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文档简介
2021-2022学年新教材苏教版必修第二册9.2.3向量的数量
积作业
一、选择题
1、
已知\a\=^3,\b\=^-,a-b=j则向量a与分的夹角为
A.60B.30C.120D.150
2、如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点。,E为AO的中点,若DE=MB+pAD(入、
2?
H为实数),则入+口=()
515
A.8B.4c.1D.16
3
AB=1,AC=5,sinA=—
3、在中,若5,则AB-AC=()
A.3B.±3C.4D.±4
4、已知"O'-2T),方=(3,根,一1),若打匕,则加等于()
A.1B.2C.6D.3
5、如图,AB=1,AC=3,/A=90°,C£>=2£>',贝ijA£hAB=(
42]_
A.3B.1C.3D.3
6、对于非零向量"、",定义运算"#":加其中。为加、〃
的夹角,有两两不共线的三个向量。、〃、。,下列结论:①若a#b=a#c,则人=,;
②a#b=b#a.③若a#b=O,则allb.④(a+b)#c=a#c+b#c;
⑤:其中正确的个数有()
A.1B.2C.3D.4
7、如图,点P在.A6C的内部,D,E是边AB,AC的中点(。,P,E三点、
UUU1UI4U
不共线),PE=2PD=2,BC.PD=-4,则向量PO与PE的夹角大小为()
A
8、己知。为“C所在平面内—点,若(3+。孙回=W+")及=。,
AB=6tAC=4,则AOBC=()
A.-5B.-10C.10D.5
9、9知向量:'=(】』),』(2,4),则(力”=()
A.-14B.-4C.4D.14
10、已知非零向量满足M2H,且(a-b)_L%,则。与方的夹角为
兀兀2兀5兀
A.6B.3C.3D.6
11、如图,直角三角形二A5c中,ZABC=90°,AB=3,5C=4jM点是线段AC
一动点,若以"为圆心半径为逐的圆与线段AC交于RQ两点,则BP.BQ的最
小值为()
]2w2.12
A.15B.25c.13D.15
12、对于任意两个向量4和b,下列命题正确的是()
A.若&,。满足问〉M,且。与B同向,则B.h-Z,|-H+H
C.卜力卜诽|]),卜一〃卜同一问
二,填空题
13、AABC的外接圆的圆心为0,AB=2,AC=^,BC=3,则A。?BC的值为____.
14、已知平行四边形ABCD中,AD=2,NBAD=120。,点E是CD中点,AE-BD=1,则
BD-BE=.
15、已知向量AB,AC,AO满足AC=AB+A。,M=2,网=1,£/
DEBF=-—
分别是线段BC,的中点,若4,则向量A3与向量AO的夹角为
16、已知AABC外接圆的圆心为°,M为边BC的中点,若羽=3,AC=5,则
AO-AM=
三、解答题
r।=4r।=2”“o
17、(本小题满分10分)如图,在AABO中,0A,OB,且0A与0B的夹角为60,
-=3一
BPPA.
⑴求。PAB的值;
TT->->T
==x•+y•
(2)若OQQA,PQOAOB,求x,y的值.
18、(本小题满分12分)在正AABC中,AB=2,BP=tBC(teR).
(1)试用A8,AC表示AP:
(2)当PA?尸。取得最小值时,求t的值.
a=(cos0,sin0),b=(5/2-sin0,cos0
19、(本小题满分12分)已知向量')'
11
(1)若"b,求角0的集合;
cos(^-—)
求4的值.
参考答案
1、答案A
解析由卜.。|=问步卜0$6=6*半856=1,得cos6=g,
又。€[()°,180°],,向量。与方的夹角6=60°.
本题选择A选项.
2、答案A
少1161今36
DE=-DA+-DO-AB--AD
解析由向量的线性运算得22=44.即可.
详解
少11111今
DE=-DA+-DO-DA+-DB-DA+-(DA+DC)
22=24=24
1■>36
-AB--AD
=44.
