高中数学《二项式定理》教案与分层同步练习

《6.3二项式定理》教案

（第一课时二项式定理）

课标要求素养要求

1.能用多项式运算法则和计数原理证明二通过学习二项式定理的有关内

项式定理.容，提升逻辑推理素养及数学运

2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.算素养.

【课前预习】

新知探究

A情境引入

牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发现，有一

次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项

式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，

痛的姑娘大叫，离他而去.

问题什么是二项式定理？

提示（a+b）n=C：a"+C：aib+…+心g-寸+…+CW即为二项式定理.

A知识梳理

二项式定理及其相关概念

注意二项式系数与系数的概念

公式（a+b）"=C：a"+C：aib+…+Ca'fbk+…+C：b”,称为二项式

二项式定理

定理

二项式系数d(k=O,1,…，n)

通项Tk+1=C^V

二项式定理

(1+x)r=Cn+CnX+C^X2++CpXk++C„Xn

的特例

拓展深化

［微判断］

1.(a+b)”的展开式中共有n项.(X)

提示(a+b)”的展开式中共有n+1项.

2.在公式中，交换a,b的顺序对各项没有影响.(X)

提示交换a,b的顺序各项都发生变化.

3.0@"-的是(a+b)”展开式中的第k项.(义)

提示(:射-甘是(a+b)”展开式中的第k+1项.

4.(a—b)”与(a+b)”的二项式展开式的二项式系数相同.(J)

［微训练］

/\5

l.(x一曰的展开式中含十项的二项式系数为()

A.-10B.10

C.-5D.5

解析［一口展开式的通项为Tk+产Cl］—?=(_,图5-2:令5—2k=3,

得k=l,.•.含Y项的二项式系数为C=5.

答案D

2・卜一I1/展开式中的常数项为()

A.80B.-80

C.40D.-40

解析3母展开式的通项为Tk+尸图/尸卜目=(―2)txf令io—5k

=0,得k=2,.•.常数项为(一2)七=40.

答案C

3.设S=(X—1)3+3(X-1)2+3(X-1)+1,则S等于.

解析S=［(x-l)+l］3=x3.

答案x3

［微思考］

1.二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？

提示二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数是指C：,

C：,…，C,它只与各项的项数有关，而与a,b的值无关，而项的系数是指该

项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a,b的值有

关.

2.二项式(a+b)"与(b+a)"展开式中第k+1项是否相同？

提示不同.(a+b)”展开式中第k+1项为CaLW而(b+a)”展开式中第k+

1项为C^bn-kak.

【课堂互动】

题型一二项式定理的正用、逆用

【例11(D求卜&+的展开式.

(2)化简:C°(x+l)n-Ci(x+l)--1+C^(x+l)n-2--+(-l)kC^(x+l)--k+-+

2

2

+C4(3^/X),十c；

=-7(1+3X)1=A*[1+C；•3x+C：(3x)，+C；(3x)，+C：(3x))]=—;(1+12x

xxx

112

+54X2+108X3+81X4)=-H■一+54+108x+81x2.

XX

(2)原式=C：(x+l)n+C：(x+l)nT(-1)+C"x+1)T(-1)2+…+C(x+l)Lk(一

l)k+-+C(-l)n=[(x+l)+(-l)]n=xn.

【迁移】(变条件，变设问)若(l+/)"=a+b/(a,b为有理数)，则a+b

42

解析,.,(1+V3)=1+C'1X(V3)'+dX(V3)+dX(击尸+C：义(V3),-l+

4^3+18+1273+9=28+16^3.，a=28,b=16,/.a+b=28+16=44.

答案44

规律方法(l)(a+b)”的二项展开式有n+1项，是和的形式，各项的幕指数规

律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降暴排列，从第一项起，次数由n

逐项减1直到0；字母b按升基排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.

(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式

的特点，向二项展开式的形式靠拢.

【训练1】化简：(2X+1)S—5(2X+1),+10(2X+1)3—10(2X+1)2+5(2X+1)

-1.

