湘教版高中数学选择性必修第一册第4章计数原理4-4二项式定理课件

1.公式(a+b)n=

an+

an-1b+…+

an-rbr+…+

bn称为二项式定理.

(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二项式系数,在定理中,令a=1,b=x,则得到公式(1+x)n=

+

x+

x2+…+

xr+…+

xn.2.二项展开式的通项为Tr+1=

an-rbr,它是(a+b)n展开式的第(r+1)项.4.4二项式定理1|

二项式定理及相关概念1.对称性在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即

=

.2.单调性和最大值二项式系数从两端向中间逐渐增大,当n为偶数时,中间一项的二项式系数

最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系数

,

相等,且同时取得最大值.3.各二项式系数的和(1)

+

+…+

=2n;(2)

+

+

+…=

+

+

+…=2n-1.2

|

二项式系数的有关性质1.二项式(a+b)n和(b+a)n的展开式相同吗?相同.虽然二者展开式相同,但展开式中项的排列顺序是不同的,(a+b)n展开式中的

第(r+1)项是

an-r·br,(b+a)n展开式中的第(r+1)项是

bn-rar.2.(a-b)n与(a+b)n的展开式中二项式系数和项的系数都相同吗?二项式系数相同,项的系数不相同.二项式系数只与项数有关,与a,b的值无关,而项

的系数指项中除变量外的常数部分,不仅与项数有关,还与a,b的值有关.3.令f(r)=

(0≤r≤n,且r∈N),则f(r)的图象关于直线r=

对称吗?对称.知识辨析1.对于常数项,隐含的条件是字母的指数为0.2.对于有理项,一般先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于整

数.求解时必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数

的整除性来求解.3.对于整式项,其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数,求解方式与求有理

项一致.1求二项展开式中的特定项(项的系数)

典例

(1)

x-

n(n∈N+)的展开式中,第5项是常数项,则常数项为

(

)A.-270

B.-240

C.240

D.270(2)

的展开式中的有理项共有

(

)A.4项B.5项

C.6项D.7项(3)(x-

)n(n∈N+)的展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,则含x2的项为

12x2

.CC解析

(1)∵

x-

n的展开式的通项为Tr+1=

·xn-r·

-

r=(-2)r

·

,令r=4,则n-

×4=0,解得n=6.∴展开式中的常数项为T5=(-2)4

=240.故选C.(2)

的展开式的通项为Tr+1=

·2r·

(r=0,1,2,…,10),令20-

为整数,可得r=0,2,4,6,8,10,则有理项共有6项,故选C.(3)(x-

)n(n∈N+)的展开式中第二项与第四项分别为T2=

xn-1·(-

)=-

nxn-1,T4=

xn-3·(-

)3=-2

xn-3.依题意得

=

,即n2-3n-4=0且n≥3,解得n=4.故(x-

)n=(x-

)4,其展开式的通项为Tr+1=

x4-r(-

)r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x-

)4的展开式中含x2的项为T3=

x2(-

)2=12x2.求三项式中特定项的方法(1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分

别展开.(2)逐层展开法:先将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的展开.(3)利用组合知识:把三项式(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的

构成,注意最后把各个同类项合并.2三项展开式问题

典例

的展开式中x2的系数为

800

.解析

解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5.(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=

xr,(2+x)5的展开式的通项为Tk+1=

·25-kxk,所以

的展开式的通项为Tr+1,k+1=

25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N.令r+k=2,可得

或

或

因此,

的展开式中x2的系数为

·

·23+

·

·24+

·

·25=800.解法二:

=

,且它的展开式的通项为Tk+1=

(x2+3x)5-k2k(k=0,1,2,…,5),

的展开式的通项为Tr+1=

(x2)5-k-r(3x)r=

·3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N),所以Tk+1=

2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,0≤r≤5-k,r∈N),令10-2k-r=2,得k=3,r=2或k=4,r=0.当k=3,r=2时,x2的系数为

·

·23·32=720;当k=4,r=0时,x2的系数为

·

·24·30=80.综上,

的展开式中x2的系数为720+80=800.赋值法是解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方法.要根

据所求,灵活地对字母赋值,通常赋的值为0,-1或1.(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,常令x=1;对形如(ax+by)n

(a,b∈R,n∈N+)的式子,常令x=y=1.(2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系

数之和为f(1);奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=

;偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=

.3赋值法求展开式中的系数和

典例

(1)已知(2x-1)n的展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则

+

+

+…+

的值为

(

B

)A.28B.28-1C.27

D.27-1(2)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=

364

.解析

(1)设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和

为B,则A=a1+a3+a5+a7+…,B=a0+a2+a4+a6+…,由已知可得B-A=38.令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.故

+

+

+…+

=2n-

=28-1.(2)令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,①令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,②

,得a0+a2+a4+…+a12=

.令x=0,则a0=1.故a2+a4+…+a12=

-1=364.1.求展开式中二项式系数最大的项时,可直接根据性质求解.2.求二项展开式中系数的最值问题有两种思路:(1)看成关于n的函数,结合函数的

单调性判断系数的增减性,从而求出系数的最值;(2)在系数均为正值的前提下,求

它们的最大值只需比较相邻两个系数的大小,根据其展开式的通项列出不等式

(组)即可.3.根据二项式系数的性质求参数时,关键是正确列出与参数有关的式子,然后解此

关系式即可.必要时,需检验所求参数是否符合题目要求.4二项式系数的性质及应用

典例在

的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.(1)求项数n;(2)求展开式中二项式系数最大的项;(3)求展开式中所有系数的绝对值的和.解析

(1)

的展开式的通项为Tr+1=

=

-

r

,因为前三项系数的绝对值成等差数列,所以2

·

=

+

,化简得n2-9n+8=0,解得n=8或n=1,因为n≥2,所以n=8.(2)由(1)知n=8,二项式的展开式共9项,故二项式系数最大的项为第5项,即T5=

·

=70×

=

.(3)展开式中所有系数的绝对值的和为

+

+…+

=

=

.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

5杨辉三角问题

典例

如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,若第n(n∈N)行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3,则n的值为(

)第0行

1第1行

1