湘教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-1-2椭圆的简单几何性质练习含答案

3.1.2椭圆的简单几何性质基础过关练题组一由椭圆的标准方程探究其几何性质1.已知椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=()A.2B.2C.142.(2022天津三中期中)已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1,则两个椭圆()A.有相同的长轴与短轴B.有相同的焦距C.有相同的焦点D.有相同的离心率3.[2021新高考八省(市)联考]椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1A.1B.2C.3D.24.设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且∠CBA=45°,若AB=4,BC=2,则椭圆的焦距等于()A.463B.263题组二由椭圆的几何性质求标准方程5.(2022四川凉山州月考)已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆C的长轴长为4,焦距为2,则C的方程为()A.x216+B.x216+y212=1或yC.x24+y2D.x24+y23=1或6.(2021江苏徐州沛县学情调研)过点(2,3),焦点在x轴上且与椭圆x24+y2A.x26+y24=1B.C.x212+y29=1D.7.以椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形,且椭圆CA.x24+y23=1B.C.x216+y212=1D.8.(2022湖南益阳期中)若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,焦距为25,椭圆C上的两点P,Q关于原点对称,|PF|-|QF|=a,且PF⊥题组三椭圆的离心率9.设e是椭圆x2k+y24=1的离心率,且e∈12A.(0,3)B.3C.(0,2)D.(0,3)∪1610.(2022广东福田月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为12,A是椭圆上位于x轴上方的一点,且|AF1|=|F1FA.33B.3C.211.(2022四川树德中学月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在点P,使得|PF1|=3|PF2|,其中F1A.0,1C.12,12.(2022湖南桃江一中开学考试)已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,若过原点的直线与椭圆相交于A,B两点A.32,C.0,1题组四直线与椭圆的位置关系13.直线y=x+1与椭圆x25+y2A.相交B.相切C.相离D.无法判断14.(2022四川成都蓉城名校联盟期中)直线y=x+m与椭圆x22+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=423,A.±12B.±1C.±315.直线y=x+1被椭圆x24+y2A.23,C.-2316.过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△17.(2022湖南邵阳期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,B1为椭圆的上顶点,△B1(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,P0,12,|MP|=|NP|,求实数能力提升练题组一椭圆的几何性质及其应用1.(2022江西景德镇一中期末)已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆x216+y28=1上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上的一点(不与点P重合),且F1M·PM=0,A.[0,3)B.(0,22)C.[22,3)D.[0,4]2.(多选)(2022山东泰安月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1B.椭圆C的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率的取值范围为0D.若PF1=F1Q,则椭圆C3.(2022湖北黄冈中学期末)已知A,B为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两点,F1,F2分别为其左、右焦点,且满足AF1=2F1B,当∠F4.(2022湖北武汉期末)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为8,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为4,P为椭圆上的任意一点,则5.(2022安徽芜湖期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).过F1且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点A,以F1A,F1O(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OF1AB,点B恰好也在椭圆上,题组二直线与椭圆的位置关系6.(多选)(2022河北阜城中学期末)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”,下列直线是“椭型直线”的是()A.x-2y+6=0B.x-y=0C.2x-y+1=0D.x+y-3=07.