解原式=C，(2X+1)5—C；(2X+1)'+CK2X+1)3—D(2X+1)2+C；(2X+1)—CK2X

+1)°=[(2X+1)-1]5=(2X)5=32X5.

题型二二项展开式通项的应用

[例2](1)求二项式(2亚一()的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系

数；

/、9

(2)求(x—?的展开式中X，的系数.

解(1)由已知得二项展开式的通项为

Tk+尸图2巾尸•1一[=26-kC^(-l)k-x3~；,

39

AT(；=26-5C5.(-I”.X3-；X5=_]2X-；.

.•.第6项的二项式系数为森=6,

第6项的系数为-12.

(2)设展开式中的第k+1项为含义的项，则

丁卜+尸击1•(一曰=(-i)k«ci•

令9—2k=3,得k=3,

即展开式中第4项含x\

其系数为（一1）3・C=-84.

【迁移1】（变设问）本例问题⑴条件不变，问题改为“求第4项的二项式系

数和第4项的系数”.

3

解由通项Tk+i=（—l）JC”2Ak・x3-：,

知第4项的二项式系数为Ce=20,

第4项的系数为（一1”•CM23=-160.

【迁移2】（变设问）本例问题⑵条件不变，问题改为“求展开式中x5的系

数”，该如何求解？

解设展开式中第k+1项为含（的项，则

T_/1\k/-»k9—2k

Tk+1=（-1）•C9•x,

令9-2k=5,得k=2,

即展开式中的第3项含X，,且系数为（-1）2.C；=36.

规律方法（1）求二项展开式的特定项的常见题型

①求第k项，Tk=C、a'i+ibi；②求含小的项（或xV的项）；③求常数项；④

求有理项.

（2）求二项展开式的特定项的常用方法

①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）；

②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的

项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属

于整数，再根据数的整除性来求解；

③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，

求解方式与求有理项一致.

【训练2】已知二项式（3衽一亮.

（1）求展开式的第4项的二项式系数；

⑵求展开式的第4项的系数；

⑶求展开式的第4项.

解。心一日的展开式的通项是

，2(2、kio-3k

Tk+尸C0(3市严［一%|=C?o3lo-kl-d・x〉(k=O,1,2,10).

⑴展开式的第4项(k=3)的二项式系数为C；o=12O.

⑵展开式的第4项的系数为口3(—|丫=—77760.

(3)展开式的第4项为北=13+1=-7776M.

题型三与展开式中的特定项有关的问题

角度1求展开式中的特定项

【例3】《的展开式中，常数项是()

1515

令12—3k=0,解得k=4.

/、4

所以常数项为卜目仁岑.

答案D

角度2由二项展开式某项的系数求参数问题

/、10

【例4】若(六一公卜+，的展开式中大的系数为30,则a等于()

11

A.§B-2

C.1D.2

解析（x+野的展开式的通项是

Tk+l=Co・x"・('=僚・x吁”

/、1U

（x+?的展开式中含X,（当k=3时）、x'（当k=2时）项的系数分别为C；。.

/、1。/X10

因为（x2—a）（x+?的展开式中含火的项由X?与（x+力展开式中含x"的项的乘

积以及一a与1x+口展开式中含x，的项的乘积两部分构成，因此由题意得。一

aC^=120-45a=30,由此解得a=2.

答案D

规律方法求展开式中特定项的方法

求展开式中特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系

数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不

等式即可求解.有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数.

【训练3】（1）若（x一曰的展开式中Y的系数是一84,则@=.

（2）已知n为等差数列一4,一2,0,…的第六项，则的二项展开式的常

数项是.

（、k

解析（1）展开式的通项为Tk+i=CRi（—a）|：|

=C”（一a”x9T（o《W9,keN）.

当9—2k=3时，解得k=3,代入得x，的系数为C；（—a”=-84,解得a=l.

⑵由题意得n=6,.』+1=2匕沃1）

令6-2k=0得k=3,.•.常数项为2g=160.

答案（1）1（2）160

【素养达成】

一、素养落地

1.通过本节的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.

