（新教材人教A版2019）高中数学选修（共3册8章）分章节基础知识

第1章空间向量与立体几何

§1.1空间向量及其运算

1.空间向量基本概念

空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.

长度(模)：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模，记为问或I而卜

零向量：长度为o的向量叫作零向量，记为0.

单位向量：模为1的向量叫作单位向量.

相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫作a的相反向量，记为-a.

共线向量(平行向量)：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作

共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行.

相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.

2.空间向量的线性运算

空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘，其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.

3.共线、共面向量基本定理

(1)直线2的方向向量：在直线/上取非零向量与向量3平行的非零向量称为直线/的方向向量.

(2)共线向量基本定理：

对任意两个空间向量入好(AH。)，allb的充要条件是存在实数X,使

(3)共面向量：

如果表示向量£的有向线段。4所在的直线。4与直线/平行或重合，那么称向量［平行于直线/.

如果直线0A平行于平面a或在平面a内，那么称向量。平行于平面a.

平行于同一个平面的向量，叫作共面向量.

(4)共面向量基本定理:如果两个向量£,b不共线，那么向量,与向量3,石共面的充要条件是存在唯一的

有序实数对使p=xa+)心.

4.空间向量的数量积

(1)向量的夹角：已知两个非零向量在空间任取一点。，作=£，砺=6,则NA05叫作向量

〃的夹角，记作<>.如果<。/〉=—，那么向量出匕互相垂直，记作aA-b.

2

(2)数量积定义：已知两个非零向量。,5,则,帆cosv>叫作的数量积,记作。4.

即a,B二|tz||^|cos<a,^>.

(3)数量积的性质:

aab=O

a-a=aacos<a,a>=|«|.

(4)空间向量的数量积满足如下的运算律：

(匈石=电/)

ab=ba(交换律)：

^a+b^-c=a-c+b-c(分配律).

推论：仅+仅+,伍—4=同-

(5)向量的投影向量：

向量〃在向量B上的投影向量c：c=L|cos<a,b>X

11w

向量2在平面a内的投影向量与向量［的夹角就是向量£所在直线与平面a所成的角.

§1.2空间向量基本定理

1.空间向量基本定理

如果三个向量a,Ac不共面，那么对空间任意一个空间向量p.存在唯一的有序实数组(x,y,z).使得

p=xa+yb+zc.

2.基底与正交分解

(1)基底:如果三个向量a,B,c不共面，那么我们把｛a,反c)叫作空间的一个基底，。,瓦c都叫作基向量.

⑵正交分解：

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用

｛/；/次｝表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫作把空间向量进行正交分解.

§1.3空间向量及其运算的坐标表示

1.空间直角坐标系

在空间选定点0和一个单位正交基底｛；，1，目.

以点。为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴.y轴、Z轴，它

们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,0叫作原点，i,都叫作坐标向量，通过

每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.

空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.

2.空间向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中i,E为坐标向量.给定任一向量。4,存在唯一的有序实数组(％,y,z),使

OA=xa+yh-\-zc.有序实数组(无,y,z)叫作向量0A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标.记作

Q4=(x,y,z).(x,y,z)也叫点A在空间直角坐标系中的坐标.记作A(x,y,z).

3.空间向量运算的坐标表示

设。二(玉，%，4)石二(工2，%，22)，则：

(1)Q+B=(M+%,弘+%,Z]+Z2),

(2)a-b=(x[-y2,Zj-z2),

(3)Aa=(A%),Ayl,).

4.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示

(1)a!!b<=>a=2b<=>\=Ax2,yt=Ay2,Zj=Az2,

(2)a<=>a•b=0<^>xlx2-hyly2+zlz2=0,

+Y+4

a-h_x}x1-^y{y2+z]z2

同W&+y「+z「k+

5.空间两点间的距离公式

设4&,y,zj,g(w,%，z?)，则《6=-X|)~+(%-X)-+)2-Z])~•

§1.4空间向量的应用

1.平面的法向量：直线/J_a,取直线/的方向向量。，称。为平面的法向量.

