苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程综合拔高练含答案

综合拔高练高考练考点直线方程及其应用1.(2020全国Ⅲ文,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B.2C.2.(2021上海,5)直线x=-2与直线3x-y+1=0的夹角为.

3.(2019江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是模拟练应用实践1.(多选题)(2024江苏徐州第七中学月考)已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:2x-y+3=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论正确的是()A.直线l与l1的斜率互为相反数B.所围成的等腰三角形的面积为1C.直线l关于原点的对称直线的方程为2x+y-1=0D.原点到直线l的距离为52.(2024山东济南历城第二中学联考)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),若直线l:ax+(a-3)y+1=0与△ABC的欧拉线垂直,则直线l与△ABC的欧拉线的交点坐标为()A.15,33.(2024江苏南通海安高级中学月考)已知△ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=kx+b(k>0)将△ABC分成面积相等的两部分,则b的取值范围是()A.1-22,4.(多选题)(2024福建德化第一中学质检)已知点M(-1,1),N(2,1),且点P在直线l:x+y+2=0上,则()A.存在点P,使得PM⊥PNB.若△MNP为等腰三角形,则点P的个数为3C.PM+PN的值最小为29D.|PM-PN|的值最大为35.(2024山西部分名校联考)某公园的示意图为如图所示的六边形ABCDEF,其中AB⊥AF,AF∥BC,AB∥DE,∠BCD=∠AFE,且tan∠BCD=-34,CD=EF=50米,BC=DE=80米.若计划在该公园内建一个有一条边在AB上的矩形娱乐健身区域,则该娱乐健身区域面积(单位:平方米)的最大值为6.(2023江苏盐城中学期中)已知P,Q分别在直线l1:x-y+1=0与直线l2:x-y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-4,4),B(4,0),则AP+PQ+QB的最小值为.

