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文档简介
1.公式(a+b)n=
an+
an-1b+…+
an-rbr+…+
bn称为二项式定理.
(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二项式系数,在定理中,令a=1,b=x,则得到公式(1+x)n=
+
x+
x2+…+
xr+…+
xn.2.二项展开式的通项为Tr+1=
an-rbr,它是(a+b)n展开式的第(r+1)项.4.4二项式定理1|
二项式定理及相关概念1.对称性在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即
=
.2.单调性和最大值二项式系数从两端向中间逐渐增大,当n为偶数时,中间一项的二项式系数
最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系数
,
相等,且同时取得最大值.3.各二项式系数的和(1)
+
+…+
=2n;(2)
+
+
+…=
+
+
+…=2n-1.2
|
二项式系数的有关性质1.二项式(a+b)n和(b+a)n的展开式相同吗?相同.虽然二者展开式相同,但展开式中项的排列顺序是不同的,(a+b)n展开式中的
第(r+1)项是
an-r·br,(b+a)n展开式中的第(r+1)项是
bn-rar.2.(a-b)n与(a+b)n的展开式中二项式系数和项的系数都相同吗?二项式系数相同,项的系数不相同.二项式系数只与项数有关,与a,b的值无关,而项
的系数指项中除变量外的常数部分,不仅与项数有关,还与a,b的值有关.3.令f(r)=
(0≤r≤n,且r∈N),则f(r)的图象关于直线r=
对称吗?对称.知识辨析1.对于常数项,隐含的条件是字母的指数为0.2.对于有理项,一般先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于整
数.求解时必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数
的整除性来求解.3.对于整式项,其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数,求解方式与求有理
项一致.1求二项展开式中的特定项(项的系数)
典例
(1)
x-
n(n∈N+)的展开式中,第5项是常数项,则常数项为
(
)A.-270
B.-240
C.240
D.270(2)
的展开式中的有理项共有
(
)A.4项B.5项
C.6项D.7项(3)(x-
)n(n∈N+)的展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,则含x2的项为
12x2
.CC解析
(1)∵
x-
n的展开式的通项为Tr+1=
·xn-r·
-
r=(-2)r
·
,令r=4,则n-
×4=0,解得n=6.∴展开式中的常数项为T5=(-2)4
=240.故选C.(2)
的展开式的通项为Tr+1=
·2r·
(r=0,1,2,…,10),令20-
为整数,可得r=0,2,4,6,8,10,则有理项共有6项,故选C.(3)(x-
)n(n∈N+)的展开式中第二项与第四项分别为T2=
xn-1·(-
)=-
nxn-1,T4=
xn-3·(-
)3=-2
xn-3.依题意得
=
,即n2-3n-4=0且n≥3,解得n=4.故(x-
)n=(x-
)4,其展开式的通项为Tr+1=
x4-r(-
)r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x-
)4的展开式中含x2的项为T3=
x2(-
)2=12x2.求三项式中特定项的方法(1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分
别展开.(2)逐层展开法:先将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的展开.(3)利用组合知识:把三项式(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的
构成,注意最后把各个同类项合并.2三项展开式问题
典例
的展开式中x2的系数为
800
.解析
解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5.(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=
xr,(2+x)5的展开式的通项为Tk+1=
·25-kxk,所以
的展开式的通项为Tr+1,k+1=
25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N.令r+k=2,可得
或
或
因此,
的展开式中x2的系数为
·
·23+
·
·24+
·
·25=800.解法二:
=
,且它的展开式的通项为Tk+1=
(x2+3x)5-k2k(k=0,1,2,…,5),
的展开式的通项为Tr+1=
(x2)5-k-r(3x)r=
·3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N),所以Tk+1=
2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,0≤r≤5-k,r∈N),令10-2k-r=2,得k=3,r=2或k=4,r=0.当k=3,r=2时,x2的系数为
·
·23·32=720;当k=4,r=0时,x2的系数为
·
·24·30=80.综上,
的展开式中x2的系数为720+80=800.赋值法是解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方法.要根
据所求,灵活地对字母赋值,通常赋的值为0,-1或1.(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,常令x=1;对形如(ax+by)n
(a,b∈R,n∈N+)的式子,常令x=y=1.(2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系
数之和为f(1);奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=
;偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=
.3赋值法求展开式中的系数和
典例
(1)已知(2x-1)n的展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则
+
+
+…+
的值为
(
B
)A.28B.28-1C.27
D.27-1(2)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=
364
.解析
(1)设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和
为B,则A=a1+a3+a5+a7+…,B=a0+a2+a4+a6+…,由已知可得B-A=38.令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.故
+
+
+…+
=2n-
=28-1.(2)令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,①令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,②
,得a0+a2+a4+…+a12=
.令x=0,则a0=1.故a2+a4+…+a12=
-1=364.1.求展开式中二项式系数最大的项时,可直接根据性质求解.2.求二项展开式中系数的最值问题有两种思路:(1)看成关于n的函数,结合函数的
单调性判断系数的增减性,从而求出系数的最值;(2)在系数均为正值的前提下,求
它们的最大值只需比较相邻两个系数的大小,根据其展开式的通项列出不等式
(组)即可.3.根据二项式系数的性质求参数时,关键是正确列出与参数有关的式子,然后解此
关系式即可.必要时,需检验所求参数是否符合题目要求.4二项式系数的性质及应用
典例在
的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.(1)求项数n;(2)求展开式中二项式系数最大的项;(3)求展开式中所有系数的绝对值的和.解析
(1)
的展开式的通项为Tr+1=
=
-
r
,因为前三项系数的绝对值成等差数列,所以2
·
=
+
,化简得n2-9n+8=0,解得n=8或n=1,因为n≥2,所以n=8.(2)由(1)知n=8,二项式的展开式共9项,故二项式系数最大的项为第5项,即T5=
·
=70×
=
.(3)展开式中所有系数的绝对值的和为
+
+…+
=
=
.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
5杨辉三角问题
典例
如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,若第n(n∈N)行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3,则n的值为(
)第0行
1第1行
1
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