苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-3-1抛物线的标准方程练习含答案

3.3抛物线3.3.1抛物线的标准方程基础过关练题组一抛物线的定义及其应用1.(教材习题改编)一个动圆P与定圆F:(x-3)2+y2=4相外切,且与直线l:x=-1相切,则动圆圆心P的轨迹方程为()A.y2=12xB.y2=8xC.y2=6xD.y2=4x2.(2023江苏徐州睢宁第一中学期中)已知抛物线D:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在D上,过点P作准线l的垂线,垂足为A,若PA=AF,则PF=()A.2B.22C.23.(2024江苏盐城一中、大丰中学联考)已知过抛物线C:y2=2x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A,B两点,Q为AB的中点,P为C上一点,则PF+PQ的最小值为()A.84.(2023河南郑州外国语学校期中)若点P(x,y)满足方程(x-1)题组二抛物线的标准方程和准线方程5.(2024江苏镇江丹阳期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点M(x0,3),且点M到C的焦点F的距离为3,则C的准线方程为()A.x=-326.(多选题)(2023山东滨州实验中学)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为()A.y2=xB.x2=8yC.x2=-8yD.y2=-8x7.(2024广东南粤名校联考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且MF=3,FM的延长线交y轴于点N,若M为线段FN的中点,则p=()A.2B.22C.4D.6题组三直线与抛物线的位置关系8.(2024江苏曲塘高级中学期中)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A、B两点,若△AOF的面积是△BOF面积的2倍,则AB=()A.4B.99.(2024浙江金华第一中学期中)设经过抛物线y2=8x的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于C点,则cos∠ACB=.

10.(2024吉林长春质检)过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F,且斜率为-1的直线l与抛物线交于A、B两点,AB=8.(1)求抛物线E的方程;(2)过焦点F作直线l',交E于C、D两点,直线AC与BD的交点是否在一条直线上?若是,求出该直线的方程;若不是,说明理由.能力提升练题组一抛物线的定义及标准方程的应用1.(2024江苏连云港七校期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(3,1)在C的内部,点B是C上的一个动点,且△ABF周长的最小值为4+5,则p=()A.1B.2C.3D.42.(2023江苏徐州睢宁第一中学月考)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于点M(M在第一象限),MN⊥l,垂足为N,MN交x轴于点E,直线NF交x轴于点D,若MD=23,则抛物线的方程是()A.x2=yB.x2=2yC.x2=4yD.x2=8y3.(多选题)(2024江苏盐城响水学情分析)设抛物线y2=8x的顶点为O,焦点为F,点M是抛物线上异于O的一动点,直线OM交抛物线的准线于点N,下列结论正确的是()A.若MF=4,则OM=25B.若MF=4,则O为线段MN的中点C.若MF=8,则OM=45D.若MF=8,则OM=3ON4.(多选题)(2024重庆云阳高级中学月考)抛物线E:y2=4x的焦点为F,点M,N为抛物线上两个位于第一象限的动点,且有xM2=xF·xN(xA.当xN=9时,MF=FAB.当xM=2时,S△MFN∶S△ABF=4∶5C.当xM=2时,AF∶BF=9∶5D.当xM=3时,延长NM交准线于C,S△CBM∶S△ANF=5∶6题组二直线与抛物线的位置关系5.(2024浙江杭师大附中期中)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F,且与C交于A,B两点,以AB为直径的圆与y轴交于D,E两点,且DE=35A.6x±3y−C.2x±y-2=0D.x±2y-1=06.(2023江苏南京师范大学附属中学期中)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与抛物线交于A,B两点,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为M,∠MAF的平分线与抛物线的准线交于点P,线段AB的中点为Q.若AB=16,则PQ=()A.2B.4C.6D.87.(多选题)(2024湖南长沙长郡中学月考)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线l交C于P,Q两点,则下列说法正确的是()A.C的准线方程为y=-14C.OP·OQ≥OA2D.BP·BQ>BA28.(多选题)(2024江苏南京期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆x2A.抛物线的标准方程为y2=4xB.ABMFC.过A,B分别作AA',BB'与准线垂直,则△A'FB'为直角三角形D.△ABM的面积为定值9.(2024江苏盐城八校期中)已知动点P在抛物线y2=4x上,过点P引圆C:(x-3)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB的最小值为.

