2023-2024学年高二数学2019选择性试题8.3正态分布

8.3正态分布一、单选题1．如果正态总体的数据落在内的概率和落在内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是（

）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据正态概率密度函数的性质，结合函数图象的对称性，求得函数的对称轴，即可求解.【解析】由题意，随机变量服从正态分布，的取值落在区间内的概率和落在区间内的概率是相等的，根据正态密度函数的对称性，可得函数图像关于直线对称，所以随机变量的数学期望为1．故选：B.2．若随机变量，且，则等于（

）．A．0.1587 B．0.3413 C．0.6827 D．0.8413【答案】D【分析】利用正态分布密度曲线的对称性即可求解.【解析】由，可知该正态密度曲线的对称轴为直线，所以；故选：D.3．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（

）A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值【答案】A【分析】根据正态分布密度曲线的对称轴为，图像越瘦高数据越稳定可得.【解析】由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.故选：A4．设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由正态分布密度函数的概念即得.【解析】由正态分布密度函数表达式知，.故选：D.5．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（

）（参考数据：）A．16 B．10 C．8 D．2【答案】C【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.【解析】因为数学成绩，所以，因此由所以有，估计该班数学得分大于120分的学生人数为，故选：C6．某中学高三年级一次月考的语文考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，统计结果显示语文成绩优秀（大于或等于120分为优秀）的人数占总人数的.已知高三年级学生的总人数为1200，则此次语文考试成绩在90分到105分之间的人数约为（

）A．150 B．350 C．400· D．450【答案】D【分析】根据正态分布的对称性求出此次语文考试成绩在90分到105分之间的概率，再乘以总人数即可得解.【解析】依题意可得，则.因为，所以，故此次语文考试成绩在90分到105分之间的人数约为.故选：D7．已知三个随机变量的正态密度函数（，）的图象如图所示，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】直接根据图像的对称轴，以及图像的胖瘦进行判断即可.【解析】由题意知：正态曲线关于直线对称，且越大，对称轴越靠右，故，又越小，数据越集中，图像越瘦高，故.故选：D.8．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有（）A．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3 C．s1>s2>s3 D．s3>s2>s1【答案】D【分析】根据正态分布密度曲线的性质即可得出结果.【解析】解析：所给图是成绩分布图，平均分是75分，在题图1中，集中在75分附近的数据最多，题图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，题图2介于两者之间.由标准差的意义可得s3>s2>s1.故选：D9．王老师为了了解全班50位同学某次考试的成绩状况，随机抽查了10位同学该次考试的数学与物理成绩，列表如下：学生甲乙丙丁戊己庚辛壬癸平均值标准差数学成绩X/分8862物理成绩Y/分7563若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩的正态曲线，虚线表示全班物理成绩的正态曲线，则随机变量与的正态曲线可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据、的大小关系可得对称轴的位置关系，根据、可得图象的瘦高、矮胖，进而可得正确选项.【解析】因为，所以随机变量的正态曲线的对称轴在随机变量的正态曲线的对称轴的左边，排除B，C；因为，所以随机变量的总体分布更离散，正态曲线比随机变量的正态曲线“矮胖”，排除D，故选：A.10．下列是关于正态曲线性质的说法：①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.其中说法正确的是（

）A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤【答案】A【分析】根据正态密度曲线的特点和性质逐一判断①②③④⑤的正确性，即可得正确选项.【解析】正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故①正确；②不正确；只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故③不正确；正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故④正确；曲线的位置由对称轴确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故⑤正确；故①④⑤说法正确.故选：A.11．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】由正态分布解得每个零件合格的概率为，由对立事件得，即，令，由的单调性可解得结果.【解析】服从正态分布，且，，即每个零件合格的概率为合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．合格零件个数为零个或一个的概率为，由，得，令，，单调递减，又，，不等式的解集为的最小值为故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由对立事件得，即.12．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（

