新教材苏教版必修第二册9 . 2.3向量的数量积作业

2021-2022学年新教材苏教版必修第二册9.2.3向量的数量

积作业

一、选择题

1、

已知\a\=^3,\b\=^-,a-b=j则向量a与分的夹角为

A.60B.30C.120D.150

2、如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点。，E为AO的中点，若DE=MB+pAD(入、

2?

H为实数)，则入+口=()

515

A.8B.4c.1D.16

3

AB=1,AC=5,sinA=—

3、在中，若5,则AB-AC=（）

A.3B.±3C.4D.±4

4、已知"O'-2T）,方=（3,根，一1）,若打匕，则加等于（）

A.1B.2C.6D.3

5、如图，AB=1，AC=3,/A=90°,C£>=2£>',贝ijA£hAB=（

42]_

A.3B.1C.3D.3

6、对于非零向量"、"，定义运算"#"：加其中。为加、〃

的夹角，有两两不共线的三个向量。、〃、。，下列结论：①若a#b=a#c,则人=，；

②a#b=b#a.③若a#b=O,则allb.④（a+b）#c=a#c+b#c；

⑤:其中正确的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

7、如图，点P在.A6C的内部，D,E是边AB,AC的中点（。，P,E三点、

UUU1UI4U

不共线），PE=2PD=2,BC.PD=-4,则向量PO与PE的夹角大小为（）

A

8、己知。为“C所在平面内—点，若（3+。孙回=W+"）及=。，

AB=6tAC=4,则AOBC=（）

A.-5B.-10C.10D.5

9、9知向量:'=（】』）,』（2,4）,则（力”=（）

A.-14B.-4C.4D.14

10、已知非零向量满足M2H,且（a-b）_L%,则。与方的夹角为

兀兀2兀5兀

A.6B.3C.3D.6

11、如图，直角三角形二A5c中，ZABC=90°,AB=3,5C=4jM点是线段AC

一动点，若以"为圆心半径为逐的圆与线段AC交于RQ两点，则BP.BQ的最

小值为（）

]2w2.12

A.15B.25c.13D.15

12、对于任意两个向量4和b,下列命题正确的是（）

A.若&,。满足问〉M,且。与B同向，则B.h-Z，|-H+H

C.卜力卜诽|]）,卜一〃卜同一问

二,填空题

13、AABC的外接圆的圆心为0,AB=2,AC=^,BC=3,则A。？BC的值为____.

14、已知平行四边形ABCD中，AD=2,NBAD=120。，点E是CD中点，AE-BD=1,则

BD-BE=.

15、已知向量AB,AC,AO满足AC=AB+A。，M=2,网=1,£/

DEBF=-—

分别是线段BC,的中点，若4,则向量A3与向量AO的夹角为

16、已知AABC外接圆的圆心为°,M为边BC的中点，若羽=3,AC=5,则

AO-AM=

三、解答题

r।=4r।=2”“o

17、（本小题满分10分）如图，在AABO中，0A,OB，且0A与0B的夹角为60,

-=3一

BPPA.

⑴求。PAB的值；

TT->->T

==x•+y•

(2)若OQQA,PQOAOB,求x,y的值.

18、(本小题满分12分)在正AABC中，AB=2,BP=tBC(teR).

(1)试用A8,AC表示AP：

(2)当PA?尸。取得最小值时，求t的值.

a=(cos0,sin0),b=(5/2-sin0,cos0

19、(本小题满分12分)已知向量')'

11

(1)若"b,求角0的集合；

cos(^-—)

求4的值.

参考答案

1、答案A

解析由卜.。|=问步卜0$6=6*半856=1,得cos6=g,

又。€[()°,180°],，向量。与方的夹角6=60°.

本题选择A选项.

2、答案A

少1161今36

DE=-DA+-DO-AB--AD

解析由向量的线性运算得22=44.即可.

详解

少11111今

DE=-DA+-DO-DA+-DB-DA+-(DA+DC)

22=24=24

1■>36

-AB--AD

=44.

135

入=；日=1,22-

/.44,入+pi=8

故选A.

点睛

本题考查了平面向量的线性运算，转化思想，数形结合思想，属于基础题.

3、答案D

.3人，4

sinA4=-cosA=±-4k।x।।x।用.

解析在JABC因为5,所以5,所以xWn=|A8|-|AC|cosA=±4

4、答案B

解析

Q_L〃，,\a-h=0f

即lx3+(—2)m+(—l)x(_l)=0,解得：m=2.

故选：B

5、答案C

AD=AB+BD=AB+-BC^AH+-(AC-AB)=-AB+-AC

详解：由3333,

(21、221

ADAB=-AB+-AC\-AB=-AB+-ACAB

所以133J33

2191?

=—x『+-|AC||A81cos90o=±+±x3x0=W

33333.

故选：C

6、答案B

详解：由向量“、c,两两不共线可得①、③错误；

对于②，1祐T斗麻布,内产心用麻皿府），所以

故②正确；

对于④，若。、8、C均为单位向量且两两夹角均为12°,如图，

易俎(a+")〃ca+b=1

易得'7,,

所以(a+/?)#c=,+〃Jdsinl80=0

^#c+/?#c=|^|-|c|sin120+|z?|-|c|sinl20=>/3

所以(a+b)#cs#c+b#c,故④错误；

对于⑤，■舫=|斗忖皿斯)，上@#叼-4件抽卜一«，硝明外山

故⑤正确.

故选:B.

7、答案B

详解：连接。£,如下图所示.