10.(2023江苏常州溧阳期中)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点F到其准线的距离为2,直线l过点P(0,1)且与C交于A、B两点.(1)求a的值及直线l的斜率的取值范围;(2)若AF+BF=8,求直线l的方程.11.(2024江西南昌外国语学校月考)已知拋物线C:y2=4x,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线,分别交抛物线C于点A,B和点C,D,AB,CD的中点分别为M,N.(1)若直线AB的斜率为2,求直线MN的方程;(2)求线段MN的中点E的轨迹方程.12.(2024江西师大附中期中)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线E:y2=2px(p>0),两定点P(1,1),Q(1,4),点R在E上,且满足OR=(1)求抛物线E的标准方程;(2)判断直线AC是否恒过定点,若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.答案与分层梯度式解析3.3抛物线3.3.1抛物线的标准方程基础过关练1.A圆F的圆心为F(3,0),半径为2,设动圆圆心P(x,y),半径为r,P到直线x=-1的距离为d,则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得PF-2=r,d=r,∴PF-d=2,∴PF=d+2,即P到F(3,0)的距离与P到直线x=-3的距离相等,∴动圆圆心P的轨迹为以(3,0)为焦点的抛物线,∴所求轨迹方程为y2=12x.故选A.2.D由题知F(1,0),准线l:x=-1,设准线与x轴的交点为C,则由抛物线的定义及已知得PA=AF=PF,则△PAF为等边三角形.解法一:在Rt△ACF中,CF=2,∠AFC=60°,则AF=4,故PF=AF=4.解法二:过F作FB⊥AP于点B,则B为AP的中点,因为AB=2,所以AP=4,所以PF=AP=4.3.B由题意得焦点F12,0,准线方程为x=-12由y=3x设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=53,线段AB的中点Q的横坐标xQ=x过Q作准线的垂线,垂足为点D,交抛物线于点P,则PF+PQ=PD+PQ=QD=56在抛物线C上任取点P',过P'作准线的垂线,垂足为D',连接P'F,P'Q,D'Q,则P'F+P'Q=P'D'+P'Q≥D'Q≥QD,当且仅当点P'与点P重合时取等号,所以PF+PQ的最小值为43.故选B.4.答案抛物线解析由(x得(x易知等式左边表示点P(x,y)到点(1,2)的距离,右边表示点P(x,y)到直线3x+4y+12=0的距离,即点P(x,y)到点(1,2)的距离与到直线3x+4y+12=0的距离相等,又因为点(1,2)不在直线3x+4y+12=0上,所以由抛物线的定义知,点P的轨迹是以(1,2)为焦点,直线3x+4y+12=0为准线的抛物线.5.A由已知得32=2px0,6.AC∵点P(4,-2)位于第四象限,∴设所求的抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0),∴4=2p·4或16=-2p·(-2),∴p=12故所求的抛物线方程为y2=x或x2=-8y.故选AC.7.C过点M作MA⊥y轴于点A,交抛物线的准线于点B(图略),由题意得Fp2,0,设M由抛物线定义可知MF=MB=n22因为M为FN的中点,所以AM=12OF,所以n2由①②得p=4,故选C.8.B由题意得F(1,0),当直线l的斜率为0时,此时与抛物线只有1个交点,不合要求,舍去;设l:x=1+my,与y2=4x联立,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,因为△AOF的面积是△BOF面积的2倍,所以y1=-2y2,则y1y2=-2y22=-4,所以y2=-2,则y1=-2y2=2则4m=y1+y2=2,解得m=24,故x1+x2=24(y1+y2)+2=52,则AB=x9.答案1解析由题意得F(2,0),C(-2,0),直线l的方程为y=x-2,设A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)(y2<0),联立y=x-2,故y1=4+42,y2=4−42,则x故A(6+42,4+42),B(6−4BC=(8-42)2+(4-42由余弦定理得cos∠ACB=AC10.解析(1)由已知得直线l:y=-x+p2,设A(x1,y1),B(x2,y2联立y=-x+p2所以x1+x2=3p,AB=x1+x2+p=4p=8,解得p=2,故抛物线E的方程为y2=4x.(2)由(1)可知y1+y2=-4,y1·y2=-4,F(1,0).设l'的方程为x=my+1,C(x3,y3),D(x4,y4),联立x=my+1,y2=4x,消去x得y2-4my-4=0,所以y3直线AC的斜率为y1所以直线AC的方程为y-y3=4y1+y3(x-x同理可得直线BD的方程为y=4x+由①②得4(y1-y2+y3-y4)x=y1y2(y3-y4)+y3y4(y1-y2)=-4(y1-y2+y3-y4),解得x=-1,所以直线AC与直线BD的交点都在x=-1上.能力提升练1.B由已知得抛物线的准线方程为x=-p2,设为l,过点B作BM⊥l于M,过A作AH⊥由抛物线的定义可知BF=BM,∴△ABF的周长为AB+AF+BF=AB+BM+AF≥AH+AF=4+5,易得AH=3+p2∴3+p2+p24+10-32.C如图所示,过点F作FA⊥MN,垂足为A.由题得∠AFM=30°,所以∠NMF=60°.因为MF=MN,所以△MNF是等边三角形.因为O是FB的中点,所以DF=DN,所以MD⊥DF,所以FM=23所以MN=4,则AN=2.所以AE=EN=1,则AE=OF=1,∴p2=1,∴所以抛物线的方程是x2=4y.故选C.3.ABD由已知可得F(2,0),准线方程为x=-2.