湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列１-４数学归纳法练习含答案

*1.4数学归纳法基础过关练题组一利用数学归纳法证明等式1.(2022湖南湘潭一中月考)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+…+1n-1-1n=21n+2+1A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立2.(2021安徽合肥肥东二中月考)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)(n∈N+)时,从n=k到n=k+1,等式左边需增添的项是()A.2k+2B.2(k+1)+1C.(2k+2)+(2k+3)D.[(k+1)+1][2(k+1)+1]3.用数学归纳法证明1-141-191-116×…×1-1题组二利用数学归纳法证明不等式4.用数学归纳法证明1n+1+1n+2+…+13n+1>1(n∈N+A.12+13+14B.C.125.对于不等式n2+n<n+1(n∈N+(1)当n=1时,12+1<1+1,(2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时,不等式成立,即k2则当n=k+1时,(=k2+3=(k所以当n=k+1时,不等式成立.则上述证法()A.过程全部正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确6.用数学归纳法证明“1+12+13+…+12n-1<n(n∈N+,n>1)”的过程中,从n=k(k∈N+,k>1)到A.kB.2kC.2k-1D.2k-17.用数学归纳法证明:112+132+…+1(2n-1)2>1-12+13-1题组三归纳—猜想—证明解决与递推公式有关的数列问题8.(2021江西上饶月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=14,且an=12+1nSn-2n-1(n(1)求S12,S2(2)由(1)猜想数列Sn2n的通项公式9.(2021陕西西安铁一中学期末)在数列{an}中,a1=12,an+1=3(1)求出a2,a3,并猜想{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

答案与分层梯度式解析基础过关练1.B因为n为正偶数,所以当n=k时,下一个偶数为k+2.2.C当n=k(k∈N+,k>1)时,左边=1+2+3+…+(2k+1),当n=k+1时,左边=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),故选C.3.证明(1)当n=2时,左边=1-14=34,右边=2+12×2=3(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,等式成立,即1-141-191-1那么当n=k+1时,1-141-191-116×…×1-1k21-1(k+1)综合(1)(2)知,对任意n≥2,n∈N+等式恒成立.4.A5.D在n=k+1时,没有应用n=k时的归纳假设,不是数学归纳法.6.B由题意知,当n=k(k∈N+,k>1)时,左边=1+12+13+…+12k-1,当n=k+1时,左边=1+12+13+…+12k-1+12k+12k+1+…+17.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1-12=12,左边>右边,(2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即112+132+…+1(2k-1)2>1-12+则当n=k+1时,112+132+…>1-12+13-14+…+12>1-12+13-14+…+12=1-12+13-14+…+12k-1-即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,不等式对任何n∈N+都成立.8.解析(1)∵an=12+1nSn-2n-1(n∴当n=1时,a1=S1=12+1S1-1,解得S1=2,则当n=2时,a2=12+12S2-2=14,解得S2当n=3时,a3=S3-S2=12+13S3-22,解得S3(2)由(1)猜想数列Sn2n的通项公式为Sn2n=n用数学归纳法证明如下:①当n=1时,由(1)可得S12=1,当n=2时,由(1)可得S24=4,②假设当n=k(k∈N+,k≥2)时,Sk2k则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=12+1k+1即12-1k+1Sk+1=Sk-2k=2k·k2-2k=(k2则k-12(k+1)Sk+1=(k+1)(k-1)因为k≥2,所以Sk+1=2(k+1)2·2k=(k+1)2·2k+1,即Sk+12所以当n=k+1时,结论也成立.由①②可知,对任何n∈N+,Sn2n=n9.解析(1)∵a1=12,an+1=3∴a2=3a1a1+3=3×1212+3=猜想:an=3n+5(n∈N(2)证明:①