(2022河南新乡期末)已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(32,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点的坐标为(2,-A.x232+y214=1B.C.x248+y230=1D.8.(2022陕西西安中学月考)已知曲线C上任意一点P(x,y)满足x2+y2+2y+1+x2+A.23,-C.32,9.(2022湖南湘潭月考)已知点P(0,1)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,(1)求椭圆C的方程;(2)不经过点P(0,1)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,记直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=-2,则直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.10.(2022湖南师大附中期末)如图,已知动圆M过点E(-1,0),且与圆F:(x-1)2+y2=8内切,设动圆圆心M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过圆心F的直线l交曲线C于A,B两点,问:在x轴上是否存在定点P,使得当直线l绕点F任意转动时,PA·PB为定值?若存在,求出点P的坐标和PA·PB的值;若不存在,请说明理由.答案与分层梯度式解析基础过关练1.D易知长轴长2a=2,短轴长2b=21m所以41m=2,解得m=4.故选2.D将椭圆方程x2+2y2=2整理得x22+y2=1,其焦点在x轴上,a1=2,b1=1,则c1=a12-b12=1,所以e将椭圆方程2x2+y2=1整理得x212+y2=1,其焦点在y轴上,a2=1,b2=22,则c2=所以e2=c2a2=2213.C由题意得a=m2+1,b=m,c=1,∠F1AO=π6(O为坐标原点),则tanπ6=cb=1m=334.A不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B分别为长轴的左、右端点,则2a=4,C(1,1)或C(1,-1),所以a2=4,于是14+1b2=1,解得b2=43,5.D由题意得a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3.当焦点在x轴上时,椭圆的方程为x24+y23=1,当焦点在y轴上时,椭圆的方程为y26.D设所求椭圆方程为x24+y23=λ(λ>0),将(2,3)代入可得44+33=λ,即λ=2,所以所求椭圆方程为7.C由题意可得b=3c,a+c=6,8.答案x28+解析设椭圆C的左焦点为F',则F'(-c,0),由椭圆的对称性可知|PF|-|QF|=|QF'|-|QF|=a,又因为|QF'|+|QF|=2a,所以|QF'|=3a2,|QF|=a2,由PF⊥QF得∠F'QF=90°,在Rt△F'QF中,由勾股定理得|QF|2+|QF'|2即a24+9a24=(2c)2=20,解得a2=8,又因为c=5,所以b2=a2-c2=3,因此椭圆C9.D当椭圆的焦点在x轴上时,k>4,e=k-4k∈12,1,∴k-4k∈14,1,∴k∈163,+∞;当椭圆的焦点在y轴上时,0<k<4,e=4-k10.B依题意e=ca=12,即a=2c.又因为|AF1|+|AF2|=2a,|F1F2|=2c,|AF1|=|F1F2|,所以|AF2|=2c,所以△AF1F2是等边三角形,所以∠AF1F2=60°,所以kAF1=tan∠AF1F2=tan11.D由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,又∵|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=32a,|PF2|=1而|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c,当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立,即32a-12a≤2c,解得e=ca≥12,即112.D设椭圆的另一个焦点为F',连接AF',BF',则四边形AFBF'为平行四边形,∠FAF'=60°,在△AFF'中,由余弦定理得|FF'|2=|AF|2+|AF'|2-2|AF|·|AF'|cos∠FAF'=(|AF|+|AF'|)2-3|AF|·|AF'|,所以(|AF|+|AF'|)2-|FF'|2=3|AF|·|AF'|≤3|AF|+|AF'|22,即14(|AF|+|AF'|)2≤|FF'|2,当且仅当|AF|=|AF'|时等号成立,则14×4a2≤4c2,可得椭圆的离心率e=c13.A直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入x25+y24=1,得0+14<1,即点14.B设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=x+m,x22+y2=1,消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0,则x1+x2=-4m3,x1x2=2m2-23,15.C联立y=x+1,x24+y22=1,消去y并整理,得3x2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-4∴所截得的线段的中点的坐标为-216.答案5解析由题意知,椭圆右焦点的坐标为(1,0),又因为直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-1),将其与方程x25+y24=1联立,消去y并整理,得3x2-5x=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=53,x1x2=0,所以|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+22×532-4×017.