苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程检测卷含答案

第3章圆锥曲线与方程全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若抛物线y2=2mx的准线经过椭圆x2A.-2B.-1C.1D.22.已知双曲线E与椭圆C:x26+A.x2-y2C.x22−3.已知双曲线C:x2A.54.已知m∈R,方程(2-m)x2+(m+1)y2=1表示的曲线为C,则以下命题正确的是()A.当C为双曲线时,m的取值范围是(2,+∞)B.当m=2时,C为一条直线C.当m∈12D.存在m∈R,使得C为等轴双曲线5.抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线x=2交C于P,Q两点,C的准线交x轴于点R,若PR⊥QR,则C的方程为()A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=12x6.在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+yA.7C.77.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4,直线l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是()A.M1M3·M2M4B.FM1·FM4C.M1M2·M3M4D.FM1·M1M28.设双曲线E:x2a2A.133,3∪(3,+∞)B.C.(-∞,-6)∪-6,-2二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知方程x2A.方程x2B.当k>9时,方程x2C.当-16<k<9时,方程x2D.当方程x210.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是抛物线C上的两点,O为坐标原点,则()A.抛物线C的准线方程为x=-2B.若AF=4,则△AOF的面积为3C.若直线AB过焦点F,且AB=163,则点O到直线AB的距离为D.若OA⊥OB,则OA·OB≥3211.某文物考察队挖出了一件宋代小文物,该文物外面是红色透明蓝田玉材质,里面是一个球形绿色水晶宝珠,其轴截面(如图)由半椭圆C1:x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆C2:x2c2+y2d2=1(x<0)组成,其中a2=b2+c2,a>b>c>0,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是轴截面与x,y轴的交点,阴影部分是宝珠轴截面,其以曲线xA.半椭圆C1的离心率是33B.半椭圆C1上的点到F0的距离的最小值为27C.半椭圆C2的焦距为4D.半椭圆C2的长轴长与短轴长的比值大于半椭圆C1的长轴长与短轴长的比值三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,位于第一象限的A、B两点在抛物线上,且满足BF-AF=4,AB=42.若线段AB的中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为.

13.定义两个点集S,T之间的距离集为d(S,T)={|PQ||P∈S,Q∈T},其中|PQ|表示P,Q两点之间的距离.已知m,t∈R,在平面直角坐标系xOy中,点集S={(x,y)|(x-a2+1)2+(y-a)2=1,a∈R},T={(x,y)|x+my-t=0},若d(S,T)=(0,+∞),则t的值为14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(1)若∠F1PO=π6,则双曲线的离心率为(2)过点P作双曲线C的切线,交另一条渐近线于点Q,若S△OPQ=23,则双曲线C的方程为.

四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)已知双曲线E:x2a2−y(1)求双曲线E的离心率;(2)过双曲线E上一点P(22,1)作直线l,分别交l1,l2于点A,B(A,B分别在第一、四象限内),且PB=2AP,求16.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F(0,2),动点P到点F的距离比到直线y=-1的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F任作一直线l与C交于A,B两点,直线OA,OB与直线y=-2分别交于点M,N,求证:以线段MN为直径的圆经过点F.17.(本小题满分15分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,上顶点为A,椭圆的焦距等于椭圆的长半轴长,且(1)求椭圆的标准方程;(2)若B,C是椭圆上不同的两点,且直线AB和AC的斜率之积为14,求△18.