2.注意区分项的二项式系数与系数的概念.要牢记是展开式的第k+l

项，不要误认为是第k项.

3.求解特定项时必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定

值.

二、素养训练

1.1—2C：+4C：—8C：+…+(—2)C等于()

A.1B.-1

C.(-1)"D.3n

解析逆用二项式定理，将1看成公式中的a,-2看成公式中的b,可得原式

=(l-2)n=(-l)n.

答案C

2.若(1+裂尸=a+b小(a,b为有理数)，则a+b等于()

A.33B.29

C.23D.19

解析：(1+啦)'=1+4/+12+8镜+4=17+12，^=a+b啦，又•.”，b为

有理数，.，.a=17,b=12.，a+b=29.

答案B

3.在(1—XT—(1—x)'的展开式中，含x：,的项的系数是()

A.-5B.5

C.-10D.10

解析(1-X)、中父的系数一《=-10,—(1—x»中工的系数为一CM(—1”=

20,故(1—xF—(1—xT的展开式中x，的系数为10.

答案D

4.二项式(2x+?的展开式中，常数项是.

解析二项式（2x+J的第k+1项为Tk+产图2x）i•g）=C”产卜•xf令

6-3k=0,解得k=2,所以常数项是晨•2'=240.

答案240

/1\8

5.力的展开式中M的系数为（用数字作答）.

/、k

解析二项展开式的通项Tk+i=C（x2）'f]—?=（-l）kCH67k,令16—3k=7,

得k=3,故X?的系数为一《=—56.

答案一56

【课后作业】

基础达标

一、选择题

1.（x+2）”的展开式共有12项，则n等于（）

A.9B.10

C.11D.8

解析•••（a+b）”的展开式共有n+1项，而&+的展开式共有12项，...n=

11.

答案C

2.—为虚数单位）的二项展开式中第7项为（）

A.-210B.210

C.-120iD.-210i

解析由通项得T7=C：°・（-i”=-C：°=—210.

答案A

3.卜〃一I）展开式中的常数项为（）

A.60B.-60

C.250D.-250

解析［侦一3展开式的通项为，（市产［—：）=（-2）kCy-；.令3-1k=0,

得k=2..•.（、区—野展开式中的常数项为（-2）2•森=60.

答案A

4.（x+；|展开式中的第4项是（）

A.56x3B.84x3

C.56x*D.84x'

解析由通项公式有Ti=C；xfm=84x3.

答案B

5.（2x+#）4的展开式中父的系数是（）

A.6B.12

C.24D.48

解析（2x+市”展开式的通项为

Tk+i=C（2x）i（而）.=2"一工玩4一生.

k

令4—5=3,解得k=2,

故展开式中X，的系数是4・d=24.

答案C

二、填空题

6.若（x+ay°的展开式中父的系数为15,则@=.

解析二项展开式的通项为Tk+i=C3i£,当析一k=7时,k=3,T4=C?O

a：ix7,则（3痴=15,故a=^.

小生1

答案2

7.若（ax+；|（2x+；|展开式中的常数项为-40,则a=.

解析（2x+?展开式的第k+1项为

/、k

5-k5-k52k

Tk+1=C5（2x）«M=c^2x-.

因为（ax+'（2x+m的展开式中的常数项为-40,所以axa22x-+^C?23x=-

40,

所以40a+80=-40,解得a=-3.

答案一3

/八6

8.1x—4+皆（x>0）的展开式中的常数项为.

解析（x—4+3（x>0）可化为泉，因而Tk+i=C：2•（再）•（一j

=（-2）U-x6-k.

6

令6—k=0,得k=6,故展开式中的常数项为（一2）・喘=59136.

答案59136

三、解答题

9.若二项式。一书（a>0）的展开式中X，的系数为A,常数项为B,且8=

4A,求a的值.

解•..Tk+i=C]-1—君=（―a）yx'十，

3k

令6-5=3,则k=2,得A=C”a°=15a2；

令6—万=0,则k=4,得B=C"a'=15a".

由B=4A可得£=4,又a>0,

所以a=2.

