苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4-1数列课件

1.数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫作这个数列的项.2.数列的表示数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中a1称为数列{an}的第1项或首

项,a2称为第2项……an称为第n项.第4章数列4.1

数列知识点1

数列的相关概念(有些项满足an+1>an,有些项满足an+1<an),其中n∈N*.4.数列与函数的联系与区别数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,k})为定义域的函数an=f(n),当自变

量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=

1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….3.数列的分类(1)按项数可分为有穷数列、无穷数列.(2)按项的变化趋势可分为递增数列(an+1>an)、递减数列(an+1<an)、常数列(an+1=an)、摆动数列一般地,如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式.

数列可以由通项公式来给定,也可以通过列表或图象来表示.知识点2

数列的通项公式知识点3

数列的递推公式一般地,如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几

项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.递推公式也

是给定数列的一种方法.知识辨析1.an和{an}表示的意思相同吗?2.任何一个数列都有通项公式,对吗?3.1,1,1,1,1是数列吗?4.数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是同一个数列吗?5.如果一个数列的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那

么这个公式是这个数列的递推公式吗?6.已知数列{an},{bn},{cn}满足an=

(n∈N*),bn=

(n∈N*),cn=

(n∈N*),则数列{an},{bn},{cn}是同一个数列吗?一语破的1.不相同.an表示数列{an}的第n项或数列的通项,而{an}表示数列.2.不对.数列是一种特殊的函数,正如不是所有的函数都有解析式一样,不是所有的数列都有

通项公式,存在数列只能用表格或图象表示.3.是.这是一个常数列.4.不是.两个数列中的数虽然相同,但顺序不同,故不是同一个数列.5.不是.用递推公式表示数列时,必须给出数列的第1项(或前几项),而且数列中的任一项an与

它的前一项an-1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示.6.是.三个数列都可以写成0,1,0,1,…的形式,故数列{an},{bn},{cn}是同一个数列.定点1求数列的通项公式关键能力定点破根据数列的前几项写出它的一个通项公式的步骤(1)观察数列的前几项,一般从下面4个角度出发:①各项的符号特征;②各项能否拆分,以及拆分后的特征;③分式的分子、分母的特征;④相邻项的变化规律.(2)寻找项与对应的项的序号之间的规律,一般方法如下:①统一项的结构,将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”,如都

化成分数、根式等;②分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分与对应序号间的函数解析式;③当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n+1或(-1)n来表

示;④当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,一般考虑用分段的形式给出,有时也可以将给出

的各项统一化成某种形式.典例写出下列数列的一个通项公式.(1)

,

,

,

,…;(2)1,0,

,0,

,0,

,…;(3)0.8,0.88,0.888,…;(4)-

,

,-

,

,….解析

(1)观察发现各项为分数,分子是连续正整数,分母比分子大2,∴数列的一个通项公式为an=

.(2)观察发现数列的偶数项为0,奇数项为分数,分子为1,分母为n,故数列的一个通项公式为an=

k∈N*.(3)原数列可写成

×

,

×

,

×

,…,∴数列的一个通项公式为an=

×

.(4)数列可写成(-1)1×

,(-1)2×

,(-1)3×

,(-1)4×

,…,∴数列的一个通项公式为an=(-1)n×

=

.数列是一种特殊的函数,可以通过研究函数的性质来研究数列的性质.1.判断数列的单调性判断数列单调性的方法主要有:作差比较法、作商比较法及结合相应函数直观判断.(1)作差比较法:根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.①an+1-an>0⇔数列{an}是递增数列;②an+1-an<0⇔数列{an}是递减数列;③an+1-an=0⇔数列{an}是常数列.(2)作商比较法:根据

(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.①当an>0时,

>1⇔数列{an}是递增数列;

<1⇔数列{an}是递减数列;

=1⇔数列{an}是定点2利用数列与函数的关系解决相关问题常数列.②当an<0时,

>1⇔数列{an}是递减数列;

<1⇔数列{an}是递增数列;

=1⇔数列{an}是常数列.(3)函数法:结合相应的函数图象直观判断.2.求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值,作出f(x)的图象,或利用求函数最值的

方法求出f(x)的最值,进而求出数列的最大(小)项;(2)通过通项公式an研究数列的单调性,利用

(n≥2,n∈N*)确定最大项,利用

(n≥2,n∈N*)确定最小项;(3)单调性法:若数列{an}是递增数列,则{an}的最小项为a1,若数列{an}是递减数列,则{an}的最大项为a1.3.数列周期性问题数列的周期性可由函数的周期性得到,一般先写出前几项确定周期,再依据周期求解.若待求

式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式,都是周期数列的“信号”.典例已知数列{an}中,an=n2+λn,n∈N*.(1)当λ=-7时,讨论{an}的单调性;(2)若数列{an}的第7项是最小项,求实数λ的取值范围.思路点拨

(1)思路一:运用作差法比较an+1与an的大小,进而判断数列{an}的单调性;思路二:利

用二次函数的性质求解.(2)根据已知条件列出不等式组

从而求出实数λ的取值范围.解析

(1)解法一:当λ=-7时,an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6,所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6.当1≤n≤3时,{an}单调递减;当n≥4时,{an}单调递增.解法二:当λ=-7时,an=n2-7n=

-

.易知函数f(x)=

-

的图象的对称轴为直线x=

,所以由二次函数的性质可知,当1≤n≤3时,{an}单调递减;当n≥4时,{an}单调递增.(2)由题意得

即

解得-15≤λ≤-13,所以实数λ的取值范围是[-15,-13].易错警示

在利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意数列的定义域是N*或其有限子集.

1.根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列的前几项时,首先要弄清公式中各部分之间

的关系,然后依次代入计算即可.2.求数列中的某项时,对于通项公式,可以通过将序号代入直接求解,而对于递推公式,必须通

过逐项计算求出该项.3.由递推公式求通项公式的常用技巧(1)形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N*)求出通

项公式,这种方法叫累加法;(2)形如

=f(n)(an≠0)的递推公式,可以利用a1·

·

·…·

=an(n≥2,n∈N*)求出通项公式,这种方法叫累乘法.定点3利用数列的递推关系解决问题典例(1)已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),则an=

;(2)设数列{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)

-n

+an+1·an=0,则它的通项公式为an=

.解析

(1)因为an-an+1=nanan+1,所以

=

-

=n,则

=

+

+…+

+

=(n