江苏省苏州市吴江区2024-2025学年高二数学下学期期中试题含解析

…………○…………外…………○…………装…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………PAGEPAGE16江苏省苏州市吴江区2024-2025学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（共9题；共45分）1.已知函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极大值有（

）A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个2.已知函数的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（

）A.

B.

C.

D.

13.若函数的极大值点与极大值分别为a，b，则（

）A.

B.

C.

D.

4.设函数，则是（

）A.

奇函数，且在上是增函数

B.

奇函数，且在上是减函数

C.

偶函数，且在上是增函数

D.

偶函数，且在上是减函数5.已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（

）A.

B.

C.

D.

6.某校开展学农活动时进行劳动技能竞赛，通过初选，选甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲､乙､丙三人去询问成果，回答者对甲说“很缺憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”；对丙说“甲比你好”，试从这个回答中分析这5人的名次排列依次可能出现的种类有（

）A.

24种

B.

16种

C.

18种

D.

20种7.已知，则（

）A.

-10

B.

10

C.

-45

D.

458.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的奇妙远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组奇妙的数字142857，因为，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发觉：，…，若从这组奇妙数字中任选3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y，，将全部可能的三位数x按从小到大依次排序，则第12个三位数x为（

）A.

214

B.

215

C.

248

D.

2849.我国古代闻名的数学著作中，《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五曹算经》､《夏侯阳算经》､《孙丘建算经》､《海岛算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的安排方法的种数为（

）A.

B.

C.

D.

二、多选题（共3题；共15分）10.函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（

）A.

在上函数为增函数

B.

在上函数为增函数

C.

在上函数有极大值

D.

是函数在区间上的微小值点11.定义在R上的函数，其导函数满意，则下列不等关系正确的是（

）A.

B.

C.

D.

12.已知的二项绽开式中系数之和为729，则下列结论正确的是（

）A.

二项绽开式中各项二项式系数之和为

B.

二项绽开式中二项式系数最大的项为

C.

二项绽开式中无常数项

D.

二项绽开式中系数最大的项为三、填空题（共4题；共20分）13.已知函数与的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数a的取值范围是________．14.在的绽开式中，若，则________.15.酒杯的形态为倒立的圆锥(如图)，杯深9cm，上口宽6cm，水以的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水上升的瞬时改变率为________.16.若函数的导函数存在导数，记的导数为．假如对x(a，b)，都有，则有如下性质：，其中n，，，…，(a，b)．若，则＝________；在锐角△ABC中，依据上述性质推断：sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．四、解答题（共6题；共70分）17.在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：“绽开式中全部项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件②：“绽开式中前三项的二项式系数之和为22”.问题：已知二项式，若___________(填写条件前的序号)，（1）求绽开式中系数最大的项；（2）求中含项的系数.18.用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最终运算结果请以数字作答)（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？19.已知绽开式的二项式系数和为512，且（1）求的值；（2）求被6整除的余数.20.已知.（1）当时，求在上的最大值；（2）当时，探讨的单调性.21.已知函数.（1）求过的切线方程；（2）若在上的最大值为，求证：.22.已知函数(其中e为自然对数的底数).（1）求函数的极值；（2）当时，若恒成立，求实数b的取值范围.

答案解析部分一、单选题（共9题；共45分）1.已知函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极大值有（

）A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个【答案】B【考点】利用导数探讨函数的单调性，利用导数探讨函数的极值【解析】【解答】依据导数的图象，可知导数有4个零点，从左向右分析，第一个零点与第四个零点左侧为正右侧为负，所以函数先增后减，故第一个零点与第四个零点处函数有极大值，其次个零点左侧为负右侧为正，故函数先减后增，其次个零点处函数有微小值，第三个零点两侧，导数值同为正，故该点不是极值点，故答案为：B

【分析】依据导函数的图象推断导数零点两侧的符号(先正后负)，即可求解.2.已知函数的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（

）A.

B.

C.