2.空间中直线、平面的平行

(1)线线平行：若晨%分别为直线44的方向向量，则

4/〃2<=>%//〃2<=>3AeR,使得%=4%.

(2)线面平行：设〃直线7的方向向量，〃是平面a的法向量，/aa,则

l//a<^>u-Lnou-n=0.

法2：在平面a内取一个非零向量。，若存在实数工，使得〃=不。，且/a二，则///a.

法3：在平面a内取两个不共线向量ah若存在实数x,y,使得〃=xa+yB,且/(Za,则///a.

(3)面面平行：设勺，%分别是平面a,分的法向量，则

aI//30nJn03入GR,使得“=几巧.

3.空间中直线、平面的垂直

(1)线线垂直：若用,的分别为直线/”乙的方向向量，则，=0.

(2)线面垂直：设4直线/的方向向量，几是平面a的法向量，则/J_ao〃//〃<=>m4ER,使得

u=An.

法2：在平面a内取两个不共线向量。,力，若则/_Lcz.

(3)面面垂直：设〃],%分别是平面a,，的法向量，则。_L巧。勺•叼=0.

4.用空间向量研究距离、夹角问题

(1)点到直线的距离：已知是直线/上任意两点，P是I外一点、,PQA.I,则点P到直线/的距

离为啥舸祠=配雷P

(2)求点到平面的距离

已知平面a的法向量为〃,A是平面a内的任一点，P是平面a外一点，过点P作则平面a的垂线/,

/4jp>7

交平面a于点Q,则点P到平面a的距离为PQ=—曰一.

H

(3)直线与直线的夹角

若勺,％分别为直线41,的方向向量，。为直线4,4的夹痢，则cos。=卜05<々，巧〉|=]^心:

'阿|«2

(4)直线与平面的夹角

设力是直线/的方向向量，n2是平面a的法向量，直线与平面的夹角为。.则

sind=|cos<nt,n2>|=TAA

(5)平面与平面的夹角

平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90’的二面角称为这

两个平面的夹角.

若勺,％分别为平面。,尸的法向量，夕为平面a,/的夹角，则cosO=|cosv々，4>|=患

第2章直线和圆的方程

§2.1直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角与斜率：

倾斜角：当直线/与X轴相交时，以X轴为基准，X轴正向和直线/向上的方向之间所成的

角a叫直线的倾斜角，取值范围为0°<a<180°.

斜率：直线的倾斜甬a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用攵来表示.

斜率左公式：如果直线经过两点。工2），则k=tana=—~~-.

X2一否

直线的方向向量：斜率为攵的直线的一个方向向量是若斜率为上的直线的一个方向向

量的坐标为（x,y）,则攵=）.

x

2.两条直线平行和垂直的判定

斜率分别为kp42的两条不重合的直线/|」2，有/]/〃2==&2.

斜率分别为给&2的两条直线/1，4，有4JL，2=匕&2=一1•

§2.2直线的方程

1.直线方程：

⑴点斜式：y-y0=k{x-x0）（不能表示斜率不存在的直线）

⑵斜截式：y-kx+h（不能表示斜率不存在的直线，/?是直线与y轴的交点纵坐标（即y

轴上的截距））

⑶两点式：——兑二.为一（西工y工%）

W一%

⑷截距式：—+-=1（是直线在轴上的截距，且QWO/WO）

ab

⑸一般式：Ax+By+C=O（A,3不同时为0）

2.给定直线方程判断直线的位置关系：

(一)对于直线4:y=+:y=k?x+b?有:

k、—k，2

⑴/"〃2=<

h}A%

(2)/j和4相交。W&；

k-k

⑶/］和4重合=12;

［仇।=b2

(4)ZjJ_Z9o——1-

(二)对于直线/:Ac+3y+C=0：

(1)与直线/:Ar+8y+C=0垂直的一个向量为(A,B),平行的一个向量为(8,-A).

It:Ax+3］y+Ci=0,

(2)对于直线1,口।有：

12:A2X+B2y+C2=0

=

7//7JA^242为

U.C2#B2C,

ZI和，2相交=4B2w；

Z]_Ll2<=>A]A2+B]B2=0.