）A．756 B．748 C．782 D．764【答案】D【分析】根据已知条件得即求，由正态曲线的对称性可得答案.【解析】因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以，所以，即，即求，由，得，所以，那么成绩落在的人数大约为.故选：D.二、多选题13．下列说法正确的是（

）A．正态曲线中参数，的意义分别是样本的均值与方差B．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的C．正态曲线可以关于y轴对称D．若，则【答案】CD【分析】根据正态曲线的相关定义，逐个选项进行判断即可得到答案【解析】对于A，正态曲线中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计，故A错误；对于B，正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是1，故B错误；对于C，正态曲线关于直线对称，当时，正态曲线关于y轴对称，故C正确；对于D，根据正态曲线的图像性质，，故D正确.故选：CD14．若，则下列说法正确的有（

）A．B．C．不随的变化而变化D．随的变化而变化【答案】AC【分析】根据正态分布的性质对选项一一验证即可.【解析】对于A、B：根据正态分布的对称性可得出与，故A正确，B错误；对于C、D：根据正态分布的性质可得出与都不随的变化而变化，表示的概率为定值，故C正确，D错误；综上：选项A、C正确，故选：AC.15．某次测试,经统计发现测试成绩服从正态分布,函数的图象为其正态密度曲线,则(

)A．这次测试的平均成绩为90B．这次测试的成绩的方差为10C．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同D．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同【答案】AD【分析】根据题意得:,根据正态分布的性质逐项分析判断.【解析】由题意可得:,其中,即正态分布的对称轴为,所以A正确,C错误,D正确.因为,方差为,B错误,故选:.16．已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为，）均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（