D.

1【答案】C【考点】导数的几何意义，利用导数探讨函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】函数，则，且，所以，所以，解得，所以，（），，令，即，解得，令，即，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以。故答案为：C

【分析】利用求导的方法切成函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程，再利用切线经过坐标原点，结合代入法，进而求出a的值，从而求出函数的解析式，再利用求导的方法推断函数的单调性，再利用函数的单调性求出函数的最小值。3.若函数的极大值点与极大值分别为a，b，则（

）A.

B.

C.

D.

【答案】C【考点】利用导数探讨函数的单调性，利用导数探讨函数的极值【解析】【解答】∵，∴或，，或，∴在单调递增，在单调递减，∴为极大值点，且，∴，，∴，故答案为：C.

【分析】先对函数求导，然后结合导数分析函数的单调性，进而可求函数的极大值与极大值点，从而可求.4.设函数，则是（

）A.

奇函数，且在上是增函数

B.

奇函数，且在上是减函数

C.

偶函数，且在上是增函数

D.

偶函数，且在上是减函数【答案】A【考点】复合函数的单调性，函数奇偶性的推断，奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】

的定义域为而,所以为奇函数；在上，，因为在上为增函数在上为减函数，所以在上是增函数故答案为：A.

【分析】依据题意先检验f(-x)与f(x)的关系，然后结合复合函数单调性及奇偶性的定义进行检验即可推断.5.已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（

）A.

B.

C.

D.

【答案】B【考点】函数单调性的性质，利用导数探讨函数的单调性【解析】【解答】由题意，函数满意，令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故答案为：B

【分析】依据题意令，求导，结合题意可得g(x)在上单调递减；而得到从而可得答案.6.某校开展学农活动时进行劳动技能竞赛，通过初选，选甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲､乙､丙三人去询问成果，回答者对甲说“很缺憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”；对丙说“甲比你好”，试从这个回答中分析这5人的名次排列依次可能出现的种类有（

）A.

24种

B.

16种

C.

18种

D.

20种【答案】C【考点】排列、组合及简洁计数问题【解析】【解答】由题意可得，第1名不行能是甲､乙､丙，只能是丁或戊；第5名不行能是甲乙，只能是丙或丁或戊；因此可分如下三种状况：若甲是第2名，先考虑乙，则有种状况，再考虑丙，则有种状况，最终排丁､戊，则有种状况，即此时所包含的状况有：种；若甲是第3名，当乙是第4名时，丙只能是第5名，只需考虑丁､戊的排列，此时有种状况；当乙是第2名时，丙可以有种选择，最终排丁､戊，则有种状况；此时包含的状况共有种；若甲是第4名，则丙是第5名，而乙有种选择，最终排丁､戊，则有种状况，；此时所包含的状况有；综上，从这个回答中分析这5人的名次排列依次可能出现的种类有种.故答案为：C.

【分析】依据题意可得甲乙不是最终一名或第一名，依据排列组合以及分类计数原理计算出结果即可。7.已知，则（

）A.

-10

B.

10

C.

-45

D.

45【答案】D【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，.故答案为：D

【分析】利用二项式的通项公式，结合已知条件代入数值计算出结果即可。8.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的奇妙远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组奇妙的数字142857，因为，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发觉：，…，若从这组奇妙数字中任选3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y，，将全部可能的三位数x按从小到大依次排序，则第12个三位数x为（

）A.

214

B.

215

C.

248

D.

284【答案】C【考点】排列、组合及简洁计数问题【解析】【解答】∵1,4,7,2,8,5,这六个数中，1+8=9，2+7=9，4+5=9，共3组要使六个数字中随意取出3个数字构成一个三位数，剩下的三个数字构成另一个三位数，且，所以从小到大排列为：，故第12个三位数x为248.故答案为：C

【分析】依据题意，在数字142857中，两个数字之和为9的组合有3个，据此依次分析数字x、y的百位、十位、个位数字的状况，即可求出.9.我国古代闻名的数学著作中，《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五曹算经》､《夏侯阳算经》､《孙丘建算经》､《海岛算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的安排方法的种数为（

）A.