§2.3直线的交点坐标与距离公式

(1)两点间距离公式:

已知6（芭,X）,£（%2,%），则内刃=J（尤2一尤1）2+（丁2一%）2•

（2）点到直线距离公式：

,|Ax0+Byn+Cl

P（Xo，%）到直线八Ax+8_y+C=。的距离d为：d=---/-

VA2+B2

(3)两平行线间的距离公式:

/,：而+为+。1=0与/2：Ar+By+C?=0间的距离d为：d

§2.4圆与方程

1.圆的方程：

⑴标准方程：(x—a)2+(y-Z?)2=/(其中圆心为(。,/?),半径为r.)

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.(D2+£2-4F>0).

§2.5直线与圆、圆与圆的住置关系

1.直线Ax+8y+C=0与圆(x—a『+(y—份2=/的位置关系：(［表示圆心到直线的

距离)

d>r=相离oA<0；

d—ru>相切oA=0；

d<ro相交oA>0.

2.直线和圆相交弦长公式：/=2，户一屋(”表示圆心到直线的距离)

3.两圆位置关系：d=|aO21

(1)外离：d>R+r；

(2)外切：d=R-\-r；

(3)相交：R-r<d<R+r；

(4)内切：d=R-r(/?>r)；

(5)内含：d<R—r(/?>r.

第3章圆锥曲线的方程

§3.1椭圆

平面内与两个定点耳、尸2的距离的和等于常数2a（大于|「g|=2c）的点的

定义

轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

不&

图形

标准方程号+a=1（。＞6＞。）

范围-aKx〈〃且一匕<yWb匕且一

4（-么0）、A（a,O）4（0,-。）、4（0M）

顶点

、用（仇

4（0,_"B2（O,b）B卜b,0）、0）

轴长长轴的长=2。短轴的长=2b

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点月（一c,0）、鸟（c,0）耳（0,-c、）、6（0,c）

焦距国居|=2c

a,b,c关系c2=a2-b2

笳-小笳（。

离心率VCVD

=z?2tan

焦点三南形面积W22（e=4M）

7,2

通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径："”'=一

弦长公式4（）,8（尤2,〉2），|钻|=J1+-九21=J1+二J。一々A-

§3.2双曲线

平面内与两个定点耳、鸟的距离的差的绝对值等于非零常数2a（小于|耳工|=2c）的

定义

点的轨迹叫双曲线，两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

§3.3抛物线

y2-2Pxy2=-2px无2=2pyx1=~^-py

标准方程

（〃>。）（〃>。）（〃>。）（0>。）

顶点（0,0）

离心率e=l

对称轴X轴y轴

范围x>0x<0y>0y<0

焦点”。）「，。）《。图户（。，苦）

准线方程X=——x=—

22

通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：|””[=2p

焦点弦长

|AB|=X+M+p

公式1

参数P的

参数〃表示焦点到准线的距离，”越大，开口越阔

几何意义

第4章数列

§4.1数列的概念

1.定义：我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的

项.第一项叫首项，常用生表示.

2.通项公式：如果数列｛4｝的第〃项％与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,

那这个式子叫做这个数列的通项公式.

3.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个

式子叫做这个数列的递推公式.

4.数列｛q｝的前〃项和：把数列｛q｝从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛4｝的

前〃项和.记作S“，即S“=4+4+…+a”・

_£,n=l

5.通项a“与S”之间的关系:

S“一S"T，”N2.

§4.2等差数列

1.等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那

么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示.

2.等差中项：有三个数a,A,/?组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，此时A叫做a

与力的等差中项.可知2A=a+8.