）参考数据:若,则，A．B．对于任意的正数，有C．D．【答案】ABD【分析】根据正态分布密度曲线关于对称，且越小图像越靠轴，越小图像越瘦长，以及原则即可逐一分析四个选项得出结论.【解析】对于A,，故A选项正确;对于B,对于任意的正数,由图象知表示正态密度曲线与轴围成的面积始终大于表示正态密度曲线与轴围成的面积,所以;故B选项正确;对于C,由正态分布密度曲线,可知,由图象知表示的面积始终大于表示的面积,所以,故C选项错误;对于D,由正态分布密度曲线,可知,由图象知表示的面积始终大于表示的面积,所以,选项D正确.故选：ABD.三、填空题17．已知随机变量，，且，，则_________.【答案】【分析】由题意可得出，，由，可求出的值.【解析】因为随机变量，所以，，且，所以，所以，解得：.故答案为：18．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________．【答案】2.1【分析】由,利用正态分布的对称性求得,则,利用二项分布的方差公式可得结果.【解析】,且，，,,由题意可得,所以的方差为，故答案为:2.119．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为__________．【答案】5【分析】求出取出的零件为合格品的概率，再利用二项分布的概率公式列出不等式，借助单调性求解作答.【解析】因X服从正态分布，且，则，即每个零件合格的概率为，合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，合格零件件数为0或1的概率为，依题意，，即，令，则有，即单调递减，而，，因此不等式的解集为，所以n的最小值为5．故答案为：520．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）①；②；③；④.【答案】②④##④②【分析】随机变量服从正态分布，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.【解析】因为，所以①不正确；因为，所以②正确，③不正确；因为，所以，所以④正确.故答案为：②④.四、解答题21．已知随机变量，且正态分布密度函数在上是严格增函数，在上是严格减函数，．(1)求参数、的值；(2)求．（结果精确到0.01%）【答案】(1)，(2)【分析】(1)由题意可得正态曲线关于直线对称，又根据结合条件即可求解；(2)由可得出，再求出，由即可求出结果.【解析】（1）由题意得，正态曲线关于直线对称，即参数．又，结合，可知．（2）．因为，所以，可得．又因为，所以．所以．22．在某次数学考试中，考生的成绩X近似服从正态分布N（90，100）．(1)求考试成绩X位于区间（70，110）内的概率；(2)若这次考试共有20000名考生，估计考试成绩在（80，100）之间的考生人数．注：，，．【答案】(1)0.9545(2)大约有13654人【分析】（1）根据题意，结合，即可求解；（2）求得，进而求得考试成绩在之间的考生数．【解析】（1）解：因为），可得，所以，即考试成绩位于区间内的概率约为．（2）解：因为，所以，所以考试成绩在之间的考生大约有13654人．23．某地区名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布.(1)求；(2)试估计该地区名高三学生中，总分落在区间的人数.参考数据：，，.【答案】(1)(2)约为人【分析】（1）利用原则可求得的值；（2）利用原则计算出，乘以可得结果.【解析】（1）解：由已知，，则，，所以，.（2）解：，，所以，，，所以，该地区名高三学生中，总分落在区间的人数约为.24．某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，共1000名学生参加，答对题数（共60题）分布如下表所示：答对题数频数1018526540011525答对题数近似服从正态分布，为这1000人答对题数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．(1)估计答对题数在内的人数（精确到整数位）；(2)将频率视为概率，现从该中学随机抽取4名学生，记答对题数位于的人数为，求的分布列和数学期望．附：若，则，，．【答案】(1)954人(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）根据题意求出正态分布的均值，结合正态分布相关性质即可求解；（2）先求出从该中学随机抽取1名学生，答对题数位于的概率，再根据二项分布相关知识求解即可.【解析】（1）根据题意，可得，所以．又因为，，所以，所以人．故答对题数在内的人数约为954人．（2）从该中学随机抽取1名学生，答对题数位于的概率为.由条件可知，的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，．的分布列为01234则．25．为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：成绩（分）人数242240284(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分和方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本成绩平均分，近似为样本成缋方差，若，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”．附：若，则，，．【答案】(1)，(2)①2456；②能【分析】（1）利用公式直接求出均值、方差即可；（2）①结合给的概率和正态分布的性质，确定获得“参赛纪念证书”，进而计算可得人数；②利用正态分布的知识求出，即，进而可得结果.（1）100名居民本次竞赛成绩平均分，100名居民本次竞赛成绩方差，（2）①由于近似为样本成绩平均分，近似为样本成绩方差，所以，，可知，，由于竞赛成绩X近似地服从正态分布，因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的概率估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为2456；②当时，即时，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，所以竞赛成绩为96分的居民能获得“反诈先峰证书”．26．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．参考数值：，，．【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2)估计符合该项指标的学生人数约有23人，的期望值为【分析】（1）由题意得出X的所有可能取值及对应的概率，从而可得X的分布列及数学期望；（2）利用正态分布，结合二项分布得出符合该项指标的学生人数，结合二项分布即可求解数学期望．（1）易知学生甲参与的环节数量X的所有可能取值为1，2，3，4，；；；，所以X的分布列为X1234P所以．（2）因为服从正态分布，所以．设1000名学生中该项指标合格的学生人数为Z，则，所以，所以估计符合该项指标的学生人数约有23人，且每位同学通过选拔的概率，则通过学校选拔的人数，故．27．国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重（单位：千克）与身高（单位：米）的平方的比值．高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高．某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：档次低体重正常超重肥胖体重指数x（单位：）学生得分801008060某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布，并调整教学安排，增加学生体育锻炼时间.4月中旬，教育局聘请第三方机构抽查了该校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表：16.316.917.117.518.218.519.019.319.519.820.220.220.520.821.221.421.521.922.322.522.822.923.023.323.323.523.623.824.024.124.124.324.524.624.824.925.225.325.525.725.926.126.426.727.127.628.228.829.130.0请你从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学校采取措施的效果附：参考数据与公式若，则①；②；③【答案】调整后肥胖率减小，体重指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好．【分析】根据正态分布求出调整前重指数各档次的概率，求出得分，再统计调整后各档次人数，得各档次概率，计算平均得分后比较可得．【解析】增加学生体育锻炼时间后，调查的50人的体重指数频数分布表如下：档次低体重正常超重肥胖体重指数x（单位：）人数325175其中肥胖率为