7.(2023辽宁省实验中学月考)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.8.(2024重庆万州沙河中学月考)如图,直线l过点(3,4),与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,△AOB的面积为24.点P为线段AB上一动点,PQ∥OB,且PQ交OA于点Q.(1)求直线l的斜率的大小;(2)若S△APQ=13S四边形OQPB(3)在y轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.迁移创新9.(2023湖南怀化期中)某学校在矩形操场ABCD内进行体操表演,其中AB=40,BC=15,O为AB上一点,且BO=10,线段OC,OD,MN为表演队列所在位置(M,N分别在线段OD,OC上),△OCD内的点P为领队位置,且点P到OC,OD的距离分别为13,5,记OM=d,已知当(1)当d为何值时,P为队列MN的中点?(2)求观赏效果最好时△OMN的面积.答案与分层梯度式解析综合拔高练高考练1.B解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=|k·0-(-1)+k|k2+1=|k+1|k2+1,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)=2k2+2=k2+k2+1+1≥k解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点(-1,0)且斜率存在的直线,记点(-1,0)为P,点(0,-1)为Q.点Q(0,-1)到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,最大距离为PQ=2,故选B.2.答案π解析∵直线x=-2的斜率不存在,倾斜角为π2,直线3x-y+1=0的斜率为3,倾斜角为π∴直线x=-2与直线3x-y+1=0的夹角为π23.答案4解析解法一:设Px0,x0+4x0,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=x0+故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.解法二:作直线x+y=0的平行线x+y+C=0(C≠0)(图略),当直线x+y+C=0与曲线y=x+4x(x>0)相切于点P时,点P到直线x+y=0的距离最小.由x+y+C=0,y=x+4模拟练1.ACD由题意可知直线l与l1:2x-y+3=0的倾斜角互补,∴直线l的斜率为-2,故A正确;∵直线l过点P(-1,1),∴直线l的方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0,∵2×(-1)-1+3=0,∴点P在直线l1上,∴P为l1与l的交点,易求得l1与l在x轴上的截距分别为-32和-12,故所围成的等腰三角形的面积为易知点P(-1,1)关于原点的对称点为(1,-1),∴直线l关于原点的对称直线的方程为y=-2(x-1)-1,即2x+y-1=0,故C正确;原点到直线l的距离为|1|22+12=52.B由题意得△ABC的重心为-1+1+13,1易得kAB=0,直线BC的斜率不存在,故△ABC为直角三角形,则其垂心为其直角顶点B(1,0),则△ABC的欧拉线方程为y-13因为直线l与欧拉线垂直,所以-a联立y=-12x3.A设坐标原点为O,则△ABC的面积为12·AB·易知直线y=kx+b(k>0)与x轴的交点为-b由直线y=kx+b(k>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,可得b>0,故-bk设直线y=kx+b和BC的交点为N,易知直线BC的方程为x+y=1,联立y=kx+①若点M和点A重合(如图1),则点N为线段BC的中点,故N12把A、N两点的坐标代入直线y=kx+b,得k=b=13图1图2②若点M在点O和点A之间(如图2),则b>13,点N在点B和点C之间由题意可得△NMB的面积为12,故12·MB·yN=12,即12×1+③若点M在点A的左侧(如图3),则b<13,且-b图3设直线y=kx+b和AC的交点为P,易知直线AC的方程为y=x+1,联立y=kx+由题意可得△CPN的面积为12,即12·(1-b)·|xN-xP|=即12(1-b)·1-bk+1-由于此时13>b>k>0,∴2(1-b)2=|k2-1|=1-k2两边开方可得2(1−b)=1-k2<综上,b的取值范围是1-22,14.BCD对于A,设P(a,-a-2),当PM的斜率不存在时,a=-1,此时P(-1,-1),则kPN=1+12+1=当PN的斜率不存在时,a=2,此时P(2,-4),则kPM=1+4-1-2=−当a≠-1且a≠2时,kPM=-a若PM⊥PN,则-a+3a由于Δ=-31<0,所以方程无解,故PM与PN不垂直.综上,不存在点P,使得PM⊥PN,A错误.对于B,若PM=PN,此时P在MN的垂直平分线上,则P点的横坐标为12,此时P1若MP=MN,由于点M到直线l的距离d1=|-1+1+2|2故直线l上必存在两点满足PM=MN=3,设这两点为P1,P2,由于l上纵坐标为1的点为(-3,1),该点和M的距离为2,故P1,P2和M,N不共线,适合题意;若PN=MN,由于N点到直线l的距离d2=|2+1+2|2综上,若△MNP为等腰三角形,则点P的个数是3,B正确.对于C,设点M(-1,1)关于直线l的对称点为M'(m,n),则n-1故PM+PN=PM'+PN≥M'N=(-3-2)当且仅当M',P,N三点共线(P在M',N之间)时取得等号,故PM+PN的值最小为29,C正确.对于D,|PM-PN|≤MN=3,当且仅当P为NM的延长线与l的交点时等号成立,即|PM-PN|的值最大为3,D正确.故选BCD.5.答案33800解析以AF所在直线为x轴,DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系,娱乐健身区域为矩形PNMQ.由tan∠AFE=tan∠BCD=-34,得tan∠OFE=3则OEOF=34,又EF=50,所以OE=30,OF=40,所以E(0,30),F(40,0),D(0,110),C(40,140),A(120,0),B(120,140),故直线EF的方程为y=-设Pa,-34a+30,其中0≤a≤40,则Qa,34则PQ=32a+80,PN=120-a,所以四边形PNMQ的面积S=PQ·PN=32a+80(120−a)=−当a=1003时,S取得最大值,最大值为338006.答案58解析由题意得l1∥l2,则l1与l2间的距离为2,即PQ=2,过B作直线l垂直于l1,如图,则直线l的方程为y=-x+4,将B沿着直线l向上平移2个单位到点B',有B'(3,1),连接AB',交直线l1于点P,连接BQ,有BB'∥PQ,BB'=PQ,即四边形BB'PQ为平行四边形,则PB'=BQ,即有AP+QB=AP+PB'=AB',因此AP+QB的最小值,即AP+PB'的最小值,为AB',而AB'=(-4-3)所以AP+PQ+QB的最小值为AB'+PQ=58+7.解析(1)设直线l的方程为2x+y-5+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,所以|10+5λ-5|(2+λ)所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)设直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点为P,由2x设d为点A到直线l的距离,则d≤PA(当l⊥PA时等号成立).所以dmax=PA=(5-2)知识拓展直线系方程:具有某种共同性质(过某点、共斜率等)的直线的集合叫直线系,它的方程叫直线系方程.几种常见的直线系方程:(1)过已知点P(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为参数),但此方程不能表示直线x=x0.(2)斜率为k的直线系方程为y=kx+b(b是参数).(3)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(A,B不同时为0,λ≠C).(4)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0(A,B不同时为0).(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数),但此方程不能表示直线l2.8.解析(1)显然直线l的斜率存在,设其方程为y-4=k(x-3),则A3-4k,0,B(0,4-3k),于是S△AOB=12所以直线l的斜率为-43(2)由(1)知直线l的方程为y-4=-43因为S△APQ=13S四边形OQPB,所以S△APQ=14S△又PQ∥OB,所以△APQ∽△ABO,于是有PQ2BO2=S△APQS(3)假定在y轴上存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形,由(2)知直线l的方程为4x+3y-24=0,如图,设Q(t,0),0<t<6.当∠PQM=90°时,点M在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,则M必与原点O重合,因为MQ=PQ,所以P(t,t),于是有4t+3t-24=0,解得t=247当∠MPQ=90°时,由PQ∥OB,MP=PQ知四边形OQPM为正方形,则P(t,t),M(0,t),于是有4t+3t-24=0,解得t=247<6,此时M0,当∠PMQ=90°时,由PQ∥OB,MQ=MP得∠OQM=∠PQM=45°,即OM=OQ,则M(0,t),Pt,8-显然直线QM的斜率为-1,则PM的斜率为1,即8-43t-t综上,y轴上存在点M(0,0)或M0,247或M0,129.思路分析(1)(2)M,N,P共线m,n的关系式求出面积解析(1)以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点O且垂直于AB的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则C(10,15),B(10,0),D(-30,15),所以直线OC的方程为y=32OD的方程为y=-12设P(a,b),M(-2m,m),Nn,由题