3.等差数列的通项公式：an=a｝+（n-l）J.

d-Q

引申式：an=am+(n-m)d,an-am=(n-m)d,d=———现

n-m

4.等差数列的前”项和公式:

"（"T）d一〃（4+可）

S”=叫+

22

5.等差数列常用性质:

①若/"+〃=p+q（in,n,p,qe/V+）,则am+an=ap+aq；

②下标为等差数列的项（ak,ak+m,ak+2m,­••）,仍组成等差数列:

③数列｛2%+b｝（2力为常数）仍为等差数列；

④若｛%｝、｛〃｝是等差数列，则｛3｝、伙+（k、，是非零常数）、

｛与”｝（P应eM）,…也成等差数列.

⑤单调性：｛%｝的公差为。，则：

i）d>0。｛a“｝为递增数列：

ii）d<0<=>｛a“｝为递减数列；

iii）d=0。｛a“｝为常数列；

⑥数列｛%｝为等差数列u>=p〃+q（p,q是常数）

⑦若等差数列｛4｝的前"项和S“，则臬、S2k-Sk.S31t—S2*…是等差数列.

§4.3等比数列

1.等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那

么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，常用q来表示（°力0）.

2.等比中项：若三数〃、G、Z7成等比数列，那么G叫做。与/?的等比中项.此时G2=aO.

nx

3.通项公式：an=axq~

n

引申式：an=amq-\»个"

4.等比数列前〃项和公式：s„=矶-q、=/fq（g力i）

]-g\-q

5.等比数列常用性质：

①若根+〃=p+q（m,n,p,qsN）,则amq=。〃・/；

②QA，4+m，44+2/W，•••为等比数列，公比为（下标成等差数列，则对应的项成等比数列）

③数列｛几％｝（4为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；

对于正项等比数列｛q｝,则｛1g是公差为1gq的等差数列；

④若｛4｝是等比数列，则｛ca“｝,｛aj｝,<'-，｛*｝（reZ）是等比数列，公比依次是

q,,」，q「.

q

⑤单调性：

q>0,4>1或4<0,0<4<1=>｛〃〃｝为递增数列；q>0,0<q<l^a]<O,q>l=｛a〃｝

为递减数列；

q=ln｛。〃｝为常数列；

夕<0=｛。〃｝为摆动数列；

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列.

⑦若等比数列｛%｝的前〃项和S“，则果、S2k-Sk.S32-S2A…是等比数列.

第5章一元函数的导数及其应用

§5.1导数的概念及其意义

1.导数定义：对于函数y=把比值*="/+弋—/(/)叫做函数y=/(x)从

/到/+Ax的平均变化率，如果当AxfO时，平均变化率竺无限趋近于一个确定的值，

Ax

即受有极限，则称y=/(x)在工=尤0处可导，并把这个确定的值叫做y=/(%)在%=%

处的导数(也称瞬时变化率)，记作r(x0)或y|,即

lx=x0

r(x0)=lim"=lin/Q+祠—

-Ax-Ax

2.函数y=/(x)在点玉)处的导数/'(%())的几何意义：

(1)切线：在曲线上任取一点尸(%,/(尢))，如果当点P(x,.f(x))沿着曲线y=/(x)无限

趋近于点兄(%,/(%0))时，割线4P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线

4T称为曲线y=f(x)在点Po处的切线.

(2)/'(%)的几何意义：/'(4)是曲线y=/(x)在「(々，/(王)))处的切线4T的斜率.

3.导函数：当x=x()时，/'(/)是一个唯一确定的数，这样当x变化时，y=/'(x)就是x的

函数，我们称它为y=/(x)的导函数，简称导数.有时记作y’.

§5.2导数的运算

1.几种常见函数的导数

©C=0；②(彳")'=。/7；③(sin尤)，=cosx；@(cosx)=-sinx；

⑤(优)=优Ina；⑥(/)=e'；⑦(log“x)=—-—:⑧(Inx)=—

xlnax

2.导数的四则运算法则

(1)(/(%)±g(x))'=/'(x)+g'(x).

⑵(/(x)g(x))'=/'(x)g(x)±/(x)g'(x).特别地：[c/(x)]=d(x)

⑶留)(小°)

4.复合函数求导法则

由函数y=f(u),u=g(x)复合而成的的函数y=/(g(x))的导数和函数

y=/(〃),"=g(x)的导数间的关系为y；=yj■ux»即y对x的导数等于y对〃的导数与

〃对x的导数的乘积.

