直线与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1直线与圆的位置关系一、课前回顾1、圆的标准方程和一般方程，会由方程求出圆心和半径；已知圆x2+y2-4x+2y-4=0,则圆心坐标和半径分别是(

)A.(2,-1),3 B.(-2,1),3C.(-2,-1),3 D.(2,-1),9解析:圆的方程x2+y2-4x+2y-4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=9.故其圆心坐标为(2,-1),半径为3.答案:A2、会用待定系数法求圆的方程.已知圆过A(2,2),C(3,-1)两点,且圆关于直线y=x对称,求圆的一般方程.解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.大海上初升的红日,在冉冉升起的过程中,展现出迷人的风采,同时也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.我们知道，直线与圆有三种位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点．思考在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何利用直线和圆方程判断它们之间的位置关系？三、问题与例题问题1：直线与圆的位置关系有几种？问题2：给定直线与圆的方程怎么判断直线与圆的位置关系？代数法:几何法:n=0n=1n=2直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交△<0△=0△>0利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：d>

rd=

rd<

r直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交直线l：Ax+By+C=0圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)分析：思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长．圆的弦长公式:OCBAryxd图2.5-1我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系若相交，则可利用勾股定理求得弦长．思考与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？例1中两种解法的差异是什么？【变式1】

已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点.分析:直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交;直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切;直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离.解法一:将直线方程y=mx-m-1代入圆的方程,化简整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,则Δ=4m(3m+4).解法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心C(2,1),半径r=2.反思感悟

直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是圆心到直线的距离与半径的大小关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.OPyx图2.5-2OPyx图2.5-2【变式2】

(1)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b=(

)A.-2或12 B.2或-12C.-2或-12 D.2或12(2)过点P(2,1)引圆x2+(y-2)2=1的切线,则切线长为

.

解析:(1)易知圆心坐标为(1,1),半径r=1,∵直线与圆相切,答案:(1)D

(2)2例3.已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线a过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且|AB|=2,求直线a的方程.错解:设直线a的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解忽略了直线a的斜率不存在的情况.正解:①当直线a的斜率存在时,设直线a的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.如错解中的图所示,作MC⊥AB交AB于点C,所以,直线a的方程为3x-4y+6=0.【变式3】

已知圆C的方程为x2+y2=4.(1)求过点P(1,2),且与圆C相切的直线的方程;(2)若直线l过点P(1,2),与圆C交于A,B两点,且|AB|=2,求直线l的方程.解:(1)画出圆C与点P的大致图象(图略)知切线的斜率存在,设切线方程为y-2=k(x-1).故所求的切线方程为y=2或4x+3y-10=0.(2)当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,故直线l的方程为3x-4y+5=0.综上所述,直线l的方程为3x-4y+5=0或x=1.【例4】

已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.分析:本题可将

和y-x转化成与直线斜率、截距有关的问题,x2+y2可看成是点(x,y)与点(0,0)间的距离的平方,然后结合图形求解.解:方程x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3,(2)设y-x=b,则y=x+b表示经过圆上一点(x,y),斜率为1,在y轴上的截距为b的直线.当直线与圆相切时,b取得最大、最小值.(3)x2+y2表示圆上一点与原点的距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心的连线与圆的两个交点处,圆上的点与原点的距离取得最大值和最小值.以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?防范措施

有关直线与圆的位置关系问题,要看清运动中的不变量,例如本例中直线的平行关系,并注意方程中变量的取值范围.1.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是(

)A.相交

B.相切C.相交且过圆心 D.相离解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=4.答案:D四、目标检测答案:C3.直线x-y-5=0截圆x2+y2-4x+4y+6=0所得的弦长等于

.

故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.答案:(x-2)2+(y+1)2=44.圆心坐标为(2,-1)的圆被直线x-y-1=0截得的弦长为2,则此圆的标准方程为

.

5.a为何值时,直线2x-y+1=0与圆x2+y2=a2(a>0)相离、相切、相交?解:由圆的方程x2+y2=a2(a>0),知圆心为O(0,0),圆的半径r=a,五、小结直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系直线l截圆C的弦长公式:九、配餐作业A组题3.4.直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系是(

)A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定解析:直线y=kx+1过点(0,1),因为该点在圆x2+y2=4内,所以直线与圆相交.答案:C解析:直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0恒过定点(-1,-1).∵