10.已知(、&+%)"(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项

式系数成等差数列.

(1)求n的值；

(2)写出它展开式中的所有有理项.

O

解(1)(市+市)”(其中n〈15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项

式系数分别是0C,1.0.

侬逖思得8!(n—8)!+10!(n—10)!'9!(n—9)!'

化简得90+(n-9)(n—8)=20(n—8),

即n-37n+322=0,

解得n=14或n=23,

因为n<15,所以n=14.

14—kk42—k

⑵展开式的通项Tk+1=C^x­•x；=C1•x丁，

展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，又0WkW14,

所以展开式中的有理项共3项，分别是：

k=0,TI=C，X7=X,；

66

k=6,T7=CU=3003X；

k=12,TI3=CHX3=91X5.

能力提升

11.若(x+l)"=x"H-Fax,+bx'+nx+l(nGN*),且a：b=3：l,那么n=

解析a=C「3,b=Cr2.Va：b=3：1,

.cr3Cn3n(n—1)(n—2)X2

,•cT_C^_r即6n(n-1)一九

解得n=ll.

答案11

fl1Y

12.已知在［5x2—的展开式中，第9项为常数项，求：

（Dn的值;

⑵展开式中（的系数；

⑶含x的整数次嘉的项的个数.

解已知二项展开式的通项为Tk+尸《聂）•卜太）=（—Dk（3服"。

⑴因为第9项为常数项，即当k=8时，2n一报=0,

解得n=10.

52

（2）令2X10—点=5,得k=E（20—5）=6.

25

/、4

所以《的系数为（-1）‘nC：产詈.

540—5k

⑶要使2n—/,即一y—为整数，只需k为偶数，由于k=0,1,2,3,…,

9,10,故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.

创新猜想

13.（多选题）对于二项式d+xXnWN"）,以下判断正确的是（）

X

A.存在ndN*,使展开式中有常数项

B.对任意n《N*,展开式中没有常数项

C.对任意n《N*,展开式中没有x的一次项

D.存在nGN*,使展开式中有x的一次项

解析二项式g+xj的展开式的通项为Tk+i=Cx'*f,可知，当n=4k（kdN*）和

门=妹一l（k£N*）时，展开式中分别存在常数项和x的一次项.

答案AD

1

（_LV

14.（多空题）在二项式沟二的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则

n=,此时二项式展开式中有理项的项数为.

,、2

解析二项展开式的前三项的系数分别为1,c>j,由其成等差数

,、2

列，可得2C：•，=1+4•自,即n=l+n11—,所以n=8（n=l舍

Z"）o

/、k

（\\3k3k

去）.所以展开式的通项Tk+尸qjx"：若为有理项，则有4一7ez,又

0WkW8,kGN,所以k可取0,4,8,所以展开式中有理项的项数为3.

答案83

《6.3二项式定理》教案

（第二课时二项式系数的性质）

课标要求素养要求

1.会用二项式定理解决与二项展开式有

通过本节课的学习，进一步提升逻

关的简单问题.

辑推理及数学运算素养.

2.理解二项式系数的性质并灵活运用.

【课前预习】

新知探究

A情境引入

同学们根据二项式定理写出（a+b）"（n=l,2,3,4,5,6）的二项式系数.可

以写成如下形式：

(a+b)'......................................11

(a+b)2..................................121

(a+b)3..............................1331

(a+6),.......................14641

(a+6)5...................151()1()51

(a+b)b...............1615201561

这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现

了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，

这个表称为“杨辉三角”.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现

的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成

就.

问题你能利用上述规律写出下一行的数值吗？

提示根据规律下一行的数值分别是：172135352171.

A知识梳理

二项式系数的性质

在求二项式系数的最大值时，要注意讨论n的奇偶性.

在(a+b)”的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系

对称性

数相等，即仁=或口

增减性：当时，《随k的增大而增大；由对称性可知，

当k>n*l时，C随k的增大而减小.