§5.2导数在研究函数中的应用

1.导数与函数的单调性

(1)在某个区间上，如果/则函数y=/(x)在区间上为单调递

增：

在某个区间(〃⑼上，如果f\x<0,则函数y=/(x)在区间上为单调递

减.

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，

若/(x)为增函数，则八%)20(八x)在(久。)上的任何子区间内都不恒等于零);

若〃x)为减函数，则/'(x)<0(/'(X)在(。力)上的任何子区间内都不恒等于

零).

2.函数的极值

(1)极值定义：

函数y=/(x)在点x=。的函数值f(a)比它在点x=。附近其他点的函数值都小，

八4)二0,而且在点x=〃附近的左侧/'(x)<0,右侧r(x)>0,我们把。叫做函数的极

小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；

函数y=fM在点、x=b的函数值比它在点x=b附近其他点的函数值都大，

S)=0,而且在点x=〃附近的左侧/'(%)>0,右侧(幻<0,我们把b叫做函数的极

大值点，/e)叫做函数y=f(x)的极大值.

极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

第6章计数原理

§6.1分类加法与分步乘法计数原理

1.分类加法计数原理：

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不同的方法，在第2类方案中有“种

不同的方法，那么完成这件事情共有N=〃?+〃种不同的方法.

2.分步乘法计数原理：

完成一件事有两个步骤，做第1步有，”种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，那么

完成这件事情共有N=mxn种不同的方法.

§6.2排列与组合

1.排列定义：从几个不同的元素中任取加(〃，<〃)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫

做从〃个不同的元素中取出m个元素的一个排列.

全排列：把几个不同的元素全部取出的一个排列，叫做几个元素的一个全排列.

2.排列数：从〃个不同的元素中任取〃?(加4〃)个元素的所有不同排列的个数，叫做从〃个

不同元素中取出m个元素的排列数，记作A"'.

3.排列数公式：

(1)A,"'=n(n-1X»-2)•-•(n-/n+1)；

(2)A：=〃!，规定0!=l.

"(z?-in).，

4.组合定义：从几个不同的元素中取出，个元素作为一组，叫做从〃个不同的元素

中取出加个元素的一个组合.

5.组合数：从〃个不同的元素中取出加(加<〃)个元素的所有不同组合的个数，叫做从"个

不同元素中取出加个元素的组合数，记作C：.

6.组合数公式：

⑴:戋心"_"(〃一从一2%一(〃一，〃+1),“_〃！.

"一不"m\或"一加(〃-加厂

(2)C；；,=C；；-,\规定端=1；

(3)1=-

§6.3二项式定理

1.二项式定理

(1)二项式定理：

(a+b)n=*+C\a"'lb+C^an-2b2+…+《小好+…+C»"(〃e乂).

右边的多项式叫做(a+b)"的二项展开式.

kk

(2)二项展开式的通项：第k+1项：7；+|=C^a"-h(0<k<n,k^N,keN+).

(3)二项式系数：C*

2.二项式系数的性质：

(1)若令a=1力=%则有:(1+x)"=C%"+C、"T+C；x"-2+…+C>°,

若令x=1,则有(1+1)'=2"=C：+C：+C；+…+£；.

奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和.即

C；+C"-Y+C,：+…=2")

(2)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C：=C7";

(3)增减性与最大值：

M1%_1_|

当时，二项式系数C的值逐渐增大，当女＞丁时，c：的值逐渐减小;

n

当〃为偶数时，中间的一项C,取得最大值；

〃-1n+l

当〃为奇数时，中间的两项(?3和=。7相等，且同时取最大值.

第7章随机变量及其分布

§7.1条件概率与全概率公式

1.条件概率：设4,8为两个随机事件，且P（A）＞0,称尸（同A）=筹?为在事件4发

生的条件下，事件8发生的条件概率，简称条件概率.

2.乘法公式：对任意两个事件A与8,若尸（A）＞0,则P（AB）=P（A）P（8|A）.

