江西省南昌市选课走班调研2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题

2023级高一选课走班调研检测数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.己知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，得到集合的补集，利用交集的定义即可求.【详解】因为，所以，又因为，所以.故选：C2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.，有【答案】B【解析】【分析】利用命题否定的知识直接求解即可.【详解】易知命题“”的否定是.故选：B3.以下函数中满足，都有的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对于ABC，取即可判断；对于D，画出图形，通过数形结合即可判断.【详解】对于A，取，则，故A错误；对于B，取，则，故B错误；对于C，取，则，故C错误；对于D，如图所示：函数的增长速度越来越慢，不妨取任取函数图象上两点，点为线段中点，垂直于轴，点为与函数图象的交点，所以，故D正确.故选：D.4.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若事件A的对立事件为B，则A与B为互斥事件B.若事件A和B的概率都不为0，且，则事件A与相互独立C.若将一组数据的每个数都加上同一个正数，则平均数和方差都会发生改变D.若一组数据的方差为0，则这组数据的众数唯一【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断A的真假；根据独立事件的判定方法判断B的真假；根据相关数据的平均数和方差的关系判断C的真假；根据方差的概念判断D的真假.【详解】对A：若、是对立事件，则前提是、为互斥，故A正确；对B：因为，且，，所以、相互独立，故B正确；对C：若，则，，所以一组数据的每个数都加上同一个正数，那么平均数改变，方差不变.故C错误；对D：对一组数据，，说明这组数据是常数，故众数唯一.故D正确.该题要选出不正确的说法.故选：C5.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，解一元二次不等式即可，利用指数函数单调性即可解.【详解】设，则不等式可化为，解得，所以，解得.故选：A6.已知函数，，则（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】由题意首先将代入得的值，进一步将代入即可求解.【详解】由题意，解得，所以.故选：C.7.纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模型：假设有两个沿两平行直线运动的动点C和F，其中点C从线段的端点A向B运动，点F从射线的端点D出发向E运动，其中的长为a，的长无限大．若的长度满足在第t秒时，的长度满足在第t秒时，记，，则x是关于y的一个对数函数．根据以上定义，当时，则（）A.15 B.18 C.21 D.24【答案】B【解析】【分析】由题意得，代入的值，结合指对互换以及对数运算即可求解.【详解】由题意得，所以当时，，解得.故选：B.8.已知函数是上的偶函数，若，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是偶函数可得，代入解析式，判断出单调性，利用单调性解不等式即可求.【详解】因为是偶函数，所以，所以，整理得，由题意可知，所以，所以，所以，又，则，任取，，且，所以，因为，，则，又，，所以，所以，所以，所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数，所以在上单调递减，因为，所以，又，解得，故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.一名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮一次，命中为必然事件B.随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1C.投掷两枚均匀的骰子，观察出现的点数和，点数和为2是一个样本点D.试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为【答案】BC【解析】【分析】由随机事件以及它的概率范围即可判断AB，由样本点，样本空间的定义即可判断CD.【详解】对于A，他投篮一次，命中为随机事件，故A错误；对于B，随机事件发生的可能性越大，它发生的概率越接近1，故B正确；对于C，点数和为2当且仅当两枚骰子出现的点数都为1，这是有可能的，故C正确；对于D，试验“连续投掷一枚均匀的骰子直到出现3点停止，观察投掷的次数”的样本空间为，故D错误.故选：BC.10.下列选项中正确的是（）A.函数（，且）过定点B.若函数定义域为，则函数的定义域为C.函数的最小值为2D.若对任意的实数都有不等式恒成立，则【答案】BD【解析】【分析】用指数函数的性质判断A，抽象函数的定义域判断B，举反例判断C，分离讨论的范围判断D即可.【详解】当时，，则该函数过定点，故A错误，若函数的定义域为，则在中，解得，故B正确，当时，，则函数的最小值不为2，显然C错误，若在时恒成立，当时，不等式不成立，当时，令，此时有且，故有且，此时无解，故排除，当时，令，此时有或，故有或，解得，综上，故D正确.故选：BD11.某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（）A.首选科目为历史的学生样本容量为20B.所有样本的均值为87分C.每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为D.首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13【答案】ABD【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比可判断A；根据分层抽样的平均数计算公式可判断B；利用古典概型概率公式判断C；根据分层抽样的方差计算公式可判断D.【详解】设历史类学生抽取人数为，则，解得，故A正确；设物理类学生成绩的平均数为，方差为，历史类学生成绩的平均数为，方差为，所以样本的平均数为，方差为，则由题意可得，，，，所以所有样本的均值，故B正确；每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为，故C错误；由方差的计算公式可得，解得，所以历史类学生成绩的标准差为，故D正确.故选：ABD12.已知函数，函数的一个零点为a，的一个零点为b，则以下说法正确的是（）A.