增减性与

最大值

最大值：当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数

时，中间两项',°相等，且同时取得最大值

①二=c：+c：+c+“+c:

各二项式②C：+C：+C：+…=C：+C：+C：+-=221

系数的和即在(a+b)”的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项

的二项式系数的和

拓展深化

［微判断］

1.二项展开式中系数最大项是中间一项（共奇数项）或中间两项（共偶数

项）.（X）

提示二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中

间一项（共奇数项）或中间两项（共偶数项），但是项的系数的最大值与项其他数

字因数的大小有关.

2.二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.（X）

提示在二项式（a+b）11中只有当a,b的系数都为1时，展开式的偶数项系数

和才等于奇数项系数和.

3.二项展开式项的系数是先增后减的.（义）

提示二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开式项的系数和a,b的系

数有关.

［微训练］

1.卜瓜+：］的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是（）

A.第8项B.第9项

C.第8项和第9项D.第11项和第12项

解析二项式展开式的通项为了一=C：•（/）",•

（Z=•，令左=7,则十〃一£■=（）,解得〃h

21—3A

21,通项可化简为•］干.由于〃=21,故展开式中一

共有22项，又展开式中各项的二项式系数与项的系数相

同,故系数最大的项为4=10,11两项，即展开式的第11

项和第12项.

答案D

2.在（x+y）”的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大

的项是（）

A.第6项B.第5项

C.第5,6项D.第6,7项

解析由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等,

...C：=C：,由组合数的性质，得n=10.

二展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.

答案A

3.若(2—x)'°=ao+aix+a2x2H-----Fa10x'°,则a«=.

解析由题意可知嬴是X*的系数，所以%=C：°・22=180.

答案180

［微思考］

怎样求二项式系数和？

提示利用赋值法，在(a+b)11的展开式中，令a=b=l,可得C：+C：+…+C

=2".

【课堂互动】

题型一二项式定理的应用

【例1】⑴试求1995'°除以8的余数；

(2)求证:32n+2—8n—9(n£N*)能被64整除.

⑴解1995〃=(8X249+3)叱

•••其展开式中除末项为3曾外，其余的各项均含有8这个因数，

/.I995'°除以8的余数与3'°除以8的余数相同.

又•••3K)=95=(8+1)5,其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因

数，

.••3'°除以8的余数为1,即1995Kl除以8的余数也为1.

⑵证明32n+2-8n-9

=(8+1产一8n—9

+1

=d+I8"+Ci+18"+-+C^；-8n-9

=(：38田+《+8+…+C%a+(n+l)X8+l-8n-9

—+C：+8+…+C%82①.

①式中的每一项都含有G这个因数，故原式能被64整除.

规律方法利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成

两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.

【训练1】已知nGN*,求证：1+2+2?+…+2”|能被31整除.

1—25"

证明l+2+22+2'H---F26n-1=~~~-=25n-l=32n-l=(31+l)n-l=31n+C；

1—乙

n-l1n11n-2-1

X31+-+CrX31+l-l=31X(31-+Cr,X31H---FC：).

显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.

题型二二项展开式的系数的和问题

【例2】已知(2x—I)°=aox'+aix"+a2x3+a3x°+a,ix+a5，求ao+ai+a2+a3+a4

+a5.

解令x=l,得：

(2X1-1)=ao+ai+a2+a3+ai+a5>

••a<)+a1+22+23+34+a$=1.

【迁移1】(变换所求)例2条件不变,^|a0H-|ai|-|-|a2|+|a3|+|a4|+

Ias|.

解...(Zx—1”的展开式中偶数项的系数为负值，

--

/.Ia01+Iai|+|a21+Ia31+|a||+|a51=a0ai+a2a3+a,|—a5.

令x=-1,得：

5

[2X(—1)—1]=—a<)+ai—a2+a3—at+a5»

a

即a0—ai+aa-a3+a4-a$=—(-3)=3\

:,

/.Ia01+Ia,I+Ia21+Ia31+Ia，iI+Ia51=3=243.

【迁移2】(变换所求)例2条件不变，求a+as+as的值.