135
入=;日=1,22-
/.44,入+pi=8
故选A.
点睛
本题考查了平面向量的线性运算,转化思想,数形结合思想,属于基础题.
3、答案D
.3人,4
sinA4=-cosA=±-4k।x।।x।用.
解析在JABC因为5,所以5,所以xWn=|A8|-|AC|cosA=±4
4、答案B
解析
Q_L〃,,\a-h=0f
即lx3+(—2)m+(—l)x(_l)=0,解得:m=2.
故选:B
5、答案C
AD=AB+BD=AB+-BC^AH+-(AC-AB)=-AB+-AC
详解:由3333,
(21、221
ADAB=-AB+-AC\-AB=-AB+-ACAB
所以133J33
2191?
=—x『+-|AC||A81cos90o=±+±x3x0=W
33333.
故选:C
6、答案B
详解:由向量“、c,两两不共线可得①、③错误;
对于②,1祐T斗麻布,内产心用麻皿府),所以
故②正确;
对于④,若。、8、C均为单位向量且两两夹角均为12°,如图,
易俎(a+")〃ca+b=1
易得'7,,
所以(a+/?)#c=,+〃Jdsinl80=0
^#c+/?#c=|^|-|c|sin120+|z?|-|c|sinl20=>/3
所以(a+b)#cs#c+b#c,故④错误;
对于⑤,■舫=|斗忖皿斯),上@#叼-4件抽卜一«,硝明外山
故⑤正确.
故选:B.
7、答案B
详解:连接。£,如下图所示.
D匕=—
因为o,E是边AB,4。的中点,所以DE//BC,且2,所以3c=2DE,
UUDuimuunuim/iiuruimxuun
BCPD=2DEPD=2(PE-PD]PD
所以'>
uuriiunuun2uuruunULUI2
=2PEPD+2PD=2PEPDcosZDPE-2PD=4
cosNDPE-2--A解得
8S〃PE=4,又因为㈤,
所以NOPE=120°.则向量P。与PE的夹角大小为120°,
故选:B.
点睛
本题考查向量的线性运算,数量积.
8、答案B
详解:由已知得,(QA+O5A(O8—OA)=(O8+OC)-(OC—。8)=0
22
»OB'-(9A=OC-OB=0«\OA\=\OB\=\oc\人心「
IIIIIL则。为,MC的外心.
设OE±AC,垂足分别为。,E.
根据两个向量数量积的几何意义,可知^OBC^AO(AC-AB)
=AO-AC-AO-AB=\AE\-\AC\-\AD\-\AB\=2X4-3X6=-\0
故选:B.
点睛
本题的关键点是确定三角形的外心,总结三角形的外心,内心、重心、垂心如下:
三角形的外心为三边垂直平分线的交点;
三角形的内心为三条角平分线的交点;
三角形的重心为三条中线的交点;
三角形的垂心为三条高线的交点.
9、答案B
.\a-b\-a
解析由条件算出进而由公式算出I>.
详解
Q«=(1,1)b=(2,4)a—=1,—3)
=(-l)xl+(-3)xl=-4
故选:B
10、答案B
解析
分析
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归、
数学计算等数学素养.先由(a-。),”得出向量的数量积与其模的关系,再利用向
量夹角公式即可计算出向量夹角.
详解因为9—")",所以加2=〃2-匕=o,所以a为=万,所以
ab|M21
cos。」III,所以“与〃的夹角为3,故选B.
11、答案B
详解:因为MP=—"Q,
所以=—=\BM|2-\MP\2
即8P-8Q=|BM|2-5,
只需要求忸"I的最小值即可,
当时,忸M最小,此时忸叫-
,...■———IZ-LZ-L19
(BPBQ)min=--5
所以25
故选:B
12、答案B
详解:A.向量不能比较大小,所以A不正确;
B.根据向量减法运算公式可知,当向量々与匕不共线时,两边之和大于第三边,即
卜一索问+性当d与b反向时,等号成立,不B正确;
L*/?!=L||/?||cos0\<\a\\b\"丁丁.