与图象关于直线对称B.的的图象通过平移变换可以得到一个奇函数的图象C.D【答案】ABD【解析】【分析】对于A，说明与是否互为反函数即可；对于B，通过分离常数即可判断；对于CD，由函数单调性以及零点的定义即可判断求解.【详解】对于A，由，得，即是函数的反函数，所以与的图象关于直线对称，故A正确；对于B，，若将函数的图象向下平移一个单位，再向左平移一个单位即可得反比例函数的图象，而函数是奇函数，满足题意，故B正确；对于C，，由复合函数单调性可知单调递增，又指数函数也单调递增，所以在定义域内单调递增，但时，，且，故的零点不在区间内，故C错误；对于D，，由复合函数单调性可知单调递增，又指数函数也单调递增，所以在定义域内单调递增，因为，所以，，所以，由C选项分析可知，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是结合函数单调性以及零点的定义，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的值域为__________________.【答案】【解析】【分析】先求出函数的定义域，再令，则，然后利用配方法结合二次函数的性质求出的取值范围，从而可求出函数的值域【详解】解：由，得，令，则，因为，所以，所以，即，所以函数的值域为，故答案为：【点睛】此题考查求复合函数的值域，利用了换元法，属于基础题14.已知，则的最小值是___________．【答案】16【解析】【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由题意得，解得，等号成立当且仅当，所以的最小值是16.故答案为：16.15.支原体肺炎是学龄前儿童及青年人常见的一种肺炎，全年均可发病，以冬季多见，主要通过飞沫传播，潜伏期较长，近期，某班级出现许多学生感染支原体肺炎的现象，为确保班级的正常教学，该班班主任统计了最近一周5天感染支原体肺炎的学生人数，已知这5天的人数互不相等，且5天数据的平均数为，若最后一天的数据不小心被墨水污染，前4天的数据的平均数为，若，则4天数据的第60百分位数___________（填“大于”，“小于”“等于”）这5天数据的第60百分位数．【答案】大于【解析】【分析】先求出污染数据的值，再结合百分位数的定义，即可求解.【详解】5天数据的平均数为，前4天的数据的平均数为且，则被污染的数据为，不妨设5天的数据关系为，其中，则5天数据的第60百分位数为，污染后的数据关系为，则4天数据的第60百分位数为，显然.故答案为：大于16.如图，指数函数与直线分别交于点A，B，C，若A，B，C的横坐标分别为，满足，则___________，___________．【答案】①.2②.4【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的定义，求出，根据得出的值，再结合题意求出的值.【详解】由题意知，所以，，，所以，因为，所以，即，又因为，均不为1且，，所以.故答案为：2；4四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.化简求值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）23【解析】【分析】（1）利用幂的运算法则求解即可；（2）利用对数的运算法则求解即可.【小问1详解】原式．【小问2详解】原式．18.在①；②“”是“”的必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．间题：已知集合．（1）当时，求；（2）若___________，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求得或，，结合集合的运算，即可求解；（2）由或和，若选择①②，转化为，列出不等式，即可求得的取值范围；若选择③：得到，结合集合的运算，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由不等式，解得或，可得或，当时，可得，则，所以．【小问2详解】解：由集合或和，若选择①：由，即，可得，解得，所以实数的取值范围为；若选择②：由“”是“”的必要条件，可得，可得，解得，所以实数的取值范围为；若选择③：由或，可得，要使得，则，解得，所以实数的取值范围为.19.已知函数，不等式的解集为．（1）求实数a，b的值；（2）函数满足条件：①是偶函数；②时，．已知函数有四个零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解集结合韦达定理求解参数即可.（2）将零点问题转化为函数图象与直线的交点问题，数形结合即得.【小问1详解】由已知，的解集为．则方程的两根为，所以，解得．【小问2详解】由（1），因为，且是偶函数，又因为，作出函数的图象，由图可知，．20.某新鲜蛋糕供应商推出了一款新品小蛋糕，每斤小蛋糕的成本为8元，售价为20元，未售出的小蛋糕，另外渠道半卖半送，每斤损失4元，根据历史资料，得到该小蛋糕的每日需求量的频率分布直方图，如图所示．（1）求出a的值，并根据频率分布直方图估计该小蛋糕的每日平均需求量的平均数；（2）若蛋糕供应商每天准备100斤这种小蛋糕，根据频率分布直方图，估计这种蛋糕每日利润不少于1000元的概率．【答案】（1），（2）0.55【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求出参数，再求平均数即可.（2）求出对应情况的每日需求量，再求概率即可.【小问1详解】由题意可得，解得，该小蛋糕的每日平均需求量的平均数为．【小问2详解】设每日销售这种小蛋糕x斤，所获利润为y元，则，当时，，这种蛋糕每日利润不少于1000元，即每日需求量不少于87.5斤，所以概率为，所以估计这种蛋糕每日利润不少于1000元的概率为0.55．21.如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）．（1）记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点；（2）记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）分别令或，一一列举，写出事件的所有样本点；（2）按古典概型的概率计算公式进行计算.【小问1详解】事件E的样本点有：．【小问2详解】样本空间为：，其中事件F包含的样本点只有：，所以事件F发生的概率．22.己知某产品市场供应量P满足关系式（其中t为关税的税率，x为市场价格（单位：千元），k，m为常数）．研究表明，当关税税率时，市场供应量曲线如图所示：（1）求k，m的值；（2）若市场对此产品的需求量Q满足关系式（其中t为关税的税率，x（单位：千元）为市场价格）．规定“供求比”为供给与需求的比例．根据市场调查，当产品的供求比在0.8到