D匕=—

因为o,E是边AB,4。的中点，所以DE//BC,且2,所以3c=2DE,

UUDuimuunuim/iiuruimxuun

BCPD=2DEPD=2(PE-PD]PD

所以'>

uuriiunuun2uuruunULUI2

=2PEPD+2PD=2PEPDcosZDPE-2PD=4

cosNDPE-2--A解得

8S〃PE=4,又因为㈤,

所以NOPE=120°.则向量P。与PE的夹角大小为120°,

故选：B.

点睛

本题考查向量的线性运算，数量积.

8、答案B

详解：由已知得，(QA+O5A(O8—OA)=(O8+OC)-(OC—。8)=0

22

»OB'-(9A=OC-OB=0«\OA\=\OB\=\oc\人心「

IIIIIL则。为，MC的外心.

设OE±AC,垂足分别为。，E.

根据两个向量数量积的几何意义，可知^OBC^AO(AC-AB)

=AO-AC-AO-AB=\AE\-\AC\-\AD\-\AB\=2X4-3X6=-\0

故选:B.

点睛

本题的关键点是确定三角形的外心，总结三角形的外心，内心、重心、垂心如下：

三角形的外心为三边垂直平分线的交点；

三角形的内心为三条角平分线的交点；

三角形的重心为三条中线的交点；

三角形的垂心为三条高线的交点.

9、答案B

.\a-b\-a

解析由条件算出进而由公式算出I>.

详解

Q«=(1,1)b=(2,4)a—=1,—3)

=(-l)xl+(-3)xl=-4

故选：B

10、答案B

解析

分析

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、

数学计算等数学素养.先由(a-。),”得出向量的数量积与其模的关系，再利用向

量夹角公式即可计算出向量夹角.

详解因为9—")",所以加2=〃2-匕=o,所以a为=万，所以

ab|M21

cos。」III，所以“与〃的夹角为3,故选B.

11、答案B

详解：因为MP=—"Q,

所以=—=\BM|2-\MP\2

即8P-8Q=|BM|2-5,

只需要求忸"I的最小值即可，

当时，忸M最小，此时忸叫-

,...■———IZ-LZ-L19

(BPBQ)min=--5

所以25

故选：B

12、答案B

详解：A.向量不能比较大小，所以A不正确;

B.根据向量减法运算公式可知，当向量々与匕不共线时，两边之和大于第三边，即

卜一索问+性当d与b反向时，等号成立，不B正确；

L*/?!=L||/?||cos0\<\a\\b\"丁丁.

C.।।1HHIII",故C不正确；

〃与匕不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即卜一">同一W,

故D不正确.

故选：B

3

13、答案彳

2

详解：取BC的中点D,连接AD,0D,贝I」ODJ_BC,

AD=

2（AB+AC）,BC^AC-ABt

AOBC={AD+DO）-BC=AD•BC+DO•BC=AD-BC

=1(AB+AC)•(AC-AB)=AC2-=；[(")?-22]=|

2

故答案为：2.

点睛

本题考查了向量三角形与平行四边形法则、数量积运算性质、三角形外心性质，考查了

推理能力与计算能力，属于中档题.

14、答案13

1li11—11?

--(AD+-AB)•(AD-AB)=AD-AB-AD—AB=1

解析由AEBD=1,得222

设阴=m,

11

4+-m——m2=1

...22,解得m=3.

BD•BE=(AD-AB)(AD—AB)=AD2—AD-AB+-AB2

222

319

=4+-x2x3x-+-=13

222

答案：13

点睛：给出向量a£求a,，的三种方法：

(1)若两个向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向

量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算.

(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量「，，，

然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解.

(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出』，'的坐标，通过坐标运算求

解.

15、答案？

详解：因为向量AB,AC,AO满足AC=AB+AD,

所以四边形ABCD是平行四边形，

所以AB=£>C,AD=BC

••11

BF=BC+CF=AD——AB,DE=DC+CE=AB一一AD

所以22,

所以DE-BF=I\AD--2AB人\\AB--2AD\J,

S1.912

=-ABAD——AB~——AD

422

=-ABAD--X22--X\2=~-

4224,

UUULlUU

所以A8-AO=1,

设向量AB与向量A。的夹角为6,

cos0=—

即2,

因为同0,司,

6=工

所以3,

7t

故答案为：T.

点睛

本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能

力，属于中档题.

17

16、答案彳

2

详解：如图，取AC的中点。，AB的中点£,并连接8,0E,

则ODLAC,OE1AB,

AO-AC=(AD+DO\-AC=-AC=—

\>22

AOAB^^AE+EO)AB^^AB2

25+917

4-T

17

故答案为：2

点睛

本题考查几何图形中的向量问题、平行四边形法则、向量的数量积，属于中档题.

1

x=y=--

17、答案(1)-9；(2)4.

详解

-»->

选取向量。A'OB为基底.

（1）由已知得°P0BBP0B4BAOB4OAOB4OA4OB,

ABOBOA,

3.21.21.-

=—+—+—•

4OA4OB2OAOE

=-12+1+2

=-9.

13111

(2)由(1)得PQOQOP2OA4OA4OB4OA4OB,

=x,+y•

又PQOAOB,

1

x=y=--

•・*4*

点睛

求向量数量积的方法

(1)根据数量积的定义求解，解题时需要选择平面的基底，将向量统一用同一基底表

示，然后根据数量积的运算量求解.

(2)建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，将数量积的问题转化为数的运算的问

题求解.

解析

3

18、答案(1)AP=Cl-t)AB+tAC(2)t=-

4

(2)由(1)得尸4=根据PC=PA+AC得

PA=(r-l)AB+(l-r)AC,从而进行数量积的运算得出尸4pc，配方即可得出当

t=一时，PA-PC取最小值.

4

详解

(1),：BP=tBC;

二AP-AB=KAC-AB);

•••AP^(\-t)AB+tAC

(2):△ABC是正三角