解由上题得

Ja()+aj+a2+a?+a[+a$=1,

=

[a。3|+Q.2&3a,a$243,

两式相减得ai+a34-a5=1x(1—243)=—121.

规律方法(1)赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法，注意取值

要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时

要避免漏项.(2)一般地，对于多项式f(x)=ao+aix+a2x2+…+a“x”,各项系

数和为f(i),奇次项系数和为;[f(i)—f(—D],偶次项系数和为:[f(D+

a°=f(O).

878

【训练2】已知(1—3x)=a0+aix4---l-a7x4-a8x.求：

(l)a0+aH---|-a8；

(2)ao+a2+a4+afi+a8；

⑶Ia<)|+|a11+|a2H---FIa81.

解(1)令x=l,得比+&H---ba8=(—2)8=256.①

--:=:h

(2)令x=-1,得％—ai+a2-a3+a.ias+ae-a7+a84.②

SK

①+②，得2(ao+a2+a4+a6+a8)=21+4,

「・3<)+&+@1+@6+@8=万乂(2'+4')=32896.

⑶由于(1-3x)"=C；+C；义(—3x)+C；义(—3x)'+…+C；X(—3x)8=a<)+aix+

J8

a2xH---Fa8x,

故8.09&，a”％，a8>0,a：“E,a7V0,

|a01+|ai|+|a21+…+|aj=&—ai+a2—④+…+a8=4®=65536.

题型三二项式系数性质的应用

3

[例3]已知f(x)=(W+3x2”展开式中各项的系数和比各项的二项式系数

和大992.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

⑵求展开式中系数最大的项.

解令x=l,则展开式中各项系数的和为f(D=(l+3)"=4",又展开式中各项

的二项式系数之和为2”.由题意知，4n-2n=992.

(2)2—2n—992=0,

...⑵+31)⑵-32)=0,

.•.2"=—31(舍去)或2n=32,

••n—5.

(1)由于n=5为奇数，.•.展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分

别为T3=C[X)・(3X2)2=90X6,T.=C^.(3X2)3=270X；.

2

(2)展开式的通项为Tk+i=C•3k-x；(5+2k)

d冷d

假设Tk+i项系数最大，则有

C53k^C5+l3k+,,

’5!________=_________

(5-k)!k!*3>/(6—k)!(k—1)!'

•，-5!'51

-------------->----------------------XQ

、(5-k)!k!?(4-k)!(k+1)!

匹，

k6—k

即《

l5-k^k+r

7,,9

••.gWkW].•；k£N,Ak=4,

226

•••展开式中系数最大的项为T.5=C；x；(3x2),=405x-

规律方法(1)二项式系数的最大项的求法

求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)''中的n进行讨论.

①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.

②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.

(2)展开式中系数的最大项的求法

求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数

的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)"(a,b£R)的展开式中系数的最大

项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A。，A,,A2,…，A,„且

Ak2Ak-i,

第k+1项最大，应用解出k,即得出系数的最大项.

【训练3】求出(x—y)”的展开式中：

(1)二项式系数最大的项；

(2)项的系数绝对值最大的项；

⑶项的系数最大的项和系数最小的项；

(4)二项式系数的和；

⑸各项系数的和.

解(1)二项式系数最大的项为中间两项：

6556

T6=-C；,xy,T7=Ct,xy.

⑵(x—y)”展开式的通项为

kkk,1k

Tk+1=C,x"-(-y)=C!1(-l)x>,

...项的系数的绝对值为|仁・(―1尸|=点,

...项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6=

八565丁_z>656

—CnXy,T7—C,|Xy.

⑶由⑵知中间两项系数绝对值相等，

又•••第6项系数为负，第7项系数为正，

5665

故项的系数最大的项为T7=CtlXy,项的系数最小的项为T6=-CLxy.

(4)展开式中,二项式系数的和为图+Ch+C%+…+C：；=2".

(5)令x=y=l,得展开式中各项系数的和为C1—C\+《-----C：：=(l-1)"=

0.

【素养达成】

一、素养落地

1.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理素养、数学运算素养.