B.

C.

D.

【答案】B【考点】列举法计算基本领件数及事务发生的概率，排列、组合及简洁计数问题【解析】【解答】依据题意，第一类，从6本书中取出3本视作一本书，连同剩余的3本安排给4个人，共有种分法，其次类，从6本书中取出2本书，再从剩余4本书中取出2本书，平均分堆后连同剩余2本，视作4本书安排给4个人，共有，由分类加法计数原理可得，不同的安排方法的种数为，故答案为：B

【分析】依据题意6本分给4名数学爱好者，每人至少一本，则把6本书为6本书为(3,1,11)和(2,2,1,1)，再安排给4名数学爱好者，再由概率的定义代入数值计算出结果即可。二、多选题（共3题；共15分）10.函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（

）A.

在上函数为增函数

B.

在上函数为增函数

C.

在上函数有极大值

D.

是函数在区间上的微小值点【答案】A,C【考点】函数的图象，利用导数探讨函数的单调性，函数在某点取得极值的条件【解析】【解答】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的微小值点，D选项错误.故答案为：AC

【分析】由已知条件，结合图象即可得出导函数的性质，由此得出函数的单调性，利用函数的单调性即可求出函数的极值，对选项逐一推断即可得出答案。11.定义在R上的函数，其导函数满意，则下列不等关系正确的是（

）A.

B.

C.

D.

【答案】A,B,D【考点】函数单调性的性质，利用导数探讨函数的单调性【解析】【解答】令，则，，在上恒成立，在上单调递增，对A，，A符合题意；对B，，B符合题意；对C，，C不符合题意；对D，，D符合题意；故答案为：ABD.

【分析】依据题意构造函数，并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性对选项逐一推断即可得出答案。12.已知的二项绽开式中系数之和为729，则下列结论正确的是（

）A.

二项绽开式中各项二项式系数之和为

B.

二项绽开式中二项式系数最大的项为

C.

二项绽开式中无常数项

D.

二项绽开式中系数最大的项为【答案】A,B【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】令，则二项绽开式系数和为，解得：；绽开式的通项公式为；对于A，由知其二项式系数和为，A符合题意；对于B，当时，二项式系数最大，则所求项为，B符合题意；对于C，令，解得：，则绽开式第5项为常数项，C不符合题意；对于D，分别令，可得绽开式为，由此可确定系数最大的项为，D不符合题意.故答案为：AB.

【分析】由题意利用二项绽开式的通项公式，再结合二项式系数的性质，对选项逐一推断即可得出答案。三、填空题（共4题；共20分）13.已知函数与的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数a的取值范围是________．【答案】【考点】函数的值域，奇偶函数图象的对称性，利用导数探讨函数的单调性【解析】【解答】函数与的图像上存在关于原点对称的对称点，∴方程，即在上有解，∴方程在有解．设，，且为的切线，设切点为，由得，则有，解得．由图象可得，要使直线和的图象有公共点，则，解得．所以实数的取值范围是．故答案为．

【分析】由对称性求函数解析式得：设y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于原点对称，由，得，利用导数探讨函数的值域得：方程在有解，设对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再数形结合法即可得出，从而求出a的取值范围。14.在的绽开式中，若，则________.【答案】208【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】的绽开式中含x的最高次项为，的绽开式中含x的最高次项为，所以绽开式中含x的最高次项为，所以，解得，由已知得绽开式中x的最高次为9，所以，；的绽开式中含的项为，的绽开式中含的项为，所以，的绽开式中含的项为，的绽开式中含的项为，所以，所以.故答案为：208.

