湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1-1数列的概念课件

1.如果组成两个数列的数相同,但顺序不同,那么它们是不同的数列.2.同一个数可以在数列中重复出现.3.{an}表示一个数列,an表示数列中的第n项.4.并非所有的数列都能写出它的通项公式.5.数列的分类:(1)按项的个数分:有穷数列,无穷数列;(2)按数列的变化趋势分:递增数列,递减数列,摆动数列,常数列.1.1数列的概念1|

数列相关概念的理解1.数列是特殊的函数,从函数的观点看:2.求数列中的项或判断某项是不是数列的项时,①如果已知an=f(n)和n0,则

=

f(n0);②判断m是不是{an}的项,只需令m=an,判断此方程是否有正整数解.定义域正整数集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})解析式数列的通项公式值域自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应

的一列函数值组成的集合表示方法(1)通项公式(解析法);(2)图象法;(3)列表法2

|

数列与函数的关系1.通项公式反映了数列中项与序号之间的关系,而递推公式反映了数列中项与项

之间的关系;2.求数列的某一项时,可以通过将序号代入通项公式直接求出该项,而对于递推公

式,则必须通过逐项计算求出该项;3.递推公式可以揭示数列的一些性质,但不容易了解数列的全貌,计算也不方便,

而通项公式可以“把握”整个数列.3|

数列的通项公式与递推公式的区别1.数列的项和它的项数是否相同?不相同.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,相当于f(n),

而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n.2.数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是同一个数列吗?不是.两个数列中的数虽然相同,但顺序不同,故不是同一个数列.3.数列an=

an=

(n∈N+),an=

(n∈N+)是同一个数列吗?是.三个数列都可以写成0,1,0,1,…的形式,数列的通项公式不一定是唯一的.知识辨析1.从下面4个角度观察数列的前几项:(1)各项的符号特征;(2)各项能否拆分;(3)分式的分子、分母的特征;(4)相邻项的变化规律.2.寻找各项与对应的项的序号之间的规律,一般方法如下:(1)统一项的结构,将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”

“商”,如都化成分数、根式等;1求数列的通项公式(2)分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分与对应序号间的函数解

析式;(3)当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n或(-1)n+1来表示;(4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,一般考虑用分段的形式给出,有时也

可以将给出的各项统一化成某种形式.

典例根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式:(1)

,2,

,8,

,…;(2)

,

,

,

,

,…;(3)2,6,2,6,…;(4)2,3,5,9,17,33,…;(5)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;(6)2,-6,12,-20,30,-42,….思路点拨先观察各项的特点,注意前后项间的关系,分子与分母的关系,项与序

号的关系,每一项符号的变化规律,然后归纳出通项公式.解析

(1)将每一项都统一写成分母为2的分数,即

,

,

,

,

,…,所以它的一个通项公式是an=

.(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积,即an=

.(3)此数列为摆动数列,而2=4-2,6=4+2,中间符号用(-1)n来表示,所以an=4+(-1)n·2或

an=

(4)因为a1=2=1+1,a2=3=2+1,a3=5=22+1,a4=9=23+1,a5=17=24+1,a6=33=25+1,……,所

以an=2n-1+1.(5)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以an=n+

.(6)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,-6×7,…,所以an=(-1

n(n+1).1.判断数列单调性的方法(1)转化为函数,利用函数的性质求解.(2)通过作差法或作商法比较数列中相邻两项的大小关系.2.求数列中的最大(或最小)项的方法(1)构造函数,确定函数的单调性,进一步求出数列的最大(或最小)项.(2)利用

(n≥2,n∈N+)求数列中的最大项an;利用

(n≥2,n∈N+)求数列中的最小项an.当所得解不唯一时,比较各解的大小即可.2数列与函数的关系列

典例已知数列{an}中,an=n2+λn,n∈N+.(1)当λ=-7时,讨论{an}的单调性;(2)若数列{an}的第7项是最小项,求实数λ的取值范围.思路点拨

(1)运用作差法比较an+1与an的大小,进而判断单调性,或利用二次函数

的性质求解;(2)通过列出不等式组

从而求出实数λ的取值范围.解析

(1)解法一:当λ=-7时,an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6,所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6.当1≤n≤3时,an+1-an≤0,{an}单调递减;当n≥4时,an+1-an>0,{an}单调递增.解法二:当λ=-7时,an=n2-7n=

-

.易知函数f(x)=

-

图象的对称轴为直线x=

,所以由二次函数的性质可知当1≤n≤3时,an+1-an≤0,{an}单调递减;当n≥4时,an+1-an>0,{an}单调递增.(2)由题意得

即

解得-15≤λ≤-13,所以实数λ的取值范围是[-15,-13].易错警示

在利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意数列的定义域是N+或

其有限子集.1.根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列前几项的方法(1)根据递推公式求数列的前几项,首先要弄清公式中各部分的关系,依次代入计

算即可.(2)若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=

2an+1+1.(3)若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=

.3利用数列的递推关系解决相关数列问题

2.由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.(2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类:①an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)[f(n)是可以求和的],使用累加法或迭代法;②an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an[f(n)是可以求积的],使用累乘法或迭代法;③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决.

典例

(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+

-

,则an等于

(

)A.

B.

C.

D.

(2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=

an(n∈N+),则an等于

(

)A.n+1

B.n

C.

D.

BD解析

(1)解法一(归纳法):数列的前5项分别为a1=1,a2=1+1-

=2-

=

,a3=

+

-

=2-

=

,a4=

+

-

=2-

=

,a5=

+

-

=2-

=

,由此可得数列的一个通项公式为an=

.解法二(迭代法):a2=a1+1-

,a3=a2+

-

,……,an=an-1+

-

(n≥2),则an=a1+1-

+

-

+

-

+…+

-

=2-

=

(n≥2).又a1=1也适合上式,所以an=

(n∈N+).解法三(累加法):an+1-an=

-

,a1=1,a2-a1=1-

,a3-a2=

-

,a4-a3=

-

,……,an