2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的

选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0,1或

-1,但在解决具体问题时要灵活掌握.

3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数.

⑵求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k£{0,1,2,…，n}.

二、素养训练

1.(l+x)ze的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()

A.n,n+1B.n-1,n

C.n+1,n+2D.n+2,n+3

解析2n+l为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第

产尸+小页,第(现+项，即第(n+1)项与第(n+2)项.故选C.

答案c

2.设(x'+l)(2x+l)9=a()+ai(x+2)+a2(x+2T+…+a”(x+2)”,则a<)+ai+

a2H-----Fa”的值为()

A.—2B.—1

C.1D.2

解析令x=—1,则原式化为

[(-1)2+1][2X(-1)+1]9

2

=ao+a](2—1)+a2(2—1)H-----Fan(2—1)",

*'.a<)+ai+a2+,,,+aii=-2.

答案A

3.在(l+x)+(l+x)z+…+(l+x)，的展开式中，x?的系数为.

解析(i+x)+d+x)2+-+(i+x)6的展开式中Y的系数为c^+d+cHcH

《=35.

答案35

Si+a?+a$

4.设(3x—2)6—ao+ai(2x—1)+a(2x-1)?+…+a«(2x—1)则

2ao+az+a+ae

解析令x=l,得a<)+ai+a2H-----Fa«=l,令x=0,得a<)—ai+a2H------Pa6=

64,两式相减，得2(ai+as+as)=-63,两式相加，得2(ao+az+a[+ae)=

住JLJai+a：；+a563

65,6/II|———z>r-.

电十3,2।a,[।3g65

公—63

答案一左

65

5.已知(2x—l)n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小3、求C：+

C：+C：H----FC：的值.

解设(2x—I)"=a°+aix+a2x2+…+a,、x”,且奇次项的系数和为A,偶次项的系

数和为B.

则A=ai+a3+a$+…，B=ao+a2+a.f+afi+

由已知可知：B-A=3'.令x=-l,

得：比一ai+a2-a§+…+a„(—1)"=(13)",

即：(ao+a2+ai+ae+…)—(a,+a3+a5+a7+••,)

=(-3)".

即：B-A=(-3)n.

二(一3)"=38=(—3)>An=8.

由二项式系数性质可得：

C：+C：+C：H----FC"=2"-C^=28-1=255.

【课后作业】

基础达标

一、选择题

1.若（nWN*）的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项

为（）

A.210B.252

C.462D.10

解析由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所

以展开式项数为11,从而n=10,所以展开式的通项为丁卜+1=。--，令30—5k

=0,得k=6,于是得其常数项为C：0=210.

答案A

a[n

2.已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32,常数项为

80,则a的值为（）

A.1B.±1

C.2D.±2

/a\

——15-5k

解析由条件知2"=32,即n=5,在通项Tk+i=C(4尸-卜=(;射乂二中,

令15—5k=0,得k=3.所以常数项为乙£=80,解得a=2.

答案C

3.(x—l)”的展开式中，x的奇次愚项的系数之和是()

A.2048B.-1023

C.-1024D.1024

1I,9

解析(X—1)=aox"+aix"4-a2xH---Fa”，

,,,

令x=-1,则一a()+ai-a2++a1i=-2",①

令x=l,则ao+ai+azH---Fa,i=O,②

°2\"=ao+a2+a,i+…+aio=2'°=1024,即为所求系数之和.

答案D

4.若x'°=a<)+ai(x—1)+a2(x—1)2+…+aio(x—1)‘°，则郎的值为()

A.10B.45C.-9D.—45

l0=:101',

解析x[1+(x—1)]=ao+ai(x—1)+a2(x—1)---Fai0(x—1),a8=

Cio-Cio-45.

答案B

(iY

5.设的展开式的各项系数和为M,二项式系数和为N,若M—N=

240,则展开式中x的系数为()

A.-150B.150

C.300D.-300

解析由已知条件4n—2"=240,解得n=4,所以展开式的通项为Tk+i=C：(5x”

-k^-^=(-i)k5'-kcy-^

3k

令4—万=1,得k=2,

所以展开式中x的系数为(-1)2X52d=150.