3.全概率公式：设4,4,..A,是一组两两互斥的事件，4U4U....UA“=。，且

P（4）＞（）,i=l,2,...,n,则对任意的事件6=有P（B）='P（a）P（B|Aj.

/=1

§7.2离散型随机变量及其分布列

1.随机变量：对于随机试脸样本空间中的每个样本点①，都有唯一的实数X（＜y）与之对应，

我们称X为随机变量，可能取值为有限个或可以——列举的随机变量，我们称为离散型随

机变量.随机变量常用大写英文字母表示，例X,Y,Z.

2.概率分布列：

（1）定义：设离散型随机变量X可能取的不同值为％,与，…,X”，我们称X取每一个值七

的概率：P（X=xj=Pj,i=T,2,…,n,为X的概率分布列，简称分布列.常用表格表示:

・・・・・・

Xx2XiX.

PPlP2•••Pi•••Pn

（2）性质:①YNO,i=1,2,3…〃;②P[+°2+...+p“=1.

3.两点分布：

若X的分布列如表所示

X01

P1-pp

我们称X服从两点分布或0-1分布.

§7.3离散型随机变量的数字特征

1.离散型随机变量的均值

期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

（2）性质：E（aX+b）=aE（X）+b.

2.离散型随机变量的方差

（1）定义：若离散型随机变量X的分布列为

・・・・・・

XX2X,X”

.・・.・・

pPiPlPiPn

则称。（X）=Za-E（X））2p,为离散型随机变量X的方差，也记为血「（X）,并称

/=|

Jo（x）为随机变量X的标准差.记为cr（x）.它反映了离散型随机变量取值的离散程度.

O(x)越小，取值越集中；D(x)越大，取值越分散.

(2)性质:D(aX+b)=a2D(X).

§7.4二项分布与超几何分布

1.二项分布

我们只包含两个可能结果的试验■叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行〃次所

组成的随机试验称为〃重伯努利试验，〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率

为"(O<p<l),用X表示事件A发生的次数，则A的分布列为

p(x=k)=C>\1-p)i,p=0,1,2,..

随机变量X的具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(〃,p).

2.超几何分布

在含有"件次品的N件产品中，任取〃件(不放回)，用X表示抽取的〃件产品中的

次品数，则X的分布列为p(x=z)=上匹9•（左=0,1,2,…，㈤

其中m-rmn[M,n^,n,M,NGN»,nWN,MMN,m-max{0,n—N+M],

如果随机变量X的分布列具有上式形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

§7.5正态分布

1.正态分布定义：

1

若连续性随机变量X的概率分布密度函数为/(x)=---i=e2，,xeR,〃wR,cr〉0,

^72兀

则称随机变量X服从正态分布，记为记作X〜N(〃,b2).它的图象为正态密度曲线，简称

正态曲线.

当〃=0,cr=l时，称随机变量X服从标准正态分布.

2.正态曲线的特点：

曲线是单峰的，它关于直线对称；

曲线在x=〃处达到峰值——;

当国无限增大时，曲线无限接近x轴；

当o■较小时，峰值高，正态曲线瘦高，表示随机变量X的分布比较集中；

当c较大时，峰值低，正态曲线矮胖；表示随机变量X的分布比较分散.

3.正态分布的期望、方差

若X〜,KjlE(x)=u,D(x)=cr2.

4.3cr原则

若X〜N(〃,cr2),P(M-3crWXW"+3b)a0.9973,由此看到一次试验中，X的取值

几乎总是落在区间［〃-3b,〃+3b］内，在此区间外的概率大约只有0.0027,通常认为服从

正态分布的随机变量X只取［〃-3b，4+3cr］中的值，这在统计学中称为3cr原则.

第8章成对数据的统计分析

§8.1成对数据的统计相关性

1.相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程

度，这种关系称为相关关系.

2.相关关系分类：

正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个

变量正相关；

负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减小的趋势，就称这两个

变量负相关.

3.线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，就

称这两个变量线性相关.

4.样本相关系数厂：

___

Z(