湘教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-4 3-5圆锥曲线的应用课件

1.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨

迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.此时,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线.2.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点:用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)列式(限制):找出曲线上的点所满足的几何关系式;3.4曲线与方程3.5圆锥曲线的应用曲线的方程与方程的曲线(3)代换:用坐标(x,y)来表示上述几何关系;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)证明:验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.(一般变为确定点

的范围即可)

1.圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常

数e的点的轨迹.当0<e<1时,它表示椭圆;当e>1时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线.2.椭圆

+

=1(a>b>0)的准线方程为x=±

,椭圆

+

=1(a>b>0)的准线方程为y=±

.双曲线

-

=1(a>0,b>0)的准线方程为x=±

,双曲线

-

=1(a>0,b>0)的准线方程为y=±

.1.根据方程研究曲线的性质时,若方程比较复杂,则应对方程进行同解变形,并注

意方程的附加条件以及隐含条件,一定要保证其等价性.1根据方程研究曲线的性质2.研究曲线是否经过某个点时,只需验证该点的坐标是否满足曲线的方程,若满

足,则点在曲线上,否则,点不在曲线上.3.研究曲线的对称性时,可将方程F(x,y)=0中的x用-x代替,y用-y代替,分析方程是

否发生变化,以确定其对称性.4.研究两曲线是否相交时,可将两曲线方程联立,然后判断方程组是否有实数解,

若有实数解,则有交点,否则,没有交点.

典例

(多选)已知曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的乘积等于常数m2(m>1)的点的轨迹,则下列结论中正确的是

(

)A.曲线C经过原点B.曲线C关于原点对称C.若点P在曲线C上,则△PF1F2的面积不大于

m2D.直线y=x与曲线C有两个交点BCD解析

设动点坐标为(x,y),依题意有

·

=m2,即[(x+1)2+y2]·[(x-1)2+y2]=m4(m>1),此即为曲线C的方程.将原点坐标(0,0)代入曲线C的方程,等式不能成立,所以曲线C不经过原点,故A选

项错误;以-x代替x,-y代替y,方程不变,所以曲线C关于原点对称,故B选项正确;若点P在曲线C上,则△PF1F2的面积S=

|PF1||PF2|sin∠F1PF2=

m2·sin∠F1PF2≤

m2,即△PF1F2的面积不大于

m2,故C选项正确;由

消去y,得4x4+1=m4,即x4=

,由于m>1,所以

>0,因此方程x4=

有两个实数解,即直线y=x与曲线C有两个交点,故D选项正确.求动点轨迹方程的常用方法(1)直接法:当所求动点满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、

代入坐标、整理化简、限制说明”的基本步骤求解.(2)定义法:若能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可由该曲线的定义

直接写出曲线方程,即得动点的轨迹方程.(3)代入法(相关点法):当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点的坐

标来表示,再代入其他动点满足的曲线方程或条件中,整理即得所求动点的轨迹

方程.(4)参数法:选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标中的x,y,然后消去参数,即得

动点的轨迹方程.2求动点的轨迹方程

典例如图所示,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3与椭圆C2:

+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左、右顶点.

(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积;(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.解析

(1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|.由

+

=1得

=1-

,从而

=

=-

+

,∴当

=

,

=

时,Smax=6.从而t2=

+

=5,∴t=

.∴当t=

时,矩形ABCD的面积取得最大值6.(2)由椭圆C2:

+y2=1,知A1(-3,0),A2(3,0).由曲线的对称性及A(x0,y0),得B(x0,-y0).设点M的坐标为(x,y).易知直线AA1的方程为y=

(x+3)①,直线A2B的方程为y=

(x-3)②,由①②得y2=

·(x2-9)③,又点A(x0,y0)在椭圆C2上,故

=1-

④,将④代入③得

-y2=1(x<-3,y<0),因此点M的轨迹方程为

-y2=1(x<-3,y<0).名师点评

本题(2)的轨迹方程中,求解时要结合几何性质和几何直观细心发掘.

求解中充分运用椭圆与圆的对称性以及方程④的整体代入,避免了烦琐运算,优

化了解题过程.解应用题时涉及两个基本步骤,即将实际问题抽象成数学问题和解决这个数

学问题,为此要注意以下四点:(1)阅读理解:读懂题意,理解实际背景,领悟其数学实质.(2)数学建模:将应用题的材料陈述转化成数学问题,这就要抽象、归纳其中的数

量关系,并把这种关系用数学式子表示出来.(3)数学求解:根据所建立数学关系的知识系统,得出结果.(4)实际还原:将数学结论还原为实际问题.3圆锥曲线的实际应用 

典例神舟九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C),A在B的正东

方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某时刻,A

接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时

接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方向角.解析

如图所示,

以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(-3,

0),C(-5,2

).设P(x,y),BC的中点为D.∵|PB|=|PC|,∴点P在线段BC的垂直平分线上.易知kBC=-

,D(-4,

),∴直线PD的方程为y-

=

(x+4).①易得|PB|-|PA|=4<6=|AB|,∴点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且a=2,c=3,∴双曲线方程为

-

=1(x≥2).②联立①②,得P点坐标为(8,5

),∴kPA=

=

,因此P在A的北偏东30°方向上.

通过圆锥曲线的应用发展逻辑推理和数学建模的核心素养圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活中有广泛的应用,求解此

类问题时要善于抓住问题的实质,建立适合的数学模型(椭圆、双曲线、抛物线),从而发展数学建模的核心素养,然后利用圆锥曲线的相关定义、标准方程、性质

等知识求解,在求解过程中发展逻辑推理的核心素养.素养解读

例题某同学观看了2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》后引发了他的思考:假定地球(设为质点P,半径忽略不计)借助原子发动机开始“流浪”的轨

道是以木星(看作球体,其半径R约为7万千米)的中心F为右焦点的椭圆C.已知地

球的近木星点A(轨道上离木星表面最近的点)到木星表面的距离为1万千米,远木

星点B(轨道上离木星表面最远的点)到木星表面的距离为25万千米.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若地球在“流浪”的过程中,由A第一次逆时针“流浪”到与轨道中心O的距

离为

(a,b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长)万千米时,由于木星引力,部分原子发动机突然失去了动力,此时地球向着木星方向开始变轨(如图所示),假定地球变轨后的轨道为一条直线L,称该直线的斜率k为“变轨系数”.当“变轨系数”k

的取值为-2或1时,地球与木星会不会发生碰撞?典例呈现解题思路

(1)设出椭圆的标准方程,再根据题意求出a,b,c的值即可.设椭圆C的标准方程为

+

=1(a>b>0).由条件得

解得

故b2=256,因此椭圆C的标准方程为

+

=1.(2)由P与轨道中点O的距离和椭圆的方程联立得到的方程组的解得P的坐标,再由

点到直线的距离与R的大小关系列出不等式进行判断.设地球由近木星点A第一次逆时针“流浪”到与轨道中心O的距离为

万千米时所在位置为P(x0,y0),设x0>0,y0>0.信息提取

以地球“流浪”的轨道为背景建立椭圆模型,受木星引力,地球“流

浪”的轨道变轨,为一条直线,从而建立直线模型,最后利用相关知识解决问题.则

⇒

∴P

,则直线L的方程为y-

=k

,即kx-y+

-

k=0,设木星的中心F到地球的距离为d万千米.由d>R得

>7,化简得425k2+128

k-839<0,当k=-2时,不等式左边=86