【分析】由题意结合二项式项的性质先求出n的值，由此可得m的值，再利用二项绽开式的通项公式，求得的值即可.15.酒杯的形态为倒立的圆锥(如图)，杯深9cm，上口宽6cm，水以的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水上升的瞬时改变率为________.【答案】【考点】改变的快慢与改变率，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为,则可得此时水的体积为又由题设条件知，此时的水量为20t故有故有当水深为3cm，对应的时间为，则所以当水深为3cm时，水上升的瞬时改变率为故答案为：

【分析】依据题意作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面上升时的瞬时改变率即可.16.若函数的导函数存在导数，记的导数为．假如对x(a，b)，都有，则有如下性质：，其中n，，，…，(a，b)．若，则＝________；在锐角△ABC中，依据上述性质推断：sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．【答案】；【考点】正弦函数的图象，正弦函数的定义域和值域【解析】【解答】解：设，，则，则，，有如下性质：．则，的最大值为，故答案为：，．【分析】构造函数，，求导，则，由正弦函数的图象可知成立，依据函数的性质，即可求得的最大值．四、解答题（共6题；共70分）17.在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：“绽开式中全部项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件②：“绽开式中前三项的二项式系数之和为22”.问题：已知二项式，若___________(填写条件前的序号)，（1）求绽开式中系数最大的项；（2）求中含项的系数.【答案】（1）若选条件①时，令，可得绽开式全部项的系数和为，而二项式系数和为，所以，解得，若选条件②时，由前3项的二项式系数和为22可得，解得.设绽开式中系数最大的项为第项，则满意，即，解得，又,所以，即绽开式中系数最大的项为，

（2）在中，含项的系数为.【考点】组合及组合数公式，二项式系数的性质【解析】【分析】当选填条件①时，由题意列式求得n=6，当选填条件②时，由前3项的二项式系数和为22求得n=6.

(1)把n=6代入，可知第四项的二项式系数最大，由二项绽开式的通项得答案；

(2)把n=6代入，由第一个因式的常数项乘以其次个因式含含×2项的系数，由其次个因式的常数项乘以第一个因式含含×2项的系数，第一个因式含有x项的系数乘以其次个因式含有x项的系数，最终求和得出答案.18.用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最终运算结果请以数字作答)（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？【答案】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有个；其次类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个；第三类：4在个位时，与其次类同理，也有个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个．

（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的四位数有个；个位数上的数字是5的五位数有个．故满意条件的五位数的个数共有个．

（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；其次类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；第三类：形如124□，125□，共有个；第四类：形如123□，共有个由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有：个．【考点】排列、组合及简洁计数问题【解析】【分析】(1)依据题意，分状况探讨；当0在个位，2在个位，4在个位，再由分类计数原理可得；

(2)由题意看得出：5的倍数则个位数字为0或5的数，再依据分类计数原理可得；

(2)依据题意，分4种状况探讨，结合分类计数原理可得.19.已知绽开式的二项式系数和为512，且（1）求的值；（2）求被6整除的余数.【答案】（1）因为绽开式的二项式系数和为，所以，故.令，可得，令，可得，即，.

（2）明显，绽开式除了最终2项外，其余各项都能被6整除,故绽开式被6整出的余数，即被6整除的余数为5.【考点】二项式系数的性质，整除的概念和性质【解析】【分析】(1)由题意利用二项式系数的性质，求得n的值，再分别令x=1，x=2，计算出要求式子的值即可.

(2)依据题意把依据二项式定理绽开，可得它除以6的余数.20.已知.（1）当时，求在上的最大值；（2）当时，探讨的单调性.【答案】（1）解：当时，由，得，当时解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以最大值在端点处取得，又所以在上的最大值为.

（2）当时，①当时，得，得在上单调递增，在上单调递减.②当时，，方程的两根为且所以，得，得即在上单调递增，在上单调递减.③当时，ⅰ.当，即时，在上单调递增.ⅱ.，即时方程的两根为且所以，得或，所以，得即在上单调递增，在上单调递减综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增【考点】函数单调性的性质，利用导数探讨函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】(1)由已知条件把