答案B

二、填空题

10

6.已知(1+x)'『ai+azx+asxU---Faux,若数列a”a2,a3,•••,

ak(lWkWll,kGZ)是一个单调递增数列，则k的最大值是.

解析（1+xT展开式的各项系数为其二项式系数，当n=10时，展开式的中间

项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.

答案6

的展开式中，所有奇数项系数之和为1024,则中间项系

数是—

解析展开式的各项系数为其二项式系数.•.•二项式的展开式中

所有项的二项式系数和为2。，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二

项式系数和相等，故由题意得相T=1024,.•川=□,...展开式共12项，中间

项为第六项、第七项，其系数为0=。=462.

答案462

8.若x"(x+3)8=a<)+ai(x+2)+az(x+2)2+…+ai2(x+2)",Ijjl]log2(ai+as

H---Han)=.

解析令x=-1,得2"=a()+ai+a2H---/au+a^.

x―3,彳导0=—a1+3.2•一a”+a12，

8

2=2(ai+a3H---Fan),；.ai+a3+…+a”=2',

log2(ai+a3H---Fan)=log22'=7.

答案7

三、解答题

9.设(2—，5x)""=a()+aix+a2xU---Faioox100,求下列各式的值.

⑴求ao；

>,

(2)ai+a2+a3+a1+*+aioo；

(3)ai+a?+a5+…+&9；

22

(4)(ao+a2H---1-3100)—(a,+a3H---ba9g)；

(5)|a<)|+|ai|H---FIaiool.

解⑴令x=0,则曲=2吗

⑵令x=l,

i0

可得ao+ai+a?-!---Fa1(lo=(2-^/5)",①

,

所以ai+a2+**+aIOo—(2一m)呐―2吗

⑶令x=-1,

--100

可得a()—ai+a2a3+-,+a1oo—(2+^3).②

与①式联立相减得

(2-A/3)100-(2+福)100

ai+aH---ra=.

3999乙

2*

(4)由①②可得，(a(>+a2+…+aio«尸一(ai4-a3+***+a99)=(a0+ai+a24-**+

100100

awo)(a0—ai+a2----Fawo)=(2—,^3),(2+:)=l.

(5)|ao|+|ai|+-+|alw|,即(2+/x)汹的展开式中各项系数的和,在(2+

4x)10°的展开式中，令x=l,可得各项系数的和为(2+第)必，即|a°|+|a』

H---F)awl=(2+^/5)ltiu.

10.已知(x+野展开式的二项式系数之和为256.

⑴求n；

(2)若展开式中常数项为言，求m的值；

(3)若(x+m)”展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况.

解(1)二项式系数之和为2n=256,可得n=8.

(2)设常数项为第k+1项，则

兀+尸爆噌=漪产,

351

故8—2k=0,即k=4,则C；m'=N~,解得m=±彳.

oN

⑶易知m>0,设第k+1项系数最大.

/-»kk1_k_1

C8m3c8m,9m

则「kk1k+1,化简可求得

5nl少5m，m+1,

由于只有第6项和第7项系数最大,

8m—1[5/

4<<5,7<m^2,

m+14

所以即《

I-9m,7

6或帝<7,2<m<-

所以m只能等于2.

能力提升

/、n

11.若(x+?展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为()

A.10B.20

C.30D.120

.、k

解析由2"=64,得n=6,...展开式的通项丁卜+产质^^电二爆-

2"(0WkW6,keN).由6—2k=0,得k=3..•.「=《=20.

答案B

12.在(2x—3y)'°的展开式中，求：

(1)各项的二项式系数的和；

(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；

(3)各项系数之和；

(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和.

解在(2x—3丫尸的展开式中：

⑴各项的二项式系数的和为C；°+C；°+…+d=2'°=1024.

⑵奇数项的二项式系数的和为…+C；；=2'=512.

偶数项的二项式系数的和为6。+%+…+戊=29=512.

Hl

(3)设(2x—3y)">=aox'°+a