(本小题满分17分)在一张纸上有一个圆C:(x+5)2+y2=4,定点G(5,0),折叠纸片使圆C上某一点G1恰好与点G重合,这样每次折叠都会留下一条折痕PQ,设直线PQ与直线G1C的交点为T.(1)连接TG,求证:|TC-TG|为定值,并求出点T的轨迹E的方程;(2)设A(-1,0),M为轨迹E上一点,N为圆x2+y2=1上一点(M,N均不在x轴上),直线AM,AN的斜率分别记为k1,k2,且k2=-14k119.(本小题满分17分)已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=14和抛物线C2:x2=4y,P(x0,y0)是圆C1上一点,F是抛物线C2(1)M是抛物线C2上一点,当直线PM与圆C1相切,且PM=FM时,求M的坐标;(2)过P作抛物线C2的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,证明:存在两个x0,使得△PAB的面积等于33

答案与解析1.A由已知得椭圆的右焦点为(1,0),抛物线的准线方程为x=-m2,则-m2.C由题意设双曲线E的方程为x2易得椭圆C:x26+∴双曲线E中,c=2,离心率为3×26∴a=2,∴b2=c2-a2=2,故双曲线E的标准方程为x23.D易得双曲线的渐近线方程为y=±22联立x210-y2当1-2k2=0,即k=±22时,直线方程为y=±22x-1,与渐近线y=±当1-2k2≠0时,Δ=(4k)2-4×(1-2k2)×(-12)=0,解得k=±155所以k=±22或k=±154.C对于A,C为双曲线时,(2-m)(m+1)<0,解得m<-1或m>2,所以m的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞),故A错误;对于B,当m=2时,方程为3y2=1,解得y=±33对于C,当m∈12,2时,2-m∈0,32,m+1∈则曲线C:x2对于D,方程可整理为x212-m+y215.C由题可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则准线方程为x=-p2当x=2时,y=±2p,不妨设P(2,2p),Q(2,−2又R-p2,0,PR⊥QR,所以26.B由题意得O(0,0),P(a,0),设A(x,y),所以OA=(x,y),PA=(x-a,y),由O,A,P,B四点共圆以及椭圆的对称性可知,OP为圆的直径,所以所以OA·PA=x2-ax+y2=0,将y2=14ax代入得x2易知x≠0,故x=34a,则y2=316a2,代入椭圆方程得916+316·a27.C易知M1,M4在抛物线上,M2,M3在圆上.联立y=k(x-2),y2=8x,消去y整理得k设M1(x1,y1),M4(x2,y2),则x1+x2=4k2+8k2过点M1,M4分别作直线l':x=-2的垂线,垂足分别为A,B,则FM1=x1+2,FM4=x2+2.对于A,M1M3·M2M4=(FM1+2)(FM4+2)=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16=4+4·4k对于B,FM1·FM4=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=4+2·4k对于C,M1M2·M3M4=(FM1-2)(FM4-2)=x1x2=4,为定值,故C正确.对于D,FM1·M1M2=FM1·(FM1-2)=(x1+2)x1,不为定值,故D不正确.故选C.8.C设D为AB的中点,根据重心性质可得MF=2由F(c,0),M(0,3b)得D3c因为l与E的右支交于A,B两点,所以点D在双曲线右支的内部,故有9c24当l的斜率不存在时,D在x轴上,此时M,F,D三点不共线,不符合题意,舍去;当l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=3c,y1+y2=-3b,因为A,B在双曲线上,所以x1即(x1-x2因为M,F,A,B不共线,所以kAB=-bca2≠kMF=-3bc,即c2≠3a2所以E的离心率的取值范围为133,3∪kAB=-bca因为e∈133,3∪所以e2∈139,3所以e2-所以kAB=-e2-122-19.BCD对于A,当方程x2对于B,方程x216+k对于C,当-16<k<9时,16+k>0,9-k>0,方程x2对于D,当方程x216+k−y故选BCD.10.BD对于A,抛物线C的准线方程为x=-1,A错误;对于B,C的焦点为F(1,0),设A(xA,yA),则xA+1=4,解得xA=3,所以|yA|=23,所以S△AOF=12对于C,当直线AB的斜率不存在时,AB=4,不符合题意,故直线AB的斜率存在,设其方程为y=k(x-1),联立y=k(x-1),y2=4x,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x根据抛物线的定义得AB=x1+x2+2=2k2+4所以直线AB的方程为y=±3(x-1),不妨取直线AB:3x−y−3=0,所以点O到直线AB的距离为对于D,设直线OA的方程为y=k1x,易知k1≠0,由y=k1x,因为OA⊥OB,所以直线OB的方程为y=-1k1x,可得OB=4所以OA·OB=161k162+2k当且仅当k12=11.BC∵F1,F2是半椭圆C2:x2c2+y2d2=1(x<0)的焦点,∴F1,F2关于原点对称,且F又∵∠F1F0F2=60°,∴△F1F0F2为正三角形,故OF0=3OF1,∵F1,F2在圆x2+y2=4上,∴OF1=2,∴OF0=23.