对于A,设M(x1,y1),根据抛物线的定义得MF=x1+2=4,解得x1=2,可得y12=16,可得OM=22+16对于B,由y12=16,得y令x=-2,可得y=-4,即N(-2,-4),所以O为线段MN的中点,B正确;对于C,设M(x2,y2),根据抛物线的定义得MF=x2+2=8,解得x2=6,则y22=48,可得OM=对于D,由y22=48,可得y2=±43,不妨设M(6,4则直线OM的方程为y=233x,令x=-2,得y=-43则ON=(-2)2+-4334.ACD抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,则xA=xB=-1,由xM2=xF·xN(xM>1),得xM2=x对于A,当xN=9时,xM=3,则MFAF∴MF=AF,故A正确;对于B,当xM=2时,M(2,22),N(4,4),则FM=1+8=3,FN=设直线MF:x=my+1,把M(2,22)代入,可得m=24令x=-1,得y=-42,∴A(−1,−4则FA=4+32=6,FB=因为∠AFB=∠MFN,所以sin∠AFB=sin∠MFN,所以S△对于C,由B知AF∶BF=6∶103=9∶5,故C正确对于D,当xM=3时,xN=9,则N(9,6),∴MC∶NC=(3+1)∶(9+1)=2∶5,∴S△CBM=25S△CBN,∴S△CBM=23S△NBM,由A知MF=AF,∴S△MFN=S△NF∶FB=(9-1)∶[1-(-1)]=4∶1,∴S△MFN=45S△NBM,∴S△NFA=45S△∴S△CBM∶S△NFA=23S△NBM∶45S△NBM=5∶6,故D正确.故选5.A分别过A,B向准线x=-1作垂线,垂足分别为A1,B1,取AB的中点M,作MN⊥y轴于点N(图略).设AB=2r(2r≥4),则2(MN+1)=AA1+BB1=AF+BF=AB=2r,所以MN=r-1,则DE=2r2-(r解得r=5或r=59(舍去),则xM设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-1),y2=4x则x1+x2=2k2+4所以直线方程为y=±63(x-1),即6故选A.6.D易得焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1,由x=1,所以直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-1).由y=k(x-1),y2=4x消去y,化简得k2Δ=[-(2k2+4)]2-4k4=16k2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k则AB=x1+x2+2=4+4k2=16,故k2=13不妨取k=33,A在第一象限,则直线l:y=33(x-1),倾斜角为π6,所以∠MAF=π6,①式为13x2−23+4y1=33tanπ12所以MP=MA·tanπ12则yP=y1-4=23,所以P(-1,23).由于x1+x2=14,y1+y2=43,故x1+x22=7,方法技巧求解直线和抛物线相交所得弦长问题,一定要注意的是判断直线的斜率是否存在.如果直线过抛物线的焦点,则可用AB=x1+x2+p来进行求解,其他情况用AB=1+k27.ACD将点A(1,1)代入x2=2py,得p=12,所以抛物线的方程为x2=y,故准线方程为y=-14,故AkAB=1-(-1)1-0=2,所以直线AB的方程为y=2x-1,联立y=2x若l与y轴重合,则l与C只有一个交点,不合题意,舍去,所以l的斜率存在,设其方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y=kx-1,x所以k>2或k<-2,y1y2=(x1x2)2=1,又OP=x1所以OP·OQ=y1y2(1+y1因为BP=1+k2|x所以BP·BQ=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,又BA2=12+[1-(-1)]2=5,故D正确.故选ACD.8.ABC对于A,易知椭圆的右焦点为(1,0),即抛物线C的焦点F(1,0),可得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x,故A正确.对于B,当直线AB的斜率不存在时,易得AB=2p=4,MF=2,所以ABMF当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-1),y2=4x则Δ=16(k2+1)>0,x1+x2=2(k2+2)k2可得AB=x1+x2+2=4(k易知直线FM的方程为y=-1k由y=-1k则MF=22+4k2=21+k对于C,由抛物线定义知AA'=AF,BB'=BF,则∠AA'F=∠AFA',∠BB'F=∠BFB',又因为AA'∥OF∥BB',所以∠AA'F=∠A'FO,∠BB'F=∠B'FO,可得∠A'FB'=12(∠AFA'+∠A'FO+∠BFB'+∠故△A'FB'为直角三角形,故C正确.对于D,当直线AB的斜率不存在时,AB=2p=4,MF=2,可得S△ABM=12AB·当直线AB的斜率存在时,由B知AB=4(k可得S△ABM=12AB·MF=4(k2故选ABC.9.答案142解析易得圆C的圆心为C(3,0),半径为1,则四边形APBC的面积S=12AB·PC=2S△APC=2×12×AP·AC=AP,所以AB=在Rt△PAC中,AP=PC所以AB=2AP设P(x0,y0),由点P在抛物线上,可得y02=4x0,则PC2=(x0-3)2+y02=(x0−3)当x0=1时,PC2取得最小值,最小值为8,所以AB的最小值为21-110.解析(1)因为抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点F到其准线的距离为2,所以a2所以抛物线方程为y2=4x,设直线l的方程为y=kx+1,联立y=kx+1,y2故k2≠0,且Δ=(2k-4)2-4k2>0,解得k<1且k≠0.所以直线l的斜率的取值范围为(-∞,0)∪(0,1).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知x1+x2=4-2k易知