C.।।1HHIII",故C不正确;
〃与匕不共线时,根据向量减法法则可知,两边之差小于第三边,即卜一">同一W,
故D不正确.
故选:B
3
13、答案彳
2
详解:取BC的中点D,连接AD,0D,贝I」ODJ_BC,
AD=
2(AB+AC),BC^AC-ABt
AOBC={AD+DO)-BC=AD•BC+DO•BC=AD-BC
=1(AB+AC)•(AC-AB)=AC2-=;[(")?-22]=|
2
故答案为:2.
点睛
本题考查了向量三角形与平行四边形法则、数量积运算性质、三角形外心性质,考查了
推理能力与计算能力,属于中档题.
14、答案13
1li11—11?
--(AD+-AB)•(AD-AB)=AD-AB-AD—AB=1
解析由AEBD=1,得222
设阴=m,
11
4+-m——m2=1
...22,解得m=3.
BD•BE=(AD-AB)(AD—AB)=AD2—AD-AB+-AB2
222
319
=4+-x2x3x-+-=13
222
答案:13
点睛:给出向量a£求a,,的三种方法:
(1)若两个向量共起点,且两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向
量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算.
(2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量「,,,
然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解.
(3)若图形适合建立平面直角坐标系,可建立坐标系,求出』,'的坐标,通过坐标运算求
解.
15、答案?
详解:因为向量AB,AC,AO满足AC=AB+AD,
所以四边形ABCD是平行四边形,
所以AB=£>C,AD=BC
••11
BF=BC+CF=AD——AB,DE=DC+CE=AB一一AD
所以22,
所以DE-BF=I\AD--2AB人\\AB--2AD\J,
S1.912
=-ABAD——AB~——AD
422
=-ABAD--X22--X\2=~-
4224,
UUULlUU
所以A8-AO=1,
设向量AB与向量A。的夹角为6,
cos0=—
即2,
因为同0,司,
6=工
所以3,
7t
故答案为:T.
点睛
本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积运算,还考查了运算求解的能
力,属于中档题.
17
16、答案彳
2
详解:如图,取AC的中点。,AB的中点£,并连接8,0E,
则ODLAC,OE1AB,
AO-AC=(AD+DO\-AC=-AC=—
\>22
AOAB^^AE+EO)AB^^AB2
25+917
4-T
17
故答案为:2
点睛
本题考查几何图形中的向量问题、平行四边形法则、向量的数量积,属于中档题.
1
x=y=--
17、答案(1)-9;(2)4.
详解
-»->
选取向量。A'OB为基底.
(1)由已知得°P0BBP0B4BAOB4OAOB4OA4OB,
ABOBOA,
3.21.21.-
=—+—+—•
4OA4OB2OAOE
=-12+1+2
=-9.
13111
(2)由(1)得PQOQOP2OA4OA4OB4OA4OB,
=x,+y•
又PQOAOB,
1
x=y=--
•・*4*
点睛
求向量数量积的方法
(1)根据数量积的定义求解,解题时需要选择平面的基底,将向量统一用同一基底表
示,然后根据数量积的运算量求解.
(2)建立平面直角坐标系,将向量用坐标表示,将数量积的问题转化为数的运算的问
题求解.
解析
3
18、答案(1)AP=Cl-t)AB+tAC(2)t=-
4
(2)由(1)得尸4=根据PC=PA+AC得
PA=(r-l)AB+(l-r)AC,从而进行数量积的运算得出尸4pc,配方即可得出当
t=一时,PA-PC取最小值.
4
详解
(1),:BP=tBC;
二AP-AB=KAC-AB);
•••AP^(\-t)AB+tAC
(2):△ABC是正三角
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