解析(1)S△B1F1F2=12·2c·b=bc=3,又∵ca=32,a2=b2+c2,(2)由y=kx+m,x2+4y2=4,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8由Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,得4k2>m2-1.设MN的中点D的坐标为(x0,y0),则x0=x1+x22=-4km4k2+1,y0∵|MP|=|NP|,∴DP⊥MN,即y0-1∴4k2=-6m-1,∴-6m-1∴实数m的取值范围是-6能力提升练1.B如图,延长PF2,F1M交于点N,则△PF1N为等腰三角形,M为F1N的中点,|OM|=12|F2N|=12|PN-PF2|=12||PF1|-|PF2||.由图可知,当P在短轴端点时,|OM|取得最小值,此时|OM|=0;当P在长轴端点时,|OM|取得最大值,此时|OM|=22,又因为点2.ACD因为|F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1,当点Q在F2P的延长线上时取等号,故A正确;若椭圆C的短轴长为2,即2b=2,则b2=1,a2=2,所以椭圆的方程为x22+y2=1,又因为122+12>1,则点P在椭圆外,所以短轴长不可能为2,故B错误;因为点P(1,1)在椭圆内部,所以1a2+1b2<1,又因为a2-b2=1,所以1a2+1a2-1<1(a>1),即a4-3a2+1>0(a>1),所以a2>(1+5)24,所以a>1+52,所以e=ca<5-12,所以e∈0,5-12,故C正确;若PF1=F1Q,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),又因为点Q在椭圆上,所以9a2+1b2=1,又因为a2-b3.答案21解析由题意得A,F1,B三点共线,设|F1B|=m(m≠0),则|AF1|=2m,|AB|=3m.在椭圆中,|F1F2|=2c,∠F1AF2=π3,由椭圆的定义可得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m,在△F1AF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|·cos∠F1AF2,即4c2=4m2+(2a-2m)2-2·2m·(2a-2m)·cosπ3,化简得c2=a2+3m2-3am.在△ABF2中,由余弦定理得|BF2|2=|AB|2+|AF2|2-2|AB|·|AF2|cos∠BAF2,即(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2-2·3m·(2a-2m)·cosπ3,化简得9m2-5am=0,因为m≠0,所以m=59a,所以c24.答案2解析由已知得2b=8,故b=4,∵△F1AB的面积为4,∴12(a-c)b=4,∴a-c=2,又∵a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=16,故a+c=8,∴a=5,c=3,∴1|PF1=2a|=10-|P又∵a-c≤|PF1|≤a+c,即2≤|PF1|≤8,∴当|PF1|=5时,-(|PF1|-5)2+25有最大值,为25;当|PF1|=2或|PF1|=8时,-(|PF1|-5)2+25有最小值,为16,即16≤-(|PF1|-5)25.答案23解析依题意可知c=2,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为四边形OF1AB为平行四边形,所以y1=y2,又因为x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,所以x2=-x1,因为F1A∥OB,且直线F1A的倾斜角为60°,所以y1x1+2=y2x2=3,所以x1=-1,x2=1,y1=y2=3,所以A(-1,3),将其代入x2a26.BC|PM|+|PN|=4>|MN|=2,根据椭圆的定义可得点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为x24+y23=1.由题意知“椭型直线”与椭圆有公共点,对于A,联立x24+y23=1,x-2y+6=0,消去x并整理,得2y2-9y+12=0,所以Δ<0,方程组无解,所以A中直线不是“椭型直线”;同理,D中直线也不是“椭型直线”;对于B,直线x-y=0过原点,必与椭圆相交,7.D设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式作差得x12-x22a2+y12-y22b2=0,整理可得y12-y22x12-x22=-b2故选D.8.B原等式可化为x2+(y+1)2+x2+(y-1)2=22,设F1(0,-1),F2(0,1),则|F1F2|=2,∴|PF1|+|PF2|=22>|F1F2|=2,∴点P∴曲线C的方程是x2+y22=1,设与直线2x-y-4=0平行且与曲线C相切的直线方程为2x-y+t=0(t≠-4).联立2x-y+t=0,x2+y22=1,消去y并整理易知当t=-6时,切点到直线2x-y-4=0的距离最近,此时可求得x=63,y=-63,故所求点的坐标是639.解析(1)由题意知P(0,1)为椭圆的上顶点,则b=1,在x+2y-2=0中,令y=0,可得x=2,即c=2,所以a2=b2+c2=1+4=5,所以椭圆C的方程为x25+y(2)当直线l的斜率不存在时,设A(x0,y0),B(x0,-y0)(-5<x0<5且x0≠0),则k1+k2=y0-1x0+-y0当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+m,x25+y2=1,消去y并整理,可得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,则x1+x2=-10km1+5k2,x1x2=5m2-51+5k2所以(k