〃(x)=
1+nx
氤八力」六但如中,
rcr(Aln(l+明]
InnnS=Inn1----------=1.
8nn-»oolnJ
21.(本题满分11分)
已知函数f(x,y)满足%=2(y+1),且/(j,j)=(j+1)2-(2-j)lnj,
Sy
求曲线/(x,y)=0所成的图形绕直线j=-l旋转所成的旋转体的体积.
【详解】
由于函数f(x,y)满足g=2(y+1),所以/(x,y)=y2+2y+C(x),
dy
其中C(x)为待定的连续函数.
又因为/(y,y)=(y+l)2-
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