易知半椭圆C1:x2a2+y2b又a2-b2=c2=OF02=12,d2−c2=OF1∴半椭圆C1的方程为x228+y216=1(x对于A,半椭圆C1的离心率e=ca对于B,半椭圆C1上的点到F0的距离的最小值为27−2对于C,半椭圆C2的焦距为F1F2=4,正确;对于D,半椭圆C1的长轴长与短轴长的比值为2a2b=4∵233<72,∴12.答案y2=8x解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为BF-AF=4,所以x2+p2−又因为AB=1+kAB2因为A,B都位于第一象限,所以kAB=1,又线段AB的中点的纵坐标为4,所以y1+y2=8,所以kAB=y2所以2p=8,所以抛物线的方程为y2=8x.13.答案-2解析集合S表示以(a2集合T表示直线x+my-t=0上的点的集合.易知圆心(a2+1,a)在双曲线x2-y如图,由图可知,当直线x+my-t=0与双曲线的渐近线x±y=0平行且距离为1时满足d(S,T)=(0,+∞),即m=±1.当m=-1时,直线x-y-t=0在双曲线的渐近线x-y=0的左上方且距离为1,∴|t|2当m=1时,直线x+y-t=0在双曲线的渐近线x+y=0的左下方且距离为1,∴|t|2∴t的值为-2.14.答案(1)213解析(1)解法一:由已知得F2(c,0),设∠POF2=α,则tanα=ba∵PF2垂直于直线y=bax,∴PF2=|bc|a2在△OF1P中,由正弦定理得asinα-解法二:依题意知F1(-c,0),F2(c,0),可得直线PF2的方程为y=-ab(x-c),与y=bax联立,可得x=a2∴PF1=a2在△OPF1中,OF12=PF12+OP2-2·PF1·OP即c2=3a2+c2+a2-23a2+c2·a·3∴e=ca(2)设过点P的切线PQ与双曲线切于点M(x0,y0),则x02a由(1)中解法一可得sin2α=2sinα∴S△OPQ=12OP·OQsin2α=12·x1易得切线PQ的方程为x0xa2−y0yb2=1,即y=b2x0xy0a2−b2y0,将其代入b又b2x02−a2y02=a2b2,∴-a2b2x2+2a2b2x0x-a4b2=0,即x2-2x0x+a2=0,∴x1x2=a2,由(1)中解法一知a=32b,∴S△∴b=2,a=3,故双曲线C的方程为x215.解析(1)由题意得ba=12,则e=(2)由(1)可得双曲线E的方程为x2因为P(22,1)在双曲线上,所以b2=1,故双曲线E的方程为x24-y设Ax1因为PB=2AP,所以所以x1=3+32则OA=x12+设直线OA的倾斜角为θ,则tanθ=12,则sin∠AOB=sin2θ=2sin所以S△AOB=12OA·OBsin∠AOB=116.解析(1)∵动点P到点F的距离比到直线y=-1的距离大1,∴动点P到点F的距离等于点P到直线y=-2的距离,(2分)故点P的轨迹是以点F为焦点的抛物线,设其方程为x2=2py(p>0),又p2=2,∴p=4,故动点P的轨迹C的方程为x2(2)证明:易知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,Ax1,x12由y=x18x∴FM=由y=kx+2,x2=8y得x2则FM·FN=因此,以线段MN为直径的圆经过点F.(15分)17.解析(1)由题意得a所以椭圆的标准方程为x2(2)由(1)知点A(0,3),易知直线AB和AC的斜率均存在,所以点B,C与椭圆的上、下顶点均不重合.若直线BC的斜率不存在,设B(x0,y0)(x0≠0),则C(x0,-y0),所以kAB·kAC=y0又点B(x0,y0)在椭圆上,所以x024+y023=1,所以3-y设直线BC的方程为y=kx+m(m≠±3),与x24+y23=1联立,得(4k则Δ=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0,设B(x1,y1)(x1≠0),C(x2,y2)(x2≠0),则x1+x2=-8km所以kAB·kAC=y=(=k2-k(m-3)·8km所以m2-33m+6=0,即(m-23)(m−所以m=23,故Δ=48(4k2-12+3)>0,即4k2-9>0,所以直线BC的方程为y=kx+23,x所以BC=1+k又点A(0,3)到直线BC的距离d=31+所以△ABC的面积S=12BC·d=1令4k2-9=t(t>0),则4k2=t2+9,所以S=6tt2+12=6t+18.解析(1)由题意得TG=TG1,所以|TC-TG|=|TC-TG1|=2,故|TC-TG|为定值.(2分)因为2<|CG|=25,所以点T的轨迹是以C,G为焦点,2为实轴长的双曲线,则c=5,a=1,所以b=c2所以E的方程为x2-y2(2)由已知得lAM:y=k1(x+1),lAN:y=k2(x+1),因为M,N均不在x轴上,所以k1≠0,k2≠0,易知点A(-1,0)在轨迹E上,